Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда (выделение неслучайной компоненты).

Одной из важнейших задач иссле­дования экономического временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса, выраженной неслучай­ной составляющей f(t) (тренда либо тренда с циклической или (и) сезонной компонентой).

Для решения этой задачи вначале необходимо выбрать вид функции f(t). Наиболее часто используются следующие функции:

линейная — f(t) — b₀+b₁t,

полиномиальная — f(t) – b₀+b₁t+b₂t²+...+b_nt ⁿ;

экспоненциальная — f(t) = e^bo+b1t;

логистическая — f(t)= ____а_____

1 + be^-ct

Гомперца — log_c f(t) = a – b ^t, где 0 < r < 1.

Из двух функций предпочтение обычно отдается той, при которой меньше сумма квадратов отклонений фактических дан­ных от расчетных на основе этих функций. Но этот принцип нельзя доводить до абсурда: так, для любого ряда из п точек можно подобрать полином (п -1)-й степени, проходящий через все точки, и соответственно с минимальной — нулевой — сум­мой квадратов отклонений, но в этом случае, очевидно, не сле­дует говорить о выделении основной тенденции, учитывая слу­чайный характер этих точек. Поэтому при прочих равных усло­виях предпочтение следует отдавать более простым функциям.

Для выявления основной тенденции чаще всего используется метод наименьших квадратов. Значения временного ряда y_t рассматриваются как зависимая переменная, а время t — как объясняющая:

y_t= f(t)+ _t,

_t- возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа, т. е. представляю­щие независимые и одинаково распределенные случайные величи­ны, распределение которых предполагаем нормальным..

Напомним, что согласно методу наименьших квадратов па­раметры прямой = f(t) = b₀ + b₁ t находится из системы нор­мальных уравнений, в которой в качестве х_i, берем t:

b_on+b₁ = _t

b_o +b₁ ² = _t t

Учитывая,что значения переменной t=1,2,…n образуют натуральный ряд чисел от 1 до n, суммы , ² можно выразить через число членов ряда n по известным в математике формулам:

= n(n+1)/2; ² =n(n+1)(2n+1)/6

Рассмотрим пример №3.

При применении метода наименьших квадратов для оценки параметров экспоненциальной, логистической функций или функции Гомперца возникают сложности с решением получае­мой системы нормальных уравнений, поэтому предварительно, до получения соответствующей системы, прибегают к некото­рым преобразованиям этих функций (например, логарифмиро­ванию и др.)

Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т. е. выделения неслучайной составляющей, является ме­тод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов рада к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам вы­бранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения откло­нений ряда. Действительно, если индивидуальный разброс зна­чений члена временного ряда y_t около своего среднего (сгла­женного) значения а характеризуется дисперсией
², то разброс средней из т членов временного ряда (у₁ + у₂ +…+ Ут)/m около того же значения а будет характеризоваться существенно мень­шей величиной дисперсии, равной
² /т. Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с неко­торыми весами), медиана и др.