Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Преобразование систем координат. Специальные системы координат». Эти Примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих Примерах.
☺ ☻ ☺
Пример Д – 1-м: В системе координат 
заданы точки 
= (9,–3) и 
. Начало координат 
перенесено в точку , а координатные оси повёрнуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка 
. Вывести формулы преобразования координат.
Решение:
1). В соответствии с условиями Примера примем: = =(9,–3), а точка 
располагается на оси 
. Рассмотрим системы координат: , 
и 
. Система координат получается вращением системы на угол 
, причём угол такой, что векторы 
= 
и принадлежат одной прямой: 
.
Воспользуемся полученными ранее формулами, определяющими связь координат произвольной точки 
, заданной в системах координат и :
при 
. (1.1)
2). Используя вектор = 
= 
, найдём: 
=– 
, 
= 
, после чего формулы преобразования координат:
(F)
Ответ: текст: формулы (F).
Пример Д – 2-м: Используя рисунок и полученные в Примере Д – 2-м формулы, определим следующую задачу. В системе координат заданы точки = (9,–3), . В системе координат задана точка 
. Начало координат перенесено в точку , а координатные оси повёрнуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка . Вычислить координаты точки 
в системе координат .
Решение:
1). Воспользуемся формулами (F) преобразования координат, учитывая, что в рассматриваемом примере: 
. Тогда: 
или 
=(16, 26).
Ответ: =(16, 26).
Пример Д – 3-м: Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одинаково с нею. В прямоугольной системе координат задана точка 
= 
= (1,2) – полюс полярной системы координат. В полярной системе координат определены полярные координаты точек: 
, = (3,0), 
. Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе координат .
Решение:
1). Имеем: неподвижную систему координат и полученную из неё параллельным переносом в точку систему координат . Тогда для любой точки , заданной координатами в системе , вычисление координат 
той же точки в системе определяется формулами:
или 
(1.1)
2). С системой координат , в соответствии с условиями задачи, совмещена полярная система координат. Учтём связь полярных координат точки с координатами той же точки в совмещённой с нею прямоугольной системе координат:
откуда: =(0,7), =(3,0), 
. (1.2)
3). Используя формулы (1.1) и координаты точек , и 
из (1.2) получаем координаты заданных точек в системе OX 1 Y 1: = (1,9), = (4,2), = (1+ 
,1).
Ответ: = (1,9), = (4,2), = (1+ ,1).
☻
Вопросы для самопроверки:
1. Какова связь преобразований систем координат с физикой?
2. Что значит «параллельный перенос системы координат»?
3. Чем определяется прямоугольная система координат?
4. Чем определяется полярная система координат?
5. Чем определяется цилиндрическая система координат?
6. Чем определяется сферическая система координат?
7. Что такое «углы Эйлера»?
8. Зачем устанавливают определенные диапазоны изменения специальных координат 
?
Задачи для самоподготовки:
Пример 1 – 131: Написать формулы преобразования координат, если координатные оси повёрнуты на угол 
.
Ответ: 
Пример 2 – 142: Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одинаково с нею. Декартовы прямоугольные координаты полюса: 
, полярные координаты точек: 
, 
. Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе координат.
Ответ: 
, 
.
Пример 3 – 145: Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. В декартовых прямоугольных координатах заданы точки: 
, 
, 
, 
, 
. Определить полярные координаты этих точек.
Ответ: 
, 
, 
, 
, 
.
< * * * * * >