Интегрирование рациональных функций




 

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби , где Pm(x) — многочлен степени m, Qn(x) — многочлен степени n.

Если данная рациональная дробь неправильная (m ³ n), то надо исключить целую часть и представить рациональную дробь в виде суммы многочлена M (x) и правильной рациональной дроби

(r < n):

.

Правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей.

Вид простейших дробей зависит от множителей, на которые разлагается знаменатель Qn(x).

Если разложение Qn(x) содержит различные линейные множители

Qn(x) = (x — a)(x — b)...(x — s),

то в разложении рациональной дроби им соответствуют простейшие дроби вида

.

Если разложение Qn(x) содержит линейные кратные (повторяющиеся) множители, то в разложении рациональной дроби каждому множителю x — a кратности k соответствуют простейшие дроби вида

.

Числители простейших дробей разложения находятся методом неопределенных коэффициентов.

 

Правило вычисления интеграла от рациональных функций.

1. Если степень числителя больше степени знаменателя, то нужно выделить целую часть.

В противном случае: п. 2.

2. Разложить знаменатель дроби на множители.

3. Представить подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами — числителями этих дробей.

4. Привести сумму дробей к одному знаменателю.

5. Приравнять числители дробей левой и правой частей равенства.

6. Придавая конкретные числовые значения x в полученном тождестве, найти систему для определения коэффициентов разложения.

7. Записать исходный интеграл в виде суммы интегралов, используя результаты разложения.

8. Вычислить полученные интегралы.

Пример. Вычислить интеграл .

Подынтегральная дробь является неправильной, т.к. степени многочленов числителя и знаменателя равны между собой (m = n). Выделим целую часть. Для этого прибавим и вычтем в числителе 2 x 2, получим

Разложение рациональной дроби имеет вид

Приведем дроби к общему знаменателю

Приравняем числители дробей левой и правой частей равенства

2 x 2 + x — 2 = Ax(x + 2 ) + B(x + 2 ) + Cx 2.

Придавая x значения x = 0, x = -2, x = 1, получим систему

Решая, находим A = 1, B = -1, C = 1.

Итак, мы получили разложение рационалной дроби

.

Теперь находим интеграл

.

 

Упражнения для решения

 

№1 Выделение интегральной кривой по начальным условиям.

1. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A (1, 2), если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке обратно пропорционален абсциссе этой точки.

2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A , если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке равен квадратному корню из абсциссы этой точки.

3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A , если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке равен значению синуса абсциссы этой точки.

4. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A , если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке обратно пропорционален кубу абсциссы этой точки.

 

№2 Непосредственное интегрирование

 

Найти интегралы:

1. ,результат проверить дифференцированием 2. Проверить результат.
3. , результат проверить дифференцированием 4.
5. Проверить результат. 6. Проверить результат.
7.   8.  
9.   10.  
11.   12.  
         

 

№3 Метод подстановки

 

Найти интегралы:

 

1.   2.  
3.   4.  
5. 6.  
7.   8.  
9. 10.  
11.   12.
13. 14.  
15. 16.
   

№4 Интегрирование по частям

 

Найти интегралы:

 

1.   2.  
3.   4.  
5.   6.  
7.   8.  
9.   10.  
11.  

 

№5 Интегрирование рациональных функций

 

Найти интегралы:

 

1.   2.  
3.   4.  

 

Контрольные вопросы и примеры

 

1. Какая функция называется первообразной для заданной функции?

2. Если F (x) — первообразная для f (x), то каким равенством они связаны между собой?

3. Если F ¢(x) = f (x), то чему равен d F (x)?

4. Если F ¢(x) = f (x), то что можно сказать обо всех функциях вида F (x) + C?

5. Чему равны выражения [ F (x) + C ]¢ и d [ F (x) + C ]?

6. Дайте определение неопределенного интеграла.

7. Как называются все элементы равенства:

f (x) d x = F (x) + C?

Как читается это равенство?

8. Как связаны между собой два действия — дифференцирование и интегрирование?

9. Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла?

10. В чем заключается правило интегрирования функции с постоянным множителем?

11. В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функций?

12. Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции?

13. Как проверить результат действия интегрирования?

14. Напишите все формулы интегрирования.

15. Как читается правило нахождения неопределенного интеграла?

16. Как из совокупности первообразных для данной функции выделить одну? Что для этого нужно?

17. В чем состоит правило интегрирования способом подстановки?

18. В каких случаях интеграл можно привести к табличному , а в каких к ?

19. В каких случаях интеграл приводится к одному из табличных интегралов:

; ; ?

20. В каких случаях интеграл приводится к одному из табличных интегралов:

и ?

21. Что является результатом неопределенного интегрирования?

22. Как проверить результат, полученный при неопределенном интегрировании?

 


Контрольная работа

 

Вариант 1

 

Найти

1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. .  

 

Вариант 2

 

Найти

1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. .  

 

Ответы и решения

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: