СЛУ наз. множество ур-ий вида:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
S= a21x1+ a22x2+…+a2nxn=b2
………………………………
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm, где аij – коэффициенты, bi –свободн. член, xj– переменная, aij,biÎR.
Опр. Решением СЛУ S является набор чисел (a1,a2,…an)таких, что при подстановке в сис-му S вместо xj получается верные равенства:
a11a1+a12a2+…+a1nan=b1
S= a21a1+ a22a2+…+a2nan=b2
………………………………
am1a1+am2a2+…+amnan=bm
Решить систему – найти все решения или доказать, что таковых нет.
Опр. Сис-ма наз-ся совместной, если у нее есть хотя бы 1 решение, и несовместной в противном случае.
Любая СЛУ имеет либо 1 решение, либо бесконечно много решений, либо не имеет решений.
Системы S и S1 называют равносильными, если множества их решений совпадают.
Элементарными называют следующие преобразования СЛУ:
1) поменять 2 уравнения системы местами
2) умножить одно из уравнений на число l¹0
3) удаление из системы уравнения, в которых все коэффиц. равны 0
4) прибавление к " из ур-ий соответствующих частей другого уравнения, умноженного на произвольное число
Т. об элементарных преобразованиях:
Если система S¢ получена из системы S с помощью одного из элементар. преобразован., то эти системы равносильны.
Док-во: пусть S¢ получена из S с помощью 2 преобразования
la11x1+la12x2+…+la1nxn=lb1
S¢ = a21x1+ a22x2+…+a2nxn=b2
………………………………
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
1)докажем, что множество решений S входит во множество реш-ий S¢."(a1,a2,…,an)– решения сис-мы S.
a11a1+a12a2+…+a1nan=b1
a21a1+ a22a2+…+a2nan=b2 – верные числовые равенства
Þ la11a1+la12a2+…+la1nan=lb1
a21a1+ a22a2+…+a2nan=b2 – верные числовые равенства
Þ (a1,a2,…,an) – решения сис-мы S¢.
2) докажем, что множество решений S¢ входит во множество реш-ий S."(b1,b2,…,bn)–решения сис-мы S¢(аналогично).
– подставляем bi в S¢ вместо xi;
– делим I уравнение S¢на l¹0
– получаем решение СЛУ S.
Из 1)и2)Þ{решения S}={решения S¢}
Остальные преобразования доказываются аналогично.
Сл-е. Если S¢¢ получено из S с помощью последовательности элемент. преобразований, то S¢¢ равновелика S.
Метод Гаусса. (решение СЛУ, исключение неизвестных)
Опр. СЛУ наз. системой ступенчатого вида, если в ней в каждом уравнении, начиная со второго, первый коэффициент, отличный от 0, стоит правее, чем в предыдущем уравнении.
a11х1+a12х2+a13x3+…+a1nхn=b1
S= 0 + a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2
0 + 0 +a33x3+…+a3nxn=b3
x1+x2=2
x2+x3=5 – система ступенчатого вида.
В системе ступ. вида первые переменные в ур-ии с ненулевыми коэффициентами наз. главными, все остальные переменные наз. свободными.
Т.. Любая СЛУ равносильна некоторой системе ступенчатого вида.
Док-во:
a11x1+a12x2+a13x3+…=b1
S= a21x1+ a22x2+a23x3+…=b2 – I×a31/a11
а31x1+a32x2+a33x3+…=b3 – I×a31/a11
В этой системе обязательно есть ненулевой коэффициент. Пусть а11¹0. Если а11=0, то поменяем первое уравнение системы с тем ур-ем, в котором коэффициент при х1¹0. Вычтем из всех уравнений системы, кроме первого, первое уравнение, домноженное на коэффициент. Коэф-нт подбирается таким образом, чтобы во всех уравнениях системы, начиная со второго, при х1 стояли 0.
a11x1+a12x2+a13x3+…=b1
S¢= a¢22x2+a¢23x3+…=b¢2
a¢32x2+a¢33x3+…=b¢3 – II×a32/a22
Пусть а¢22¹0. Если а¢22=0, то поменяем уравнения местами. Если перед переменной х2 во всех уравнениях стоят нули, то начинаем с х3.
Результат:
a11x1+a12x2+a13x3+…=b1
S¢¢= a¢22x2+a¢23x3+…=b¢2
a¢¢33x3+…=b¢¢3
а¢¢kl – k-тая строчка с l номером пер-ой. В итоге система придет к ступенчатому виду.