Задачи для выполнения расчетно-графической работы

Д-1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

Груз Д массой m (рис.11. 4), получив в т. А начальную скорость V_{0 .}

Движется в изогнутой трубе. На участке АВ трубы на груз, кроме силы тяжести mg, действует постоянная сила Q. Трением груза о трубу на этом участке пренебречь. В т. В груз не меняя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где кроме силы тяжести mg, на груз Д действуют: сила трения F_тр и переменная сила F в направлении движения. Считать груз Д материальной точкой и зная время t₁ движения груза на участке АВС, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. зависимость x=f(t)=?

Необходимые данные взять из таблицы 11.1.

УКАЗАНИЯ. Задача на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение второй основной задачи динамики). Задача решается в два этапа - участки AB и BC. Составив дифференциальное уравнение движения тела Д на первом участке АВ, решив его методом разделения переменных, определить скорость тела в точке В, учтя начальные условия и зная время движения на участке АВ или длину этого участка. В последнем случае целесообразно перейти к переменному x, сделав подстановку:

Рис.11.4

Рис.11.4(Окончание)

Таблица 11.1

Исходные данные для задачи Д-1

Практическое занятие 12

Применение теорем об изменении количества движения и о движении центра масс к исследованию движения механической системы

12. Основные теоретические положения [1,2,4,5]

Теорема о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение её центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил:

.

Теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил:

.

Теорема об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени:

.

Пример 12.1

Лодка массой плавает в стоячей воде. На задней скамейке лодки, находящейся в покое, сидели два человека. Один из них, массой , перешел на нос лодки, пройдя по ней расстояние , другой, массой , переместился на среднюю скамейку на расстояние . На какое расстояние переместится при этом лодка?

При решении задачи людей считать материальными точками, сопротивлением воды пренебречь.

Решение.

На схеме (рис. 12.1) показаны внешние силы, действующие на механическую систему, состоящую из лодки и двух материальных точек, схематизирующих пассажиров лодки: силы тяжести , , и выталкивающая сила воды . Все внешние силы направлены по вертикали, их проекции на неподвижную горизонтальную ось Ох равны нулю. Поэтому

рис 12.1

дифференциальное уравнение движения центра масс С системы в проекциях на ось Ох будет:

,

или . Отсюда, интегрируя, находим . Значение постоянной интегрирования определяется из начального условия: при (так как вся система в начальный момент неподвижна). Тогда и . Интегрируя еще раз, получаем ( - координата центра масс системы при ).

По определению координата центра масс механической системы определяется выражением:

.

Поэтому из равенства следует или , или окончательно , где есть приращение координаты центра тяжести -го тела, входящего в систему, или, что то же, проекция его перемещения на ось Х.

В нашем случае абсолютные перемещения пассажиров и складываются из переносного перемещения вместе с лодкой и относительных по отношению лодки:

, .

Поэтому:

.

Отсюда:

.

Знак минус означает, что лодка перемещается против Х.

Практическое занятие 13