Дополнение к лекции. Для ознакомления.

Процесс математического моделирования, то есть изучения явления с помощью Математическая модель, можно подразделить на 4 этапа.

Первый этап — формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.

Второй этап — исследование математических задач, к которым приводят Математическая модель Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа Математическая модель, и вычислительная техника — мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе Математическая модель различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Третий этап — выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена — все параметры её были заданы, — то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если Математическая модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке Математическая модель позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвёртый этап — последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей Математическая модель, не соответствуют нашим знаниям о явлении. Т. о., возникает необходимость построения новой, более совершенной Математическая модель

Типичным примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении Математическая модель, является модель Солнечной системы. Наблюдения звёздного неба начались в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего многообразия небесных светил. Таким образом, первым шагом было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение закономерностей их движений. (Вообще определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями — «аксиомами» — гипотетической модели.) Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (2 век н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрическая модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся по накоплении наблюдений.

Развитие мореплавания поставило перед астрономией новые требования к точности наблюдений. Н. Коперником в 1543 была предложена принципиально новая основа законов движения планет, полагавшая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружностям (гелиоцентрическая система). Это была качественно новая (но не математическая) модель Солнечной системы. Однако не существовало параметров системы (радиусов окружностей и угловых скоростей движения), приводящих количеств, выводы теории в должное соответствие с наблюдениями, так что Коперник был вынужден вводить поправки в движения планет по окружностям (эпициклы).

Следующим шагом в развитии модели Солнечной системы были исследования И. Кеплера (начало 17 века), который сформулировал законы движения планет. Положения Коперника и Кеплера давали кинематическое описание движения каждой планеты обособленно, не затрагивая ещё причин, обусловливающих эти движения.

Принципиально новым шагом были работы И. Ньютона, предложившего во 2-й половине 17 века динамическую модель Солнечной системы, основанную на законе всемирного тяготения. Динамическая модель согласуется с кинематической моделью, предложенной Кеплером, так как из динамической системы двух тел «Солнце — планета» следуют законы Кеплера.

К 40-м годам 19 века выводы динамической модели, объектами которой были видимые планеты, вошли в противоречие с накопленными к тому времени наблюдениями. Именно, наблюдаемое движение Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. У. Леверье в 1846 расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетической планетой, названной им Нептуном, и, пользуясь новой моделью Солнечной системы, определил массу и закон движения новой планеты так, что в новой системе противоречие в движении Урана было снято. Планета Нептун была открыта в месте, указанном Леверье. Аналогичным методом, используя расхождения в теоретической и наблюдаемой траектории Нептуна, в 1930 была открыта планета Плутон.

Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать новые технические средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. Математическая модель проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономического планирования и являются важным элементом автоматизированных систем управления.

По принципам построения математические модели разделяют на:

- аналитические;

- имитационные.

В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей.

Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:

- уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),

- аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование),

- задачи оптимизации,

- стохастические проблемы.

Однако по мере усложнения объекта моделирования построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда исследователь вынужден использовать имитационное моделирование.

В имитационном моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов. Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем здесь затруднительно. Имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.

Пример 3. Пусть модель экономической системы производства товаров двух видов 1 и 2, в количестве х1 и х2 единиц соответственно, со стоимостью единиц товара a1 и а2 описана в виде соотношения: а1х1 + а2х2 = S, где S — общая стоимость произведенной предприятием всей продукции (видов 1 и 2). Можно эту модель использовать в качестве имитационной модели, по которой определять (варьировать) общую стоимость S в зависимости от тех или иных значений объемов производимых товаров.

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

- детерминированные,

- стохастические.

В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра.

Пример 4. Приведенные выше физические модели — детерминированные. Если в модели S(p) = g(p)t²/2, 0 < t < 100 мы учли бы случайный параметр — порыв ветра с силой р при падении тела, например, так: S = gt²/2, 0 < t < 100, то мы получили бы стохастическую модель (уже не свободного) падения.

Стохастическая модель (вероятностная) учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.

По виду входной информации модели разделяются на:

- непрерывные - если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы.

Пример 5. Модель S=gt²/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0; 100).

- дискретные - если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы

Пример 6. Если рассматривать только t - 0, 1, 2,..., 10 (с), то модель S₁ = gt²/2, или числовая последовательность S₀ = 0, S = g/2, S₂ = 2g, S₃ = 9g/2,..., S₁₀= 50g, может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

По поведению моделей во времени они разделяются на:

- статические,

- динамические.

Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени.

Пример 7. Закон Ньютона F = am — это статическая модель движущейся с ускорением а материальной точки массой m. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.

