История логики
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями.
Основателем логики считается Аристотель. Он описал законы логики, которые позволяют переходить от одного истинного суждения к другому без риска совершить ошибку. Он впервые отделил логические формы мышления (речи) от его содержания.
За две тысячи лет со времен Аристотеля традиционная логика не слишком далеко ушла вперед. Великий немецкий философ Иммануил Кант (1724- 1804) даже считал, что эта наука уже полностью завершила свое развитие.
Однако постепенно в логике назревала революция. И подготовил ее другой немецкий философ, математик, физик, изобретатель, юрист, историк, лингвист- Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
Еще в 1672г., посетив работавшего в Париже голландского изобретателя и физика Христиана Гюйгенса (1692-1695), Лейбниц был обескуражен тем, как много сил и времени расходует тот на осуществление необходимых математических расчетов. Возможно, эти впечатления и стали отправной точкой в размышлениях Лейбница над проблемой вычислений. "Недостойно таких замечательных людей, подобно рабам, терять время на вычислительную работу, которую, безусловно, можно было бы поручить любому лицу при использовании машины"- писал он позднее. Такую машину Лейбницу удалось создать спустя много лет, в 1694 г. Лейбниц изучал проблему вычислений и теоретически. В 1703 г. он впервые привлек внимание ученого мира к двоичной системе счисления, доказывая ее преимущества перед десятичной системой, так как в последовательностях нулей и единиц гораздо легче обнаружить закономерности их поведения (он называл их "чудесным порядком").
Лейбниц первым заметил, что выполнение арифметических действий ведется с помощью простых правил, для которых не имеет значения смысл чисел, а важно лишь то, как они записаны. Правила эти достаточно очевидны, а их применение дает однозначный результат, следовательно, эти результаты нельзя поставить под сомнение или оспорить. После этого у Лейбница возникла идея: нельзя ли сделать столь же неоспоримыми и производимые человеком умозаключения, представив их как вычисления? Правда, проблему он исследовал больше как философ, предложив девиз:"Будем вычислять".
Идеи Лейбница о математизации умозаключений, значительно опередив время, не оказав заметного влияния на научные воззрения его современников. Потребовалось еще целых полтора столетия, пока в трудах английского математика Джорджа Буля (1815-1864) не были заложены основы математического подхода к логике. Интересно, что Буль не имел математического образования, но это не помешало ему в 1849г. стать профессором кафедры математики в Куинс-колледже в Корке (Ирландия). Его труды "Математический анализ логики" (1847), "Логическое исчисление" (1848), "Исследование законов мышления" (1845) вошли в фундамент современной математической логики.
Понятие
Понятие выделяет существенные признаки объекта, которые отличают его от других объектов. Объекты, объединенные понятием, образуют некоторое множество. Например, понятие «компьютер» объединяет множество электронных устройств, которые предназначены для обработки информации и обладают монитором и клавиатурой. Даже по этому короткому описанию компьютер трудно спутать с другими объектами, например с механизмами, служащими для перемещения по дорогам и хранящимися в гаражах, которые объединяются понятием «автомобиль».
Понятие - это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
Понятие имеет две стороны: содержание и объем.
Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов.
Например, содержание понятия «персональный компьютер» можно раскрыть следующим образом: «Персональный компьютер — это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя».
Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется.
Объем понятия «персональный компьютер» выражает всю совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.
Высказывание
Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний (суждений, утверждений). Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением.
Высказывания могут быть выражены с помощью не только естественных языков, но и формальных. Например, высказывание на естественном языке имеет вид «Два умножить на два равно четырем», а на формальном, математическом языке оно записывается в виде: «2 • 2 = 4».
Об объектах можно судить верно, или неверно, то есть высказывание может быть истинным или ложным. Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Примером истинного высказывания может служить следующее: «Процессор является устройством обработки информации».
Ложным высказывание будет в том случае, когда оно не соответствует реальной действительности, например: «Процессор является устройством печати».
Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, так как оценка их истинности или ложности невозможна.
Конечно, иногда истинность того или иного высказывания является относительной. Истинность высказываний может зависеть от взглядов людей, от конкретных обстоятельств и так далее. Сегодня высказывание «На моем компьютере установлен самый современный процессор Core Duo» истинно, но пройдет некоторое время, появится более мощный процессор, и данное высказывание станет ложным.
Высказывание — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.
Составные высказывания
До сих пор мы рассматривали простые высказывания. На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания. Например, высказывание «Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати» является составным высказыванием, состоящим из двух простых, соединенных союзом «и».
Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний.
Приведенное выше составное высказывание истинно, так как истинны входящие в него простые высказывания.
Умозаключение
Умозаключения позволяют на основе известных фактов, выраженных в форме суждений (высказываний), получать заключение, то есть новое знание. Примером умозаключений могут быть геометрические доказательства.
Например, если мы имеем суждение «Все углы треугольника равны», то мы можем путем умозаключения доказать, что в этом случае справедливо суждение «Этот треугольник равносторонний».
Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).
Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.
Алгебра логики
Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.
В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Рассмотрим два простых высказывания:
А = «Два умножить на два равно четырем». В = «Два умножить на два равно пяти».
Высказывания, как уже говорилось ранее, могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному — значение 0. В нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В = 0).
В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0).
В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.
Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».
Логические операции
Логическое умножение (конъюнкция)
Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
В русском языке операция конъюнкции выражается союзом «и».
Обозначается:
