Бесконечно малые и бесконечно большие функции




Определение. Функция α(х) называется бесконечно малой в точке , если

её предел в этой точке равен нулю, т. е. .

Определение. Функция β(х) называется бесконечно большой при

если при

где М – произвольное положительное число.

Запись:

Если ввести обозначения: «бесконечно малая» –0 (х), «бесконечно большая» - , с – число, f(х) – ограниченная функция, тогда можно перечислить основные свойства бесконечно малых и бесконечно больших:


 

0(х) ± 0(х) = 0(х) ∞ + ∞ = ∞
f(х) · 0(х) = 0(х) f(х) · ∞ = ∞
0(х) · 0(х) = 0(х) ∞ · ∞ = ∞
С · 0(х) = 0(х) С· ∞ = ∞
,

 

Пример 28. Найти .

Решение. В этом случае теорему о пределе частного применить нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю. Таким образом, в знаменателе бесконечно малая. Тогда величина - есть бесконечно большая, как величина,

обратная бесконечно малой. Поэтому = .

Заметим, что среди перечисленных свойств бесконечно малых и больших нет соотношений вида

Такие соотношения называют неопределённостями в силу того, что предел каждого из перечисленных соотношений в зависимости от конкретного задания функций может быть конечным, бесконечным, а может и не существовать. Отыскание таких пределов называется раскрытием неопределённостей.

Пример 29. Найти .

Решение. Непосредственная подстановка в данное выражение предельного значения аргумента х = 1 приводит к неопределённому выражению , так в числителе: 13 - 1 =0, в знаменателе: 12 – 4 + 3 = 0.

Следовательно, прежде чем перейти к пределу, необходимо данное выражение преобразовать. Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы:

; ,

где - корни квадратного трехчлена, определяемые по формуле . Тогда

= =

Пример 30. Найти

Решение. Здесь также имеем неопределённость вида ; чтобы её раскрыть, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю; после этого можно будет сократить на х2 и тем самым убрать неопределённость: =

= = =

Пример 31. Найти .

Решение. При х ® ¥ числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают. В таком случае говорят, что имеет место неопределённость вида . Так как рост многочленов обуславливают их старшие степени, то в подобного рода примерах в числителе и в знаменателе дроби оставляют слагаемые, содержащие старшие степени вместе с их коэффициентами. Затем поделив степени, переходят к пределу:

= = = 0.

Пример 32. Найти

Решение. Вычислим этот предел, используя сформулированное выше правило, причём, для того, чтобы определить в числителе слагаемое, содержащее старшую степень переменной, достаточно перемножить старшие степени каждой скобки. Таким образом имеем:

= = = ∞.

 

Специальные пределы

 

Если при вычислении предела получена неопределённость вида , а в функции, стоящей под знаком предела встречаются тригонометрические и (или) обратные тригонометрические функции, то при вычислении таких пределов часто используется формула: , (5.1)

которая называется первым специальным (замечательным) пределом, а также следствия из неё: ; (5.2)

; (5.3) . (5.4)

Второй специальный предел

(5.5) или (5.6)

раскрывает неопределённость вида 1, где - число Непера.

Пример 33. Найти

Решение. При х → 0 α = 5х также стремится к нулю, поэтому, умножая числитель и знаменатель данной дроби на 5 и применяя формулу (5.1), получим = 5 = 5 · 1 = 5.

Пример 34. Найти .

Решение. При подстановке предельного значения переменной (т.е. х=0)

убеждаемся, что имеем неопределённость вида . Разделив числитель и знаменатель данной дроби на х и используя свойства пределов и формулу (5.4), получим:

= = =

Пример 35. Найти .

=1
Решение. Имеем неопределённость . Для её раскрытия используем следствия из первого специального предела:

=1
.

Пример 36. Найти .

Решение. При данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности (неопределённость вида ). Для того, чтобы раскрыть эту неопределённость, представляем основание в виде 1 + α, а в показателе выделяем множитель , обратный :

переходя к пределу в квадратной скобке, получим число , согласно

формуле (5.6), а в показателе раскрываем неопределённость :

.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: