Изучая сложные технологические процессы, аппараты и физико-химические явления, мы не можем учесть все факторы: какие-то из них оказываются существенными, а какими-то можно пренебречь. При этом выдвигается система допущений (гипотез), которая тщательно обосновывается и позволяет выявить и учесть при математическом описании наиболее характерные черты исследуемой системы. В результате формируется ММ исследуемой системы.
На рис. 1 приведена укрупненная схема, отражающая основные этапы работ по построению ММ систем. Эта схема содержит этапы, которые являются общими для любых методов построения моделей (аналитических, экспериментальных и др.). Инициацией начала работ является возникновение какой-либо проблемы, требующей использования ММ, и получение задания на моделирование.
Рис. 1 Основные этапы построения математической модели (ММ)
На первом этапе производится описание проблемной области, формулируются цели и задачи, для решения которых требуются ММ. Например, такими задачами могут быть оптимизация конструкции аппарата, оптимизация режимов его работы и т.д.
На втором этапе составляется полный перечень требований к ММ, по существу этот перечень представляет собой техническое задание на разрабатываемую модель. Это задание должно содержать сведения о входных и выходных переменных, области их изменения, допустимые погрешности, требования к быстродействию и т.п.
На основе выполнения первых двух этапов разрабатывается концепция модели (третий этап), дается ее вербальное описание, строится схема, учитывающая логические связи между переменными, делаются предположения о методах построения модели, формировании коллектива специалистов для выполнения работ по моделированию.
Четвертый этап является наиболее трудоемким. В зависимости от применяемого метода построения ММ этот этап разбивается на несколько стадий. Например, при использовании экспериментальных методов четвертый этап может содержать стадии планирования эксперимента, проведения эксперимента, обработки результатов эксперимента и др. Более подробно работы четвертого этапа будут рассмотрены далее. Следует заметить, что на данном этапе наряду с системным аналитиком к работе привлекаются программисты.
На пятом этапе производится проверка адекватности разработанной ММ в виде компьютерной программы. Для этого модель тестируется во всем диапазоне изменения переменных. По результатам тестирования и сопоставления с экспериментальными данными делается вывод об адекватности модели или необходимости внесения изменений, т.е. коррекции ранее выполненных этапов.
Окончательная проверка пригодности модели делается на шестом этапе на основе использования полученной ММ для решения задач, сформулированных на первом этапе.
В процессе компьютерного моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами: системой (реальной, проектируемой, воображаемой), математической моделью и программой ЭВМ, реализующей алгоритм решения уравнений модели. Традиционная схема компьютерного моделирования как единого процесса построения и исследования модели, имеющего соответствующую программную поддержку, может быть представлена в следующем виде (рис. 2).
Рис. 2 Схема организации процесса компьютерного моделирования: 1—9 — блоки процесса; ММ — математическая модель
Исходя из того что компьютерное моделирование применяется для исследования, оптимизации и проектирования реальных технологических объектов (систем), можно выделить следующие этапы этого процесса:
- определение объекта — установление границ областей определения переменных, ограничений и показателей эффективности функционирования объекта;
- формализация объекта — переход от реального объекта к некоторой логической схеме (абстрагирование);
- подготовка данных, необходимых для построения модели, и представление их в соответствующей форме;
- разработка моделирующего алгоритма и программы для ЭВМ;
- оценка адекватности — повышение до приемлемого уровня степени уверенности, с которой можно судить о корректности
- описания реального объекта, полученного на основании обращения к модели;
- стратегическое планирование — планирование вычислительного эксперимента, который должен дать необходимую информацию;
- тактическое планирование — определение способа проведения каждой серии испытаний, предусмотренных планом эксперимента;
- экспериментирование — процесс осуществления имитации с целью получения желаемых данных и анализа чувствительности;
- интерпретация — построение выводов по данным, полученным путем имитации;
- реализация — практическое использование модели и результатов моделирования;
- документирование — регистрация хода осуществления процесса и его результатов, а также документирование процесса создания и использования модели.
Перечисленные этапы создания и использования модели определены в предположении, что задача может быть решена наилучшим образом с помощью компьютерного моделирования. Однако это может быть не самым эффективным способом. В том случае, если задача может быть сведена к ММ и решена аналитически, нет никакой нужды в компьютерном моделировании и имитации.
Следует изыскивать все возможные средства, подходящие для решения данной конкретной задачи, стремясь при этом к оптимальному сочетанию стоимости и качества результатов. Прежде чем приступать к оценке возможностей имитации, следует убедиться, что аналитическая модель для данного случая непригодна.
В представленной на рис. 2 схеме организации процесса компьютерного моделирования (имитации) основная цепочка (реальный технологический объект (система) — математическая модель — моделирующий алгоритм — программа ЭВМ — вычислительный эксперимент) соответствует традиционной схеме (см. рис. 2), но во главу угла теперь ставится понятие триады «модель — алгоритм — программа» (блоки 4, 5, 6), стратегическое и тактическое планирование вычислительного эксперимента (блок 7), интерпретация и документирование его результатов (блок 8).
Рассмотренные подходы (см. рис. 1, 2) позволяют выделить следующие укрупненные этапы моделирования систем: описание предметной области и построение концептуальной модели; выбор или разработка метода и вычислительного алгоритма решения задачи моделирования.
Основным назначением первого этапа является переход от содержательного описания системы к его ММ. Содержательное описание является исходным материалом для последующих этапов формализации: построения формализованной схемы процесса функционирования системы и полной ММ этого процесса.
При построении модели целесообразно придерживаться блочного принципа с выделением основных блоков, имитирующих воздействия внешней среды; описывающих процессы в самой системе, и вспомогательных блоков, обеспечивающих компьютерную реализацию и обработку результатов моделирования.
После перехода от описания моделируемой системы к ее модели, построенной по блочному принципу, необходимо построить математические модели процессов, происходящих в различных блоках. Модели представляют собой совокупность соотношений (например, уравнений, логических условий, операторов), определяющих характеристики процесса функционирования системы в зависимости от ее структуры, алгоритмов поведения, параметров системы, воздействия внешней среды, начальных условий и времени. Математическая модель является результатом формализации процесса функционирования исследуемой системы, т.е. построения формального (математического) описания процесса с необходимой в рамках проводимого исследования степенью приближения к действительности.
Важную роль играет построение концептуальной модели системы и ее формализация. Разработка концептуальной модели предполагает четкую формулировку задачи исследования, выбор методики решения задачи с учетом имеющихся ресурсов, анализ масштаба задачи и возможности декомпозиции ее на подзадачи.
При проведении анализа конкретизируются критерии оценки эффективности процесса функционирования системы, определяются эндогенные и экзогенные переменные модели, рассматриваются аспекты идентификации и алгоритмизации модели системы для машинной реализации.
Второй этап связан с разработкой метода расчета сформулированной математической задачи или, как говорят, вычислительного или моделирующего алгоритма. Фактически он представляет собой совокупности алгебраических формул, по которым ведутся вычисления, и логических условий, позволяющих установить нужную последовательность применения этих формул. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного технологического объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров.
Как правило, для одной и той же математической модели можно предложить множество вычислительных алгоритмов. Выбор оптимального алгоритма производится с учетом того, что еще требуется построение эффективных вычислительных методов, которые позволяют получить решение поставленной задачи с заданной
точностью за минимальное количество действий (арифметических, логических), т.е. с минимальными затратами машинного времени. Эти вопросы весьма существенны и составляют предмет теории численных методов.
Вычислительный эксперимент имеет многовариантный характер. Действительно, решение любой прикладной задачи зависит от многочисленных входных переменных и параметров. Например, если рассчитывается технологическая установка, то имеется множество различных режимных переменных и конструктивных параметров, в котором нужно определить оптимальный набор значений, обеспечивающий эффективное функционирование этой установки. Получить аналитическое решение соответствующей математической задачи в виде формулы, содержащей явную зависимость от режимных переменных и конструктивных параметров, для реальных задач, как правило, не удается. При проведении вычислительного эксперимента каждый конкретный расчет проводится при фиксированных значениях переменных и параметров. Проектируя оптимальную ТС, т.е., определяя в пространстве переменных и параметров точку, соответствующую оптимальному режиму, приходится проводить большое число расчетов однотипных вариантов задачи, отличающихся значениями некоторых переменных или параметров, поэтому очень важно опираться на эффективные численные методы.
Третий этап — создание программы для реализации разработанного моделирующего алгоритма на ЭВМ (создание компьютерной модели). Применение большинства языков программирования высокого уровня порождает ряд проблем, из которых главными являются трудоемкость и недостаточная гибкость. В процессе исследования реальных систем часто приходится уточнять модели, что влечет за собой перепрограммирование моделирующего алгоритма. Ясно, что процесс моделирования в этом случае не будет эффективным, если не обеспечить его гибкости. Для этой цели можно использовать формальные схемы, описывающие классы ММ из определенной предметной области, поскольку прораммировать тогда нужно функционирование данной схемы, а е описываемые ею частные модели.
Схема программы ЭВМ представляет собой интерпретацию логической схемы моделирующего алгоритма и отображает порядок программной реализации моделирующего алгоритма с использованием конкретного математического обеспечения.
Логическая схема алгоритма и схема программы могут быть выполнены как в укрупненной, так и в детализированной формах. 1дя изображения этих схем используется набор символов, определяемых ГОСТ 19.701—90 (ИСО 5807—85) «Единая система прораммной документации».
В результате разработки схемы модели, ее алгоритмизации и программирования, т.е. создания триады «модель — алгоритм — программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и сравнительно недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах. После проверки адекватности триады исходной технологической системе, с моделью можно проводить разнообразные «опыты», которые позволяют оценить все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики системы. Процесс компьютерного моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.
Вычислительный эксперимент — это собственно проведение расчетов на ЭВМ и получение информации, представляющей интерес для исследователя. Точность этой информации определяется достоверностью, прежде всего модели, моделирующего алгоритма, программы ЭВМ и исходных данных. Именно по этой причине в серьезных прикладных исследованиях полномасштабным вычислениям предшествует период проведения тестовых расчетов, которые необходимы не только для того, чтобы «отладить» программу, т.е. отыскать и исправить все ошибки и опечатки, допущенные как при создании алгоритма, так и при его программной реализации. В этих предварительных расчетах тестируется также сама ММ, выясняется ее адекватность исследуемому объекту. Для этого проводится расчет некоторых контрольных экспериментов, по которым имеются достаточно надежные данные. Сопоставление этих данных с результатами расчетов позволяет уточнить ММ, обрести уверенность в правильности предсказаний, которые будут получены с ее помощью.
Только после проведения длительной работы в вычислительном эксперименте наступает фаза прогноза (имитации) — с помощью компьютерной модели предсказывается поведение исследуемого объекта в условиях, где натурные эксперименты пока не проводились или где они вообще невозможны.
Важное место в вычислительном эксперименте занимают обработка результатов расчетов, их всесторонний анализ и, наконец выводы.
Лекция № 4