Пример 8. Модель S = gt^z/2 — динамическая модель пути при свободном падении тела. Динамическая модель типа закона Ньютона: F(t) = a(t)m(t).

По степени соответствия между математической моделью и реальным объектом, процессом или системой математические модели разделяют на:

- изоморфные (одинаковые по форме),

- гомоморфные (разные по форме).

Модель называется изоморфной, если между нею и реальным объектом, процессом или системой существует полное поэлементное соответствие. Гомоморфной - если существует соответствие лишь между наиболее значительными составными частями объекта и модели.

Сходство модели с объектом, который она отображает, называется степенью изоморфизма. Для того, чтобы быть изоморфной, модель должна удовлетворять двум условиям:

- должно существовать однозначное соответствие между элементами модели и элементами представляемого объекта;

- должны быть сохранены точные соотношения или взаимодействия между элементами.

Степень изоморфизма модели относительна, и большинство моделей скорей гомоморфны, чем изоморфны.

Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.

Модель теоретико-множественная, если представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Пример 9. Пусть заданы множество X = {Николай, Петр, Николаев, Петров, Елена, Екатерина, Михаил, Татьяна} и отношения: Николай — супруг Елены, Екатерина — супруга Петра, Татьяна — дочь Николая и Елены, Михаил — сын Петра и Екатерины, семьи Николая и Петра дружат друг с другом. Тогда множество X и множество перечисленных отношений Y могут служить теоретико-множественной моделью двух дружественных семей.

Модель логическая, если она представима предикатами, логическими функциями.

Пример 10. Совокупность двух логических функций вида: может служить математической моделью одноразрядного сумматора.

Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию Между участниками игры (лицами, коалициями).

Пример 11. Пусть игрок 1 — добросовестный налоговый инспектор, а игрок 2 — недобросовестный налогоплательщик. Идет процесс (игра) по уклонению от налогов (с одной стороны) и по выявлению сокрытия налогов (с другой стороны). Игроки выбирают натуральные числа i и j, которые можно отождествить, соответственно, со штрафом, назначаемым игроку 2 за неуплату налогов при обнаружении факта неуплаты игроком 1, и с временной выгодой игрока 2 от сокрытия налогов (в средне- и долгосрочном плане штраф за сокрытие может оказаться намного более ощутимым). Рассмотрим матричную игру с матрицей выигрышей А порядка n. Каждый элемент этой матрицы определяется по правилу a_ij=/i — j/. Модель игры описывается этой матрицей и стратегией уклонения и поимки. Эта игра — антагонистическая, бескоалиционная (эти формализуемые в математической теории игр понятия мы пока будем понимать интуитивно).

Модель алгоритмическая, если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование, развитие. Введение такого на первый взгляд непривычного типа моделей кажется нам вполне обоснованным, так как не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.

Пример 12. Алгоритмической моделью квадратного корня из числа х может служить алгоритм вычисления его приближенного сколь угодно точного значения по известной рекуррентной формуле.

Модель языковая, лингвистическая, если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой. Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими и т. п.

Пример 13. Правила дорожного движения — языковая, структурная модель движения транспорта и пешеходов на дорогах.

Модель визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

Пример 14. На экране компьютера часто пользуются визуальной моделью того или иного объекта, например клавиатуры в программе-тренажере по обучению работе на клавиатуре.

Модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования.

Пример 15. Глобус — натурная географическая модель земного шара.

Модель геометрическая, графическая, если она представима геометрическими образами и объектами.

Пример 16. Макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома.

Тип модели зависит от информационной сущности моделируемой системы, от связей и отношений ее подсистем и элементов, а не от ее физической природы.

Пример 17. Математические описания (модели) динамики эпидемии инфекционной болезни, радиоактивного распада, усвоения второго иностранного языка, выпуска изделий производственного предприятия и т.д. являются одинаковыми с точки зрения самого описания, хотя процессы различны.

Границы между моделями различных типов или же отнесение модели к тому или иному типу часто весьма условны. Можно говорить о различных режимах использования моделей — имитационном, стохастическом и т. д.

Все основные типы моделей, возможно, за исключением некоторых натурных — системно-информационные (инфосистемные) и информационно-логические (инфологические). В узком понимании информационная модель — это модель, описывающая, изучающая, актуализирующая информационные связи и отношения в исследуемой системе. В еще более узком понимании информационная модель — это модель, основанная на данных, структурах данных, их информационно-логическом представлении и обработке. Как широкое, так и узкое понимание информационной модели необходимы, определяются решаемой проблемой и доступными для ее решения ресурсами, в первую очередь информационно-логическими.