РАЗДЕЛЫ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Вариант 1

1. Найти область определения функции

z = Зху/(2х — 5у).

2. Вычислить значения частных производных f'_x(M₀), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M₀(x₀, ) с точностью до двух знаков после запятой.

f(x, у, z) = , (0,-1,1).

3. Найти полный дифференциал функции.

z = 2x³y — 4xy⁵

4.Вычислить значение производной сложной функции u = u (х_, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t₀ с точностью до двух знаков после запятой.

u = e^x-2y, x = sin t, у = t³, to = 0.

5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой

x³ + y³ + z³-3xyz = 4, Mо(2, 1, 1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + y² + z² + 6z-4x + 8 = 0, M₀(2, 1, -1)

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

9.Дана функция u (М) = u(х, у, z) и точки M₁, M₂. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M₁ по направлению вектора М₁М₂; 2) grad u(М₁).

u(M) = x²y + y²z + z²x, М₁ (l, -1, 2), М₂(3, 4, -1).

10. Найти экстремум функции

Вариант 2

1. Найти область определения функции

z = arcsin (x — у).

f(x, y, z) = ln(x + ), M₀(1, 2, 1)

3. Найти полный дифференциал функции.

z = x²y sin x — 3y

u =ln (е^x + е^-^y), х = t², у = t³, tо = - 1

х² + у² + z² —ху = 2, Мо(- 1, 0, 1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + z² — 4y² = —2ху, М₀(- 2, 1, 2).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M₁, M₂. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M₁ по направлению вектора М₁М₂; 2) grad u(М₁).

u(M) = 5xy³z², М₁,(2, 1, -1), М₂(4, -3, 0).

Вариант 3

1. Найти область определения функции

f(x,y,z) = (sinx) , M_o(, 1, 2).

3. Найти полный дифференциал функции

z = arctg x +

4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х_, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t₀ с точностью до двух знаков после запятой.

u = y^x, x=ln(t-1), у = е^1/2, t₀ = 2

3x-2y + z = xz + 5, M_o(2, 1, -1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + y² + z² — xy + 3z = 7, M₀(l, 2, 1)

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M₁, M₂. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M₁ по направлению вектора М₁М₂; 2) grad u(М₁).

u(М) = ln(x² + У² + z²), М₁ (-1, 2, 1), М₂(3, 1. -1).

Вариант 4

1. Найти область определения функции

z= ln (4- х² -у²)

f(x, y, z) = ln(x³ + 2y³-z³), M_o(2, 1, 0).

3. Найти полный дифференциал функции

z = arcsin (xy) — 3xy²

4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х_, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t₀ с точностью до двух знаков после запятой

u = е^у^-2x+ ²_, x = sint, у = cost, tо = π/2

e^z+ x + 2y + z =4 M_o(1, 1, 0)

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + y² + z² + 6y + 4x = 8, M_o (-1, 1, 2).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M₁, M₂. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M₁ по направлению вектора М₁М₂; 2) grad u(М₁)

u(М) = z , М₁,(0, 0, 0), М₂(3, -4, 2).

Вариант 5

1. Найти область определения функции z = 2/(6 -x²- у²).

f(x,y,z)= , M₀(1, 0, 1).

3. Найти полный дифференциал функции

z = 5xy⁴ + 2x²y⁷

u = x²e^y, х = cos t, у = sin t, t₀ = π.

х² + у² + z²- z – 4=0, M₀(1, 1, -1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: 2x²- y² + z² — 4z + y=13, M₀(2, 1, -1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M₁, M₂. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M₁ по направлению вектора М₁М₂; 2) grad u(М₁).

u(M)=ln(xy + yz + xz), М₁(-2, 3, -1),.М₂(2. 1. -3).

Вариант 6

1. Найти область определения функции

f(x,y,z)= ln cos(, M_o(0, 0, ).

3. Найти полный дифференциал функции.

z = cos(x² — y²) + x³

u = ln(е^х + е^у ), x = t²,y = t³, t ₀=l

z³ + 3xyz + 3y = 7, M_o = (1,1,1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + y² + z²- 6y + 4z + 4 = 0, M_Q(2, 1, -1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

9. Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M₁, M₂. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M₁ по направлению вектора М₁М₂; 2) grad u(М₁)

u(М) = , М₁ (1, 1, 1), М₂(3, 2, 1).

10. Найти экстремум функции

Вариант 7

1. Найти область определения функции

z=arccos(x + у).

2. Вычислить значения частных производных f'_x(M₀), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M₀(x₀, ) с точностью до двух знаков после запятой

f(x,y,z)= , M₀(3, 4, 2).

3. Найти полный дифференциал функции.

z= In (3x²— 2y²)

u= x^у, х = е^t, у = ln t, tо = 1

cos² x +cos² у + cos² z=3/2, Mo(π /4, 3π /4, π /4)

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + z² - 5yz + 3y = 46, M_o (l, 2, -3).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(M) = x²y + xz²- z, М₁(1, 1, -1), M₂(2, -1, 3).

