Системы линейных уравнений




СЛУ наз. множество ур-ий вида:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

S= a21x1+ a22x2+…+a2nxn=b2

………………………………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm, где аij – коэффициенты, bi –свободн. член, xj– переменная, aij,biÎR.

Опр. Решением СЛУ S является набор чисел (a1,a2,…an)таких, что при подстановке в сис-му S вместо xj получается верные равенства:

a11a1+a12a2+…+a1nan=b1

S= a21a1+ a22a2+…+a2nan=b2

………………………………

am1a1+am2a2+…+amnan=bm

Решить систему – найти все решения или доказать, что таковых нет.

Опр. Сис-ма наз-ся совместной, если у нее есть хотя бы 1 решение, и несовместной в противном случае.

Любая СЛУ имеет либо 1 решение, либо бесконечно много решений, либо не имеет решений.

Системы S и S1 называют равносильными, если множества их решений совпадают.

Элементарными называют следующие преобразования СЛУ:

1) поменять 2 уравнения системы местами

2) умножить одно из уравнений на число l¹0

3) удаление из системы уравнения, в которых все коэффиц. равны 0

4) прибавление к " из ур-ий соответствующих частей другого уравнения, умноженного на произвольное число

Т. об элементарных преобразованиях:

Если система S¢ получена из системы S с помощью одного из элементар. преобразован., то эти системы равносильны.

Док-во: пусть S¢ получена из S с помощью 2 преобразования

la11x1+la12x2+…+la1nxn=lb1

S¢ = a21x1+ a22x2+…+a2nxn=b2

………………………………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

1)докажем, что множество решений S входит во множество реш-ий S¢."(a1,a2,…,an)– решения сис-мы S.

a11a1+a12a2+…+a1nan=b1

a21a1+ a22a2+…+a2nan=b2 – верные числовые равенства

Þ la11a1+la12a2+…+la1nan=lb1

a21a1+ a22a2+…+a2nan=b2 – верные числовые равенства

Þ (a1,a2,…,an) – решения сис-мы S¢.

2) докажем, что множество решений S¢ входит во множество реш-ий S."(b1,b2,…,bn)–решения сис-мы S¢(аналогично).

– подставляем bi в S¢ вместо xi;

– делим I уравнение S¢на l¹0

– получаем решение СЛУ S.

Из 1)и2)Þ{решения S}={решения S¢}

Остальные преобразования доказываются аналогично.

Сл-е. Если S¢¢ получено из S с помощью последовательности элемент. преобразований, то S¢¢ равновелика S.

Метод Гаусса. (решение СЛУ, исключение неизвестных)

Опр. СЛУ наз. системой ступенчатого вида, если в ней в каждом уравнении, начиная со второго, первый коэффициент, отличный от 0, стоит правее, чем в предыдущем уравнении.

a11х1+a12х2+a13x3+…+a1nхn=b1

S= 0 + a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2

0 + 0 +a33x3+…+a3nxn=b3

x1+x2=2

x2+x3=5 – система ступенчатого вида.

В системе ступ. вида первые переменные в ур-ии с ненулевыми коэффициентами наз. главными, все остальные переменные наз. свободными.

Т.. Любая СЛУ равносильна некоторой системе ступенчатого вида.

Док-во:

a11x1+a12x2+a13x3+…=b1

S= a21x1+ a22x2+a23x3+…=b2 – I×a31/a11

а31x1+a32x2+a33x3+…=b3 – I×a31/a11

В этой системе обязательно есть ненулевой коэффициент. Пусть а11¹0. Если а11=0, то поменяем первое уравнение системы с тем ур-ем, в котором коэффициент при х1¹0. Вычтем из всех уравнений системы, кроме первого, первое уравнение, домноженное на коэффициент. Коэф-нт подбирается таким образом, чтобы во всех уравнениях системы, начиная со второго, при х1 стояли 0.

a11x1+a12x2+a13x3+…=b1

S¢= a¢22x2+a¢23x3+…=b¢2

32x2+a¢33x3+…=b¢3 – II×a32/a22

 

Пусть а¢22¹0. Если а¢22=0, то поменяем уравнения местами. Если перед переменной х2 во всех уравнениях стоят нули, то начинаем с х3.

Результат:

a11x1+a12x2+a13x3+…=b1

S¢¢= a¢22x2+a¢23x3+…=b¢2

a¢¢33x3+…=b¢¢3

а¢¢kl – k-тая строчка с l номером пер-ой. В итоге система придет к ступенчатому виду.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: