МЕХАНИКА
Лекция 1
Механическим движением называют изменение с течением времени положения тел или их частей друг относительно друга.
Материальной точкой называют тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел.
К телам больших (по сравнению с массой атомов) масс и малых (по сравнению со скоростью света) скоростей можно считать справедливой ньютоновскую (нерелятивистскую) механику. В этой механике пространство и время абсолютны, т.е. не зависят как друг от друга, так и от присутствующих в пространстве тел.
Совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение и время, отсчитываемое часами, называется системой отсчёта. Для количественного описания движения систему отсчёта связывают с какой либо системой координат (декартовой, полярной, сферической и т.д.).
Рассмотрим движение материальной точки в декартовой системе координат.
В момент времени t 1 тело находится в точке 1, положение которой определяется радиус-вектором 
. За промежуток времени Δ t тело проходит в точку 2. Расстояние Δ S между точками 1 и 2, отсчитываемое вдоль траектории, называется путём между этими точками. Отрезок прямой, проведённый из начального положения в конечное, называется перемещением. Перемещение совпадает с приращением радиус-вектора 
.
В системе СИ путь и перемещение имеют размерность – метр.
Средняя скорость 
.
Средняя путевая скорость 
.
Мгновенная скорость или просто скорость 
- вектор, направленный по касательной к траектории в данной точке.
Модуль скорости 
.
В системе СИ скорость имеет размерность – м/с.
В проекциях на координатные оси
, где
- единичные векторы (орты), направленные вдоль соответствующих осей.
, где 
;
.
В случае плоского движения точки М иногда удобно пользоваться полярными координатами r и φ, где r – расстояние от полюса О до т. М, а φ – полярный угол, отсчитываемый от полярной оси ОА.
Скорость 
точки М можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие – радиальную скорость 
и трансверсальную скорость 
.
Причём 
– полярный радиус-вектор точки М,
– единичный вектор, направленный перпендикулярно к плоскости движения точки так, что из его конца вращение вектора при увеличении полярного угла φ видно происходящим против часовой стрелки.
Модуль вектора скорости 
точки М, совершающей плоское движение,
.
Ускорение
Средним ускорением точки в интервале времени от t до t+Δt называют вектор
.
Ускорением называют векторную величину 
, равную первой производной по времени от скорости
.
При разложении вектора по базису прямоугольной декартовой системы координат получаем
Модуль вектора ускорения
.
В общем случае траектория материальной точки представляет собой не плоскую, а пространственную кривую. Для такой кривой вводится понятие соприкасающейся плоскости. Соприкасающейся плоскостью в произвольной точке М кривой называется предельное положение плоскости, проходящей через любые три точки кривой, когда эти точки неограниченно приближаются к точке М.
Вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости, проведённой в рассматриваемой точке М траектории, и направлен в сторону вогнутости траектории В.С. В этой плоскости вектор ускорения можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие
.
– касательное или тангенциальное ускорение точки.
, где 
– единичный вектор касательной, проведённый в т. М траектории в направлении скорости 
.
Если 
, то движение называется равнопеременным. При равнопеременном движении модуль скорости точки зависит от времени линейно:
.
Составляющая 
называется нормальным или центростремительным ускорением точки.
, где 
– единичный вектор главной нормали, а R – радиус кривизны траектории.
Тангенциальное (касательное) ускорение характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости точки, а нормальное (центростремительное) ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки.
Поступательное и вращательное движения
Твёрдого тела
Поступательным движением твёрдого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, жёстко связанная с телом (например, прямая АВ) перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению.
При поступательном движении твёрдого тела все его точки имеют одинаковые скорости, а следовательно и одинаковые ускорения.
Кинематическое рассмотрение поступательного движения твёрдого тела сводится к изучению движения любой из его точек. В динамике обычно рассматривают движение центра масс тела. Твёрдое тело, свободно движущееся в пространстве, имеет три поступательные степени свободы, соответствующие его поступательным перемещениям вдоль трёх осей координат.
Вращением (или вращательным движением) называется такое движение твёрдого тела, при котором хотя бы две его точки А и В остаются неподвижными. Неподвижная прямая АВ называется осью вращения тела. При вращении вокруг неподвижной оси все точки описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения.
Твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы.
Угловой скоростью называют вектор 
, который численно равен 
(
– угол поворота тела вокруг оси) и направлен вдоль неподвижной оси так, чтобы из его конца вращение твёрдого тела было видно происходящим против часовой стрелки (правило правого винта).
Вращение тела называют равномерным, если 
. В этом случае 
.
Периодом вращения – Т называют промежуток времени, в течение которого тело, равномерно вращаясь с угловой скоростью 
, совершает один оборот вокруг оси вращения. 
Движение твёрдого тела, при котором одна из его точек остаётся неподвижной, называют вращением тела вокруг неподвижной точки. Обычно эту точку принимают за начало координат неподвижной системы отсчёта. В каждый момент времени это движение тела можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку и называемой мгновенной осью вращения ОО’.
Скорость произвольной точки М тела равна
Тело может совершать три независимых движения – вращаться вокруг каждой из трёх взаимно перпендикулярных осей, проходящих через точку О (имеет три степени свободы).
Для характеристики быстроты изменения вектора угловой скорости тела при неравномерном вращении тела вокруг неподвижной оси или при его вращении вокруг неподвижной точки вводится вектор углового ускорения тела.
Проекция углового ускорения на неподвижную ось вращения OZ равна
,
где 
– проекция на ту же ось вектора 
.
Ускорение 
произвольной точки М тела, вращающегося вокруг точки О или неподвижной оси, проходящей через эту точку, называют линейным ускорением.
, где
– вращательное ускорение точки;
– осестремительное ускорение точки, направленное к мгновенной оси вращения.
Если тело вращается вокруг неподвижной оси OZ, то вращательное ускорение точки М совпадает с её тангенциальным (касательным) ускорением 
, а осестремительное – с нормальным (центростремительным) ускорением 
.
Всякое сложное движение твёрдого тела можно разложить на два простых движения: поступательное со скоростью центра масс 
и вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. Скорость произвольной точки М тела
, где
– радиус вектор точки М;
– радиус вектор центра масс.
Свободное твёрдое тело имеет 6 степеней свободы: 3 степени свободы поступательного движения и 3 степени свободы вращательного движения.
Простейший случай сложного движения тела – плоскопараллельное движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях (например, цилиндр, скатывающийся с горки).
Преобразования Галилея