Вычислить производную функции

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Модуль 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

ВАРИАНТ 8

Задание 1.

Решить системы линейных уравнений любым из предложенных методов: по формулам Крамера или методом Гаусса или с помощью обратной матрицы.

Решение:

А= В=

Найдем определитель основной матрицы по формуле:

= a₁b₂c₃+ a₃b₁c₂+ a₂b₃c₁ - a₃b₂c₁ – a₁b₃c₂ – a₂b₁c₃

= 4×(-1)×2 + 1×1×2 + 2×1×4 - 1×(-1)×4 - 4×1×2 - 2×1×2 = - 6

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера.

Составим и вычислим необходимые определители по формуле, заменяя нужный столбец столбцом свободных членов В:

= 19×(-1)×2 + 8×1×2 + 11×1×4 - 8×(-1)×4 - 19×1×2 - 11×1×2 = - 6

= 4×11×2 + 1×19×2 + 2×8×4 - 1×11×4 - 4×8×2 - 2×19×2 = 6

= 4×(-1)×8 + 1×1×11 + 2×1×19 - 1×(-1)×19 - 4×1×11 - 2×1×8 = - 24

Найдем значения , , по формулам:

; ; .

Ответ: ; ; .

Задание 2.

Даны вершины треугольника ABC: A(4;-3), B(7;3), C(1;10)

Найти:

- уравнение стороны АВ;

- уравнение высоты СН;

- уравнение медианы АМ;

Решение:

Уравнение прямой АВ в общем виде . Подставим значения.

Преобразуем выражение:

3(у + 3) = 6(х + 4)

3у + 9 = 6х - 24

6х – 3у – 24 – 9 = 0

6х – 3у – 33 = 0

2х – у – 11 = 0 – общее уравнение стороны АВ.

Высота CH перпендикулярна стороне АВ. Отсюда следует, что . Соответственно, .

Угловой коэффициент определяем по формуле: .

. Соответственно,

y - y_C = k_CH(x – x_C)

y – 10 = -2 (x – 1)

y – 10 + 2x – 2 = 0

2x + y – 12 = 0 – общее уравнение высоты CH.

Медиана АМ делит сторону ВС пополам. Найдем координаты точки М, как середины отрезка ВС.

Координаты точки М (4; )

Уравнение медианы АМ в общем виде . Подставим значения.

– общее уравнение медианы АМ.

Ответ: 2х – у – 11 = 0 – уравнение стороны АВ;

2x + y – 12 = 0 – уравнение высоты CH;

– уравнение медианы АМ.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды ABCD (A₁A₂A₃A₄). Найти

- длину ребра AB (A₁A₂);

- площадь грани ABC (A₁A₂A₃);

- уравнение плоскости ABC (A₁A₂A₃),

если: А (7,5,8), В (-4,-5,3), С (2,-3,5), D (5,1,-4).

Решение:

Найдем координаты вектора

= (х_В-х_А; у_В-у_А; z_В-z_А) = (- 4 – 7; - 5 – 5; 3 – 8) = (-11; -10; -5)

Длина ребра AB равно:

Площадь грани АВС равна:

, где N – вектор нормали к плоскости АВС.

(х_C-х_А; у_C-у_А; z_C-z_А) = (2 – 7; - 3 – 5; 5 – 8) = (-5; -8; -3)

(-11; -10; -5) (-5; -8; -3)

(55; 80; 15)

Если точки А(х_А; у_А; z_А), В(х_В; у_В; z_В), С(х_C; у_C; z_C) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

= 0

Уравнение плоскости АВС

= 0

(x-7) ((-10) (-3) - (-8) (-5)) - (y-5) ((-11) (-3) - (-5) (-5)) + (z-8) ((-11) (-8) - (-5) (-10)) = -10x - 8y + 38z - 194 = 0

Упростим выражение: -5x - 4y + 19z - 97 = 0

Ответ: длина ребра AB: = ;

площадь грани АВС: ;

уравнение плоскости АВС: -5x - 4y + 19z - 97 = 0.

Модуль 2. Функции одной переменной

Задание 4.

Найти указанные пределы, не используя правило Лопиталя:

а) б) в) г)

Решение:

а)

Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при х = -8, то -8 – корень обоих многочленов, а значит каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет х = -8.

Найдем корни первого многочлена:

2х²+ 15х – 8 = 0

Используем формулы дискриминанта и корней уравнения:

D = b² – 4ac; ; .

D = 15² – 4 × 2 × (-8) = 289

Найдем корни второго многочлена:

3х²+ 25х + 8 = 0

D = 25² – 4 × 3 × 8 = 529

Подставляем значения и получаем:

Ответ:

б)

Ответ: -5

в)

Для выражения () сопряженным является (). Умножим его на числитель и знаменатель.

Учитывая, что (a-b)(a+b) = a²-b², получаем:

Ответ: ¥

г)

Используем свойство второго замечательного предела:

Ответ:

Модуль 3. Дифференцирование функции

Задание 5.

Исследовать функцию на монотонность и экстремум:

Решение:

Уравнение f ^’₀(x^*) = 0 – это необходимое условие экстремума функции одной переменной, то есть в точке х^* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки х_с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Найдем первую производную функции: