Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Нормальные системы.
Определение 1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
(1.1)
где , – неизвестные функции от независимой переменной x, подлежащие определению; , – известные функции от , заданные и непрерывные в некоторой области. Число n называется порядком системы (1.1). В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем второго порядка (n =2).
Определение 2. Пусть дана нормальная система уравнений
(1.2)
где и – заданные и непрерывные в некоторой области функции. Пара функции (y(x); z(x)), определенная на (a,b), имеющая непрерывные производные и удовлетворяющая на (a,b) обоим уравнениям системы (1.2), называется ее решением.
Задача нахождения решения (y(x); z(x)), удовлетворяющего начальным условиям , где – заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть дана система уравнений (1.2) и пусть в некоторой области D (x,y,z) функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные по y, z. Пусть точка . Тогда существует интервал (a,b) и определенные на нем непрерывно дифференцируемые функции y(x), z(x), удовлетворяющие системе (1.2) и начальным условиям , причем эти функции единственны.
Метод исключения.
Продифференцируем, например, первое уравнение системы уравнений (1.2) по независимой переменной x
Вместо системы (1.2) запишем систему уравнений (2.1)
(2.1)
Из первого уравнения системы (2.1) следует, что . Подставим эту функцию во второе уравнение (2.1): . Итак, исключив из системы функцию z приходим к одному уравнению 2-го порядка, решая которое, получаем: . Теперь продифференцируем найденное выражение по x и подставим в функцию . И тем самым получим . В результате получим решение в виде:
(2.2)
Определение 1. Общим решением системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка является совокупность функций (2.2), непрерывно дифференцируемых на некотором интервале (a,b), которые при различных допустимых значениях произвольных постоянных удовлетворяют обоим уравнениям системы уравнений (1.2). При этом в области, в которой выполнены условия теоремы существования и единственности, можно получить решение любой задачи Коши.
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений (ЛОС ДУ).
ЛОС ДУ для функции y(x), z(x) называется система уравнений вида
(3.1)
где - непрерывные на (a,b) функции.
Свойства решений ЛОС ДУ (3.1).
1. Сумма двух решений системы (3.1) – тоже решение этой системы.
Доказательство:
Пусть и – два каких-либо решения системы (3.1). Тогда
Но и .
Аналогично рассматривается и второе уравнение системы (3.1).
2. Если y(x), z(x) – решение ЛОС ДУ и c – произвольная константа, то cy(x), cz(x) – тоже решение (3.1). Доказательство свойства аналогично доказательству свойства 1.
Следствие.
Если и - решения системы (3.1), то выражение вида
где - произвольные постоянные, тоже решение (3.1).
Определение 1. Система функций и называется линейно независимой на некотором интервале (a,b), если из системы равенств
(3.2)
Следует, что
В противном случае система функций и - линейно зависима на (a,b).
Определение 2. Определитель, составленный для системы функций и называется определителем Вронского и обозначается W(x). Итак
.
Теорема 1. Определитель Вронского для линейно независимой на интервале (a,b) системы решений и ЛОС ДУ не равен нулю ни в одной точке (a,b).
Доказательство.
Докажем теорему методом от противного. Предположим, что существует точка , в которой
Составим линейную однородную систему уравнений с неизвестными и : (3.3)
Так как определитель системы (3.3) равен нулю, то система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Пусть - одно из них. С помощью этих констант и двух линейно независимых на (a,b) решений системы (3.1) и составим две функции
(3.4)
Согласно следствию из свойств решений ЛОС ДУ функции (3.4) являются решениями системы (3.1), которые в силу (3.3) в точке обращаются в нуль. Следовательно, y(x), z(x) – решение следующей задачи Коши:
Но таким решением может быть только нулевое решение: y(x)=0, z(x)=0 при , т.е.
Причем . Это означает, что система функций и линейно зависима на (a,b), что противоречит условию теоремы. Значит наше предположение о существовании на (a,b) точки , в которой , неверно, что и доказывает теорему.
Определение 2. Линейно независимые на (a,b) решения ЛОС ДУ и называются фундаментальной системой решений системы (3.1).
Теорема 2. Если семейство функций и образует фундаментальную систему решений ЛОС ДУ (3.1), то их линейная комбинация
, (3.5)
где - произвольные постоянные, дает общее решение системы (3.1)
Доказательство.
1. Выражение (3.5), согласно следствию из свойств решений ЛОС ДУ, является решением системы уравнений (3.1).
2. Докажем, что (3.5) – общее решение (3.1), т.е. докажем, что каковы бы ни были начальные условия задачи Коши , всегда найдутся значения постоянных такие, что выделенное из общего частное решение ЛОС ДУ:
будет удовлетворять этим условиям. Для этого подставим в (3.5) начальные условия:
(3.6)
Определителем этой алгебраической системы линейных уравнений является определитель Вронского :
,
который, согласно теореме 1, не равен нулю. Следовательно, система уравнений (3.6) имеет решение и притом единственное.