Например, амплитуда основной гармоники МДС

Рис. 9.1. МДС однофазной сосредоточенной обмотки статора

 

Амплитуда первой пространственной гармоники МДС по (9.2)

F_k1 = F_k = I₁ ω_k = 0,9 I₁ ω_k (9.3)

Амплитуда пространственной гармоники υ-гo порядка

F_kv = F_k1 / υ =0,9 I₁ ω_k / υ (9.4)

Зависимость МДС любой гармоники от времени и пространственного угла α определяется выражением

f_kv = ±F_kv sin ωt cos υa. (9.5)

С увеличением номера гармоники растет ее пространственная периодичность. Поэтому число полюсов пространственной гармо­ники МДС равно 2p_v = 2pυ.

Полезный магнитный поток в машине переменного тока создает основная гармоника МДС, а высшие пространственные гар­моники МДС обычно оказывают на машину вредное действие (действие высших гармоник МДС рассмотрено в последующих главах).

 

1.2. Магнитодвижущая сила распределенной обмотки

 

На рис. 9.2, а показана катушечная группа обмотки статора, состоящая из трех катушек. График МДС основной гармоники каждой из этих катушек представляет собой синусоиду,

максимальное значение которой (F_к1) совпадает с осью соответствующей катушки, поэтому между векторами МДС катушек F_1k1, F_2k1 и F_3k1 имеется пространственный сдвиг на угол γ', равный пазовому углу смещения катушек обмотки относительно друг друга γ'.

График МДС основной гармоники всей катушечной группы представляет собой также синусоиду, полученную сложением ординат синусоид МДС катушек, составляющих катушечную группу. Максимальное значение этого графика F_г1 совпадает с осью средней катушки.

 

Рис. 9.2. МДС основной гармоники распределенной обмотки статора

Переходя к векторному изображению гармоник МДС, видим, что амплитуда МДС катушечной группы основной гармоники ⁽рис. 9.2, б) определяется геометрической суммой векторов амплитудных значений МДС катушек: F_r1 = F_1k1 + F_lk2 + F_1k3, т. е. анало­гично определению ЭДС катушечной группы (см. рис. 7.7, б). Раз­ница состоит лишь в том, что векторы ЭДС катушек смещены от­носительно друг друга на γ - угол сдвига фаз этих ЭДС относительно друг друга (временной угол), а при сложении МДС угол γ' является пространственным углом смещения амплитуд­ных значений МДС катушек (γ' = γ).

Если все катушки катушечной группы сосредоточить в двух пазах (γ' = 0), то результирующая МДС будет определяться арифметической суммой МДС катушек, т.е. F_r1 = F_k1 q₁.

Таким образом, распределение катушек в нескольких пазах ведет к уменьшению МДС катушечной группы, которое учитыва­ется коэффициентом распределения обмотки. Для МДС основной гармоники это уменьшение невелико, но для высших пространственных гармоник оно значительно.

Амплитуда пространственной гармоники катушечной группы распределенной обмотки

F_rv = F_kv q₁ k_pv = (0,9/v) I₁ω_k q₁ k_pv, (9.6)

где k_pv — коэффициент распределения.

Например, амплитуда основной гармоники МДС

F_r1 = F_k1 q₁ k_p1. (9.7)

Если машина имеет несколько пар полюсов (р > 1), то при q₁, равном целому числу, в силу симметрии обмотки график МДС на каждой паре полюсов будет повторяться, поэтому (9.6), выведенное для катушечной группы, справедливо и для МДС фазной об­мотки F_ф. Заменим в (9.6) число витков катушки ω_k на число витков фазной обмотки ω₁. Для однослойной обмотки при последовательном соединении всех катушек ω₁ = p q_l ω_k, откуда

ω_k = ω₁/ (pq₁) (9-8)

Используя (9.6) и (9.8), получим

F_фv=(0,9/ v) I₁ ω₁ k_pv / p; (9.9)

для основной гармоники

F_ф1 =0,9 I₁ ω₁ k_p1 / p (9.10)

Здесь I₁ — ток в обмотке фазы. При последовательном соединении всех катушек фазной обмотки I₁ = I_к.

Выражение (9.9) справедливо и для двухслойных обмоток, для которых ω₁ = 2p q_l ω_k, так как число витков в катушке двухслойной обмотки ω_{к.двухсл.}, пазовая сторона которой занимает половину паза, в два раза меньше числа витков катушки однослойной обмотки ω_k._односл, т. е. ω_{к.двухсл} = 0,5 ω_{к.односл}.

Выражение (9.9) справедливо также и при параллельном со­единении катушечных групп, когда число последовательно соеди­ненных витков в обмотке фазы уменьшается в а раз, при этом ток в обмотке увеличивается во столько же раз (здесь а — число па­раллельных ветвей в обмотке статора).

Эффективными средствами подавления высших пространст­венных гармоник являются: укорочение шага обмотки, применение распределенной обмотки и скос пазов. Уменьшение амплитуды основной гармоники МДС обмотки статора учитывается обмоточным коэффициентом к_об. Что же касается скоса пазов, то он практически не влияет на величину основной гармоники МДС.

С учетом изложенного амплитуда МДС обмотки фазы статора для основной гармоники

F_фv = (0,9/ v) I₁ ω₁ k_об / p (9.11)

F_ф1 = 0,9 I₁ ω₁ k_об / p (9.12)

МДС однофазной обмотки статора прямо пропорциональна переменному току в этой обмотке (F_ф1 I₁). Переменный ток в течение каждого периода принимает различные мгновенные значения

+I_1max до – I_1max. Следовательно, МДС однофазной обмотки пульсирует с частотой тока f₁ принимая различные мгновенные значения (от + F_ф1, до – F_ф1) на каждом полюсном делении.

При этом все гармонические составляющие этой МДС пульсируют с одинаковой частотой.

1.3. Магнитодвижущая сила трехфазной обмотки статора

 

При включении трехфазной обмотки статора в сеть трехфазного тока в обмотках фаз появятся токи, сдвинутые по фазе (во времени) относительно друг друга на 120 эл. град (рис. 9.3, а):

I_А = I_Amax sin ωt; i_B = I_Bmax sm (ωt -120°); i_C = I_Cmax sin(ωt - 240°). (9.13)

Ток каждой обмотки создает пульсирующую МДС, а совокупное действие этих МДС создает результирующую МДС, вектор которой вращается относительно статора.

Принцип образования вращающейся МДС рассмотрим на про­стейшей трехфазной двухполюсной обмотке, каждая фаза которой состоит из одной катушки (q₁ = 1). Фазные обмотки соединены звездой и включены в сеть трехфазного тока (рис. 9.4). Проведем ряд построений вектора МДС трехфазной обмотки, соответствующих различным моментам времени, отмеченным на графике рис. 9.3, а цифрами 0, 1, 2, 3. В момент времени 0 ток в фазе А равен нулю, в фазе В имеет отрицательное направление, а в фазе С - положительное. Эти направления тока отмечаем на рис. 9.3, б. За­тем в соответствии с указанными в пазовых сторонах обмотки на­правлениями токов определяем направление вектора МДС F₁ трехфазной обмотки статора (вектор направлен вертикально вниз).

 

В момент времени 1 ток в обмотке фазы В равен нулю, в обмотке фазы А имеет положительное направление, а в обмотке фазы С – отрицательное направление. Сделав построения, аналогичные мо­менту времени 0, видим, что вектор МДС F₁ повернулся относи­тельно своего положения в момент времени 0 на 120° по часовой стрелке. Проведя такие же построения для моментов времени 2 и 3, видим, что вектор F₁ каждый раз поворачивается на 120° и за один период переменного тока делает полный оборот (360°).

 

Рис. 9.3. Принцип получения вращающейся МДС

 

Если частота тока в обмотке статора f₁ = 50 Гц, то вектор МДС вращается с частотой 50 об/с. В общем случае частота вра­щения вектора МДС n₁ — синхронная частота вращения — прямо пропорциональна частоте тока f₁ и обратно пропорциональна числу пар полюсов p обмотки статора [см. (6.3)]:

n₁ = f₁ 60/ р.

Значения синхронных частот вращения для промышленной частоты переменного тока f₁ ⁼ 50 Гц приведены ниже:

Число пар полюсов р
Синхронная частота вращениям,, об/мин.

 

Вращающаяся МДС создает в расточке статора вращающееся магнитное поле. При необходимости изменить направление вра­щения МДС нужно изменить порядок следования токов в обмотке.

Так, в рассмотренном примере (см. рис. 9.3) порядок следова­ния токов в фазных обмотках был А — В — С. При этом МДС вра­щалась по часовой стрелке. Если порядок следования токов в фаз­ных обмотках изменить (А — С — B), то МДС трехфазной обмотки будет вращаться против часовой стрелки. Для изменения порядка следования токов в обмотках фаз необходимо поменять места при­соединения к сети двух проводов, отходящих от зажимов об­мотки статора (см. рис. 10.1, а, в). Изменение направления тока во всех трех обмотках фаз не изменяет направления вращения поля статора.

Для определения амплитуды основной гармоники МДС трехфазной обмотки необходимо сложитъ основные гармоники МДС обмоток фаз, оси которых смещены в пространстве относительно друг друга на 120 эл. град:

Рис. 9.4. Статор с трехфазной обмоткой

 

f_A = F_ф1 sin ω₁t cos α = 0,5 F_ф1 [sin (ω₁t – α) + sin(ω₁t + α)];

f_B = F_ф1 sin(ω₁t – 120 )cos(α – 120 ) = 0,5 F_ф1[sin (ω₁t – α) + sin(ω₁t + α – 120 )];

f_C = F_ф1 sin(ω₁t– 240 )cos(α – 240 ) = 0,5 F_ф1[sin (ω₁t – α) + sin(ω₁t + α – 120 )].

Следовательно, МДС трехфазной обмотки

f₁ = f_A + f_B + f_C =1,5 F_ф1 sin(ω₁t - α) = F₁ sin(ω₁t - α), (9.14)

где

F₁ = 1,5 F_ф1 = 1,35 I₁ ω₁ k_об / p (9.15)

– амплитуда основной гармоники МДС трехфазной обмотки, т. е. амплитуда МДС трехфазной обмотки на один полюс при симметричиой нагрузке фаз равна 1,5 амплитуды МДС обмотки фазы [см. (9.12)].

В общем случае число фаз в обмотке статора равно m₁: тогда амплитуда МДС m₁ фазной обмотки на один полюс (А)

F₁ = 0,5 m₁F_ф1 = 0,45 I₁ ω₁ k_об / p (9-16)

1.4. Круговое, эллиптическое и пульсирующее магнитные поля

 

Вращающееся магнитное поле статора может быть круговым и эллиптическим. Круговое поле характеризуется тем, что пространственный вектор магнитной индукции этого поля враща­ется равномерно и своим концом описывает окружность, т. е. зна­чение вектора индукции в любом его пространственном положе­нии остается неизменным.

Круговое вращающееся поле создается многофазной обмоткой статора, если векторы магнитной индукции каждой фазы одинако­вы, т. е. представляют собой симметричную систему. В трехфаз­ной обмотке соблюдение этого условия обеспечивается тем, что фазные обмотки делают одинаковыми, а их оси смещают в про­странстве относительно друг друга на 120 эл.град и включают к сеть с симметричным трехфазным напряжением.

Круговое вращающееся поле может быть получено и посред­ством двухфазной обмотки статора. Для этого оси обмоток фаз смещают в пространстве на 90 эл.град и питают эти обмотки тока­ми, сдвинутыми по фазе относительно друг друга на 90°. Значение этих токов должно быть таким, чтобы МДС обмоток были равны.

Если же изложенные условия не соблюдаются, т. е. если век­торы магнитной индукции обмоток фаз не образуют симметричной системы, то вращающееся поле статора становится эллип­тическим: пространственный вектор магнитной индукции В этого поля в различные моменты времени не остается постоянным и, вращаясь неравномерно (ω = var), своим концом описывает эллипс (рис. 9.5, а). Эллиптическое вращающееся магнитное поле содержит обратно вращающуюся составляющую, которая меньше основной (прямо вращающейся) составляющей.

Таким образом, вектор магнитной индукции эллиптического поля в любом его пространственном положении можно представить в виде суммы векторов магнитных индукций прямого В_пр и обратного В_o6p магнитных полей: В = В_пр + В_обр при В_пр > В_о6р.

Для пояснения обратимся к рис. 9.5, б, на котором показано разложение вектора вращающегося эллиптического поля для че­тырех моментов времени, соответствующих точкам а, b, с, d на кривой, описываемой вектором индукции этого поля (четверть оборота поля). Наибольшее значение вектор индукции результи рующего поля В_mах (точка а) имеет при совпадении в пространстве векторов прямого В_пр и обратного В_обр полей (положения 1 и 1') Наименьшее значение вектора

 

индукции В_mjn (точка d) соответствует встречному направлению векторов В_пр и В_обр (положения 4 и 4'). Значения вектора индукции в точках b и с соответствуют положениям 2 и 3 вектора В_пр и положениям 2' и 3' вектора B_обр.

Обратное магнитное поле неблагоприятно влияет на свойства машины переменного тока, например в двигателях оно создает противодействующий (тормозной) электромагнитный момент и ухудшает их эксплуатационные свойства.

В трехфазной машине магнитное поле будет эллиптическим, если обмотку статора включить в сеть с несимметричным трехфазным напряжением или если обмотки фаз статора

Рис. 9.5 Разложение эллиптического и пульсирующего.

 

магнитных полей на два круговых вращающихся поля несиммет­ричны (имеют неодинаковые сопротивления или разное число виктов). Поле также будет эллиптическим при неправильном сочтении фазных обмоток статора — начало и конец одной из фазных обмоток «перепутаны». В этом случае В_mах = 3В/ 2 и

В_min = В/2,где В - вектор магнитной индукции кругового вращающегося поля данной обмотки при правильном соединении фаз (рис. 9.5, а).

Если прямая и обратная составляющие магнитного поля рав­ны, то результирующее поле становится пульсирующим. Вектор индукции этого поля неподвижен в пространстве (рис. 9,5, в) и лишь изменяется во времени от + В_max до – В_mах (когда векторы В_пр и В_обр совпадают по направлению), проходя через нулевое течение (когда векторы В_пр и В_обр направлены встречно). Пульсирующее магнитное поле создает однофазная обмотка, включенная в сеть переменного тока.

1.5. Высшие пространственные гармоники магнитодвижущей силы трехфазной обмотки

 

Полюсное деление МДС высших пространственных гармоник обратно пропорционально номеру гармоники: τ_v = τ /v. Поэтому пространственная периодичность этих гармоник растет пропорционально номеру гармоники (см. рис. 9.1). Учитывая изложенное, запишем уравнение МДС третьей гармоники фазных обмоток:

f_3A = F_3A sin ω₁t cos3α;

f_3B = F_3B sin(ω₁t – 120 )cos3(α – 120 ) = F_3A sin (ω₁t –120 )cos3α;

f_3C = F_3C sin(ω₁t– 240 )cos3α (α – 240 ) = F_3A sin (ω₁t – 240 ) cos3α.

откуда МДС третьей гармоники трехфазной обмотки

f₃ = f_3A + f_3B + f_3C = 0, (9-17)

т. е. результирующая МДС третьей гармоники в трехфазной об­мотке статора при симметричной нагрузке фаз равна нулю. Это распространяется также и на высшие гармоники, кратные трем (9, 15 и др.). МДС высших гармоник оставшихся номеров (5, 7 и др.) ослабляются распределением обмотки в пазах, укорочением шага катушек и скосом пазов.

МДС высших гармоник многофазной обмотки статора - вращающиеся. При этом частота их вращения n_v в раз меньше частоты вращения МДС основной гармоники:

n_v = n₁/ . (9.18)

Направление вращения этих МДС зависит от номера гармоники: МДС гармоник порядка 6х + 1 вращаются согласно с МДС основной гармоники — прямовращающиеся МДС, а МДС порядка 6х - 1 вра­щаются встречно МДС основной гармоники — обратновращающиесяМДС (здесь х= 1, 2, 3,...).

Вращающиеся магнитные поля, созданные высшими гармони­ческими составляющими МДС, индуцируют в обмотке статора ЭДС основной частоты). Действительно, частота ЭДС, наведен­ной магнитным полем любой пространственной гармоники,

f_v = n_v p_v/ 60 = n₁ pv/ ( 60) = f₁ (9.19)

где p_v = p ; n_v = n₁/ .

Литература

1.Кацман М.М. «Электрические машины»