Функции нескольких переменных. Приложения градиента
Теоретическое введение
Производная по направлению и градиент
Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля u = F (x, y, z). Рассмотрим точку P (x, y, z) этого поля и луч, выходящий из точки Р в направлении вектора 
. Пусть P 1 (x + Δ x, y + Δ y, z + Δ z) – какая-нибудь другая точка этого луча. Разность значений функции u скалярного поля в точках P 1 и Р называется приращением этой функции в направлении и обозначается Δ l u.
Δ l u = F (x + Δ x, y + Δ y, z + Δ z) – F (x, y, z).
Обозначим через Δ l расстояние между точками Р и P 1: 
.
Производной функции u = F (x, y, z) в точке Р по направлению называется предел 
, эта производная обозначается 
, т.е. = .
Если производная функции u в точке P (x, y, z) по направлению положительна, то функция u в этом направлении возрастает; если же < 0, то функция u в направлении убывает. Производная по направлению дает скорость изменения функции u в этом направлении.
Градиентом в точке P (x, y, z) скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией u = F (x, y, z), называется вектор, координаты которого – соответствующие частные производные функции F (x, y, z), вычисленные в точке Р. Градиент обозначается одним из символов grad F (x, y, z), grad F (P), grad u.
grad 
| или кратко | grad 
| (1) |
Производная функции u = F (x, y, z) по направлению вектора равна проекции градиента этой функции на вектор :
 u
| (2) |
3.1.2 Касательная плоскость к поверхности
Пусть поверхность в пространстве задана уравнением
| F (x, y, z) = 0, | (3) |
левая часть которого является дифференцируемой функцией в некоторой области. Эта функция u = F (x, y, z) определяет скалярное поле, для которого поверхность (3) является одной из поверхностей уровня, т.е. поверхность, на которой функция скалярного поля равна нулю. Пусть в точке P 0(x 0, y 0, z 0) поверхности grad F (x, y, z) не равен нулю. Тогда вектор градиента будет перпендикулярен касательной плоскости к поверхности (3) (рис.1), т.е. будет являться нормальным вектором к этой поверхности. И уравнение касательной плоскости к поверхности (3), проведенной через точку P 0(x 0, y 0, z0) имеет вид:
| Fx ′(x 0, y 0, z 0)(x - x 0) + Fy ′(x 0, y 0, z 0)(y - y 0) + Fz ′(x 0, y 0, z 0)(z - z 0) = 0. | (4) |
Рис. 1
Содержание типового расчета
Задача 1. Задана функция u = f (x, y) и точка M (x 0, y 0). Найти производную функции u = f (x, y) в точке М в заданном направлении. Установить характер изменения функции в этом направлении.
Задача 2. Для заданной поверхности S найти уравнение касательной плоскости, параллельной заданной плоскости Р.
Пример выполнения типового расчета
Задача 1. Найти производную функции u = 3 x 2 + y 2 x – y + 2 x + 7 в точке M (1; 2) по направлению вектора 
, если точка N имеет координаты (– 2; 6). Установить характер изменения функции в этом направлении.
Решение. В этом случае скалярное поле – плоское, т.е. функция поля зависит от двух переменных: u = f (x, y).
Найдем частные производные функции z в точке M
;
.
Таким образом grad 
.
Вектор 
. 
.
Затем находим производную по направлению:
.
Поскольку 
, то функция в данном направлении убывает.
Ответ: grad u (M) = (12; 3); = – 4,8.
Задача 2. Найти уравнение касательной плоскости к эллипсоиду x 2 + 10 y 2 + z 2 – 2 z = 0, которая параллельна плоскости x – 2 y + z – 5 = 0.
Решение. Запишем уравнение эллипсоида в виде F (x, y, z) = x 2 + 10 y 2 + z 2 – 2 z = 0.
Найдем градиент функции F (x, y, z).
Fx ′ = 2 x; Fy ′ = 20 y; Fz ′ = 2 z – 2; 
grad F = (2 x, 20 y, 2 z – 2).
Градиент функции F (x, y, z) в точке касания P 0 (x 0, y 0, z 0) перпендикулярен касательной плоскости. Следовательно он коллинеарен нормальному вектору заданной плоскости 
, т.е. 
(условие коллинеарности двух векторов).
Запишем условие коллинеарности через координаты:
,
откуда
; 
; 
.
Подставим полученные выражения для координат точки касания P 0 (x 0, y 0, z 0) в уравнение эллипсоида:
.
Преобразовав полученное уравнение, получим 
; 
.
Мы получили два значения для λ, а следовательно, две точки касания. Это означает, что существуют две плоскости, касательные к эллипсоиду и параллельные заданной плоскости.
Первая точка касания P 1 (x 1, y 1, z 1) получится при λ 1 = 1,29:
; 
; 
.
В качестве нормального вектора к касательной плоскости возьмем нормаль заданной плоскости . Тогда уравнение касательной плоскости будет
1(x – 0,645) – 2(y + 0,129) + 1(z – 1,645) = 0,
или
x – 2 y + z – 2,548 = 0.
Вторую точку касания P 2 (x 2, y 2, z 2) найдем при λ 2 = –1,29:
; 
; 
.
Аналогично получим уравнение второй касательной плоскости
1(x + 0,645) – 2(y – 0,129) + 1(z – 0,355) = 0
или
x – 2 y + z + 0,548 = 0.
В качестве ответа запишем найденные точки касания и соответствующие касательные плоскости:
P 1 (0,645; – 0,129; 1,645), x – 2 y + z – 2,548 = 0;
P 2 (– 0,645; 0,129; 0,355), x – 2 y + z + 0,548 = 0.
Оформление отчета
В отчете необходимо привести все проделанные выкладки. В ответе записать:
- по первой задаче координаты градиента функции и производной по направлению в точке М;
- по второй задаче координаты точки касания и уравнение касательной плоскости; если задача имеет два решения, в ответе нужно записать результаты для каждого из решений.
В ответе все расчетные величины записать в десятичных дробях с тремя значащими цифрами.