Алгоритмы параметрических критериев.
Параметрические критерии применяются для выборок с нормальным законом распределения. Формула расчета этих критериев содержат параметры выборки: среднее, дисперсии и др. Поэтому они называются параметрическими. Нормальность закона распределения должна быть статистически доказана с помощью одного из критериев согласия: критерий Пирсона, F-критерия Фишера, 
-критерия Колмогорова и др.
В ряде случаев параметрические критерии мощнее непараметрических критериев. У последних выше вероятность возникновения ошибки второго рода – принятия ложной нулевой гипотезы.
К параметрическим методам относятся следующие:
– Критерий Стьюдента
– Критерий Фишера
– Методы однофакторного анализа
– Методы двухфакторного анализа
Критерий Стьюдента
Критерий позволяет оценивать различия средних значений выборок, имеющих нормальное распределение.
Описание критерия.
Критерий применим для сравнения средних значений двух выборок полученных до и после воздействия некоторого фактора.
| Данный критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (а руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсетта вышла в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент). Зависимые(связанные) и независимые (несвязанные) выборки При сравнении двух (и более) выборок важным параметром является их зависимость. Если можно установить гомоморфную пару (то есть, когда одному случаю из выборки X соответствует один и только один случай из выборки Y и наоборот) для каждого случая в двух выборках (и это основание взаимосвязи является важным для измеряемого на выборках признака), такие выборки называются зависимыми. Примеры зависимых выборок: · пары близнецов, · два измерения какого-либо признака до и после экспериментального воздействия, · мужья и жёны · и т. п. В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми, например: · мужчины и женщины, · психологи и математики. Соответственно, зависимые выборки всегда имеют одинаковый объём, а объём независимых может отличаться. |
Двухвыборочный t-критерий для независимых выборок
Для двух несвязанных выборок(наблюдения не относятся к одной и той же группе объектов) возможны два варианта расчета:
– когда дисперсии известны
– когда дисперсии неизвестны, но равны друг другу.
1. Предварительно проверяется нормальность закона распределения по одному из критериев согласия.
2. Рассчитывается средне арифметические значения 
и 
для каждой выборки по формуле 
где 
– значение i -го результата наблюдения.
3. Рассчитывается 
- эмпирическое значение критерия Стьюдента:
Где 
квадратичного отклонения. Здесь 
и 
– оценки дисперсий.
Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае 
В случае наравночисленных выборок 
, выражение
В обоих случаев подсчет числа степеней свободы осуществляется по формулам
Понятно, что при численном равенстве выборок 
4. Эмпирическое значение 
критерия Стьюдента сравнивается с критическим значением 
(по таблице 1 приложения) для данного числа степеней свободы.
Нулевая гипотеза 
при заданном уровне значимости 
принимается, если эмпирическое значение 
.
Пример.
Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора (в мс) в контрольной и экспериментальных группах. В экспериментальную группу (Х) входило 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающиеся спортом. Психолог приверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем та же величина у людей, не занимающихся спортом.
| № | Группы | Отклонения от среднего | Квадраты отклонений | |||
| X | Y | 
| 
| 
| 
| |
| -22 | -58 | |||||
| -106 | ||||||
| -17 | ||||||
| -2 | ||||||
| -77 | ||||||
| -36 | ||||||
| -8 | ||||||
| - | -56 | - | - | |||
| Сумма | ||||||
| Среднее |
Cредне арифметические значения X и У: 
, в контрольной группе 
.
Тогда
Число степеней свободы k=9+8-2=15