10. Найти экстремум функции

Вариант 8

1. Найти область определения функции

f(x,y,z)=arctg(,M₀(2, 1, 0).

3. Найти полный дифференциал функции

z = 5xy²-3x³y⁴

u = е^у^−2x, x = sin t, y = t³ t₀ = 0

е^z−1 = cos x cos y +1, Mo(0, π /2, 1)

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + у² - xz - yz = 0, М₀(0, 2, 2).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(М) = хе^у + уе^х - z², М₁ (3, 0, 2), М₂(4, 1, 3).

Вариант 9

1. Найти область определения функции

f(x, y, z) = (x²/y-z), M_o(2, 5, 0).

3. Найти полный дифференциал функции

z = arcsin (x + y).

u = х² × е^−y, х = sin t, у = sin² t, t₀ = π /2

х² + у² + z² – 6x = 0 M_o(1, 2, 1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + y² + 2yz - z² + y - 2z = 2, M_o(1,1,1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(М) = Зху² + z² - xyz, М₁ (l, 1, 2). М₂(3, -1, 4).

Вариант 10

1. Найти область определения функции

f(x, y, z) = sin (y/x), M₀(2, 0, 4).

3. Найти полный дифференциал функции

z = arctg (2x — y).

u = ln (e^-^х+ е^у), х = t², у = t³, t₀= -1.

xy= z² – 1 M_o(0, 1, -1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: y²- z² + x²- 2xz + 2x = z, M_o(1, 1, 1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(М) = 5x²yz - xy²z + yz², М₁ (l, 1, 1), М₂(9, -3, 9).

10. Найти экстремум функции

Вариант 11

1. Найти область определения функции

f(x,y,z)= , M₀(-1, 1, 0)

3. Найти полный дифференциал функции

z = 7x³y -

u = е^у^-2^х^-1, x = cost, y = sint, t_Q = π /2.

х² -2y² + 3z²-yz + y = 2, Mo(l, 1, 1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: z = x² + y²- 2xy + 2x - y, M₀(-l, -1, -1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(M) = x/(x² + y² + z²), М₁ (l, 2, 2), М₂(-3, 2, -1).

Вариант 12

1. Найти область определения функции

z = 4xy/(x — 3y+ 1).

f(x,y,z)= arctg(xz/y²), M₀(2, 1, 1).

3. Найти полный дифференциал функции

z =

u = arcsin (x/y), x = sint, у = cost, tо = π.

х² + y² + z²+ 2xz=5 M₀(0, 2, 1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: z = y² - x² + 2xy - 3y, M_o(1, -1, 1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M₁, M₂. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M₁ по направлению вектора М₁М₂; 2) grad u(М₁).

u(М) = y²z – 2xyz + z², М₁ (3. 1, -1). М₂(-2, 1, 4).

Вариант 13

1. Найти область определения функции

f(x,y,z)= ln sin(x-2y+z/4), M₀(1, 1/2, π).

3. Найти полный дифференциал функции

z= e^x⁺^y^-4

u = arccos (2x/y), x = sin t, y= cost, t о = π.

x cos y + y cos z + z cos x = π/2 M₀(0, π /2, π).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: z = x² — y² — 2xy — x — 2y, M_o(— 1, 1, 1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(М) = х² + у² + z² - 2xyz, М₁ (l, -1, 2), М₂(5, -1, 4).

10. Найти экстремум функции

Вариант 14

1. Найти область определения функции

z = arcsin(x / y).

f(x,y,z)= y/x + z/y – x/z, M₀(1, 1, 2).

3. Найти полный дифференциал функции

z = cos (3x + y) — x²

u = х²/(у+1), х=1—2t, у = arctgt, tо = 0.

3х² y² +2xyz² - 2 х³z + 4y³ z = 4 M₀(2, 1, 2).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x²- 2y² + z² + xz - 4y= 13, M_o(3, 1, 2).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(M)=ln(1 +x + y² + z²), М₁ (l, 1,1), M₂(3, -5, 1).

Вариант 15

1. Найти область определения функции

z = ln(

f(x,y,z)= , M₀(1, 2, 2).

3. Найти полный дифференциал функции

z=tg ((x+y)/(x-y))

и = х/у, х = e^t, у = 2 — e²^t, t ₀ = 0

х² - 2y² + z² - 4x + 2z + 2 = 0, M₀(1, 1, 1)

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: 4y² - z² + 4xy - xz + 3z = 9, M_o(1, - 2, 1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(М) = x² + 2у²- 4z²-5, М₁ (l, 2, 1), M₂(-3. -2, 6).

Вариант 16

1. Найти область определения функции

f(x,y,z)= M₀(5, 2, 3).

3. Найти полный дифференциал функции

z = ctg (y/x).

u = ln (e^−x +e^−2y), х = t², у= t³, tо=1

х + у + z + 2 = хуz, М₀(2, -1, -1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: z = x²+ y² - 3xy - x + у + 2, M_o(2, 1, 0).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(М)=ln(x³ + у³+ z +1), М₁ (l, 3, 0). M₂(-4, 1, 3).

Вариант 17

1. Найти область определения функции

z = arccos (x +2y)

f(x,y,z)= , M₀(1, 2, 4).

3. Найти полный дифференциал функции

z = xy⁴ — 3x²y+ 1

u= , x=ln t, у = t², tо=1

х² + y² + z² – 2xz = 2 М₀(0, 1, -1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: 2x² - y² + 2z² + xy + xz = 3, M_o(1, 2, 1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(М)=х - 2у + е^z, М₁ (-4. -5, 0), M₂(2, 3, 4).

10. Найти экстремум функции

Вариант 18

1. Найти область определения функции

Z = arcsin(2x - y)

f(x,y,z)= , M₀(, , ).

3. Найти полный дифференциал функции

z = ln (x + xy — y²).

u = arcsin (х²/у), x = sin t, у = cost, t₀ = π

e^z - xyz - х + 1 = 0, M₀ (2,1, 0).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x²- y²+ z²- 4x + 2y= 14, M_o(3, 1, 4).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(M) = x^y - Зxyz, М₁ (2, 2, -4), М₂ (l, 0, -3).

Вариант 19

1. Найти область определения функции

z = ln(9 —x² —y²).

f(x,y,z)= ln(), M₀(2, 1, 8).

3. Найти полный дифференциал функции

z = 2x²y² + x³ — y³

u = y²/x, x = 1 - 2t, у =t + arctg t, t₀ = 0

x³+ 2у³ + z³- 3xyz - 2у - 15 = 0, M₀ (1, -1, 2).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + y²- z² + xz + 4y = 4, M_o(1, 1, 2).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(M) = 3x²yz ³, М₁ (—2, —3, 1), M₂(5, —2, 0).

Вариант 20

1. Найти область определения функции

f(x, у, z) = z/(x⁴ + y²), Mo(2, 3, 25).

3. Найти полный дифференциал функции

u = y/x —x/y, х = sin t, y = cos t, t₀ = π/4

x² - 2ху - Зу² + 6x - 2у + z² - 8z + 20 = 0 M₀ (0, -2, 2).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² - y² - z² + xz + 4x= - 5, M_o(- 2, 1, 0).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(M) = М₁ (-5. 0, 2), M₂(2. 4, -3).

Вариант 21

1. Найти область определения функции

f(x, у, z) = 8∙ , Mo(3, 2, 1).

3. Найти полный дифференциал функции

z = arcsin((x + y)/x)).

u= , x= lnt, y = t², t₀=1

х² + y² + z² = y – z + 3 M₀ (1, 2, 0).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + y² - xz + yz - 3x = 11, M₀(l, 4, -1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(M) = , М₁ (3, 1, 4), M₂(1, —1, —1).

Вариант 22

1. Найти область определения функции

z = 4x+y/(2x-5y).

f(x, у, z) = ln(), Mo(1, 1, 1).

3. Найти полный дифференциал функции

z = arcctg (x — y).

u = arcsin (x/2y), х = sin t, у= cost, t₀ = π

x² + y² + z² + 2xy – yz -4x-3y - z = 0 M₀ (1, -1, 1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + 2y² + z² - 4xz = 8, M₀(0, 2, 0).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(М) = (х² + у² + z²)³ М₁ (l,2, -l), M₂(0, -1, 3).

Вариант 23

1. Найти область определения функции

f(x, у, z) = -2x/ , Mo(3, 0, 1).

3. Найти полный дифференциал функции

u = x/y – y/x, x = sin 2t, y=tg²t, t₀=π/4

x²– y ²- z² + 6z + 2x - 4y+ 12 = 0, M₀ (0, 1, -1)

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x²- y²- 2z²- 2y = 0, M_o(-1, -1, 1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(M) = (x — у)^z, М₁(1, 5, 0), M₂(3, 7, -2).

Вариант 24

1. Найти область определения функции

f(x, у, z) = , Mo(3, 0, 1).

3. Найти полный дифференциал функции

z = у² — Зху — x⁴

u= , x= lnt, y = t², t₀=1

+ z² - 3z = 3, M₀ (4. 3, 1).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: x² + y² - 3z² + xy = -2z, M₀(l, 0, 1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(M) = x²y + y²z — Зz, М₁ (0, -2, -1), М₂ (12, -5, 0).

10. Найти экстремум функции

Вариант 25

1. Найти область определения функции

Z = ln(2x-y).

f(x, у, z) = , Mo(, , ).

3. Найти полный дифференциал функции

z = arccos (x + y).

u = у/х, x = e^t, y= t - e^2t, t₀ = 0

x² + 2y² + Зz² = 59, M₀ (З, 1, 4).

6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)

S: 2x²- y² + z²- 6x + 2y + 6 = 0, Mo(1, -1, 1).

7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u

u(М)= 10/(x² + у² + z²+ 1), M₁ (-1

РАЗДЕЛЫ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Поиск по сайту