МОУ Школа с.Белоярск
Решение задач на концентрации.
Учитель математики
Бахрина Татьяна Ильинична
Решение задач на концентрации.
В школьном курсе математики мало внимания уделяется задачам на смеси, сплавы, концентрации растворов. Эти задачи включены в варианты ЕГЭ по предмету и вызывают большие затруднения у выпускников.
Приведем старинный способ решения задач на смешивание веществ из арифметики Магницкого.
Задача 1. Как смешать масла?
У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?
Друг под другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них и примерно посередине – стоимость масла, которое должно получиться после смешивания. Соединив написанные чиста черточками получим такую картину:
Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла, и результат поставим справа от большей цены. Затем из большей цены вычтем цену смешанного масла, а то, что останется, напишем справа от меньшей цены. Получится такая картина:
6 3
10 
Из нее делается заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого 3/4 ведра.
Предложенный способ позволяет легче запомнить последовательность действий при решении задач на смешивание и добиться автоматизма при выполнении самих действий..
Вот одна из современных задач на смешивание.
Задача 2. Имеется два раствора 68% и 78% серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора серной кислоты, чтобы получить 100 граммов 70% раствора серной кислоты?
Решение. По изложенному выше способу имеем:
68 8
78 
Таким образом, надо взять 80 граммов 68% и 20 граммов 78% растворов серной кислоты.
Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ всегда позволяет получить правильный ответ.
В самом деле, предположим, что смешиваются два вещества – первое стоимостью a гривен за фунт и второе b гривен за фунт. Желательно же получить вещество стоимостью с гривен за фунт. Будем считать, что а меньше b. Ясно, что если с больше b или с меньше а, то задача не разрешима (смешивая дешевые вещества дорогое не получишь). Поэтому можно считать, что с больше a, но меньше b. Смешаем 1 фунт первого вещества и g фунтов второго. В результате получится 1+g фунтов вещества стоимостью a+bg гривен. Один фунт смеси должен стоить с гривен. Значит, должно выполняться равенство a+bg=c(1+g). Отсюда находим g=(c-a):(b-c).
Вещества нужно мешать в отношении 
или (b-c):(c-a). Но именно это отношение и дает старинный способ:
A b-c
c
B c-a
Рассмотрим решение задач из сборника М.Л. Галицкого по алгебре для 8-9 классов с углубленным изучением математики.
Задача 3.(10.26) Смешали 10% и 25% растворы соли и получили 3 кг 20% раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?
Решение:
10% 5 
частей
20% (3 кг)
25% 
частей
– 10%-ого раствора.
– 25%-ого раствора.
Ответ: 1 кг; 2 кг.
Задача 4. (10.27) Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?
Используем для решения этой задачи старинный метод из арифметики Магницкого.
В первом сплаве золота 2 части из 5-ти, 
= 0,4 = 40%.
Во втором сплаве золота 3 части из 10-ти, 
= 0,3 = 30%.
В третьем сплаве золота 5 частей из 16-ти, 
= 0,3125 = 31,25%.
30% 8,75 
= 0,875
31,25%
40% 
= 0,125
8∙0,875 = 7кг – сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 3:7
8∙0,125 = 1кг – сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 2:3
Ответ: 1 кг; 7 кг.
Задача 5 (из текста ЕГЭ). Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?
Решение: (пресная вода)
0% 3,5 
= 0,7
1,5%
5% (30кг) 
= 0,3
0,3 – 30 кг
0,7 – х кг
= 70 кг – пресной воды.
Ответ: 70 кг.
Изложенный в статье метод Магницкого позволяет сократить время для решения задач данного типа, решать трудные задачи всем учащимся, которые знают действие с обыкновенными дробями.
Задачи на концентрации из текстов ЕГЭ.
1. Имеется лом стали двух сортовс содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140т стали с содержанием никеля 30%?
2. Сколько чистого спирта нужно добавить к 735г 16%-ого раствора йода в спирте, чтобы получился 10%-ный раствор?
3. Имеется два сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы после их сплавления вместе получилось 10кг нового сплава, содержащего 27% олова?
4. Имеется два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления получить сплав, содержащий 42% золота?
5. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?
6. Кусок железа с медью массой 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 30% железа?
7. Имеется два сплава золото и серебро. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 1:2, в другом 2:3. Сколько граммов нужно взять каждого сплава, чтобы получить 19г сплава, в котором золото и серебро в отношении 7:12.
8. Некоторый сплав состоят из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?
9. Сколько граммов нужно взять 20%-ого и 32,1%-ого растворов соляной кислоты, чтобы приготовить 242г 26,7%-ого раствора?
Ответы: 1. 40; 100. 2. 411. 3. 3; 7.
4. 15. 5. 50; 30. 6. 15.
7. 9; 10. 8. 
. 9. 108г; 134г.