Простейшей, предельно абстрактной идеализацией движущегося тела в механике является материальная точка - тело, размерами и формой которого в условиях соответствующей конкретной задачи можно пренебречь.
Относительный характер механического движения предполагает и требует введения систем отсчёта при его описании. Под системой отсчёта понимают систему координат (обычно декартову), начало которой связывается с некоторым телом отсчёта. Предполагается также наличие в системе отсчета линеек и часов, то есть инструментов для отсчета пространственных и временных интервалов (длин и длительностей). Исходная кинематическая определённость точечного тела - его положение - задаётся с помощью радиус-вектора r, проводимого из начала системы координат в движущееся тело (точку), или скалярно с помощью координат точки х, у, z. Векторный(Символы векторных величин обозначаются в данном тексте жирным шрифтом.) и скалярный способы задания положения тела взаимосвязаны:
r = i х + k у + j z, гдех, у, z - проекции точки (конца радиус - вектора r) на соответствующие оси координат, а i, k, j – орты (единичные векторы) осей Х, Y, Z.При движении тела конец его радиус - вектора описывает линию, называемую траекторией (линия, вдоль которой движется тело). Уравнение траектории движения точки представляет взаимосвязь ее координат и для плоского (двумерного) движения обычно выражается зависимостью у = ¦ (х). Изменение местоположения тела за время Dt задаётся или вектором перемещения D r, проводимым из начального в конечное местоположение тела, или скаляром – путем S, - расстоянием, отсчитываемым вдоль траектории тела в направлении его перемещения.
D r = r – r о, т. е. вектор перемещения D r, представляет собой приращение радиус - вектора r тела (разность между конечным и начальным значениями r).
Обычно модуль перемещения ïD r ï меньше пройденного точкой пути S. Однако при Dt ® 0, D r ® d r и модуль |d r | элементарного (физически бесконечно малого) перемещения d r стремится к длине дуги, то есть к пути dS (длина дуги dS траектории сравнивается с длиной dr секущей).
Быстрота движения, т. е. быстрота изменения местоположения тела, быстрота прохождения им пути или совершения перемещения характеризуется, величиной, называемой скоростью. Различают среднюю и мгновенную скорости, которые, в свою очередь, подразделяют на скалярные (выражаемые через путь) и векторные скорости, выражаемые через перемещение.
Под средней путевой скоростью <u> понимают величину, измеряемую отношением всего пройденного телом пути S ко времени t его прохождения:
<u> = S/t, [u] = м/с.
Под мгновенной скоростью u понимают предел средней скорости при стягивании интервала времени(Интервал времени Dt, то есть разность между конечным t2 (или просто текущим t) и начальным t1 (или t0) моментами, то есть Dt = t2 – t1 = t – tо может быть приравнен к текущему моменту времени t (Dt = t), если начальный момент tо выбран равным нулю.) Dt в момент, в мгновение (при t = Dt ® 0), то есть u = lim DS/Dt = dS/dt = S¢ .
С формальной стороны мгновенная путевая скорость u = dS/dt представляет собой производную от пути по времени. В физике ее допускается трактовать как отношение элементарных (физически бесконечно малых) приращений пути dS и времени dt.
Мгновенная векторная скорость u понимается как предел отношения совершённого
телом перемещения D r ко времени Dt его совершения, при условии, что Dt ® 0:
u = lim D r /Dt = d r /dt = r ¢ - производная от радиус – вектора по времени, которая может быть определена и как отношение элементарных (физически бесконечно малых) перемещения d r и времени dt.
Так же, как и радиус – вектор r, мгновенная векторная скорость u может быть записана
через проекции на оси координат:
u = d r /dt = d/dt(i х + j у + k z) = i× dх/dt + j× dу/dt + k× dz/dt = i u х + j u у + k u z
Численное значение (модуль) скорости равно:
u = Ö(uх2 + uу2 + uz2). Направление же вектора мгновенной скорости совпадает с направлением вектора элементарного перемещения d r, направленного по вектору касательной t траектории в сторону перемещения тела:
u = d r /dt Þ u d r; d r = limD r при Dt ® 0.
u = u t, где t - единичный вектор (ï t ï = 1) касательной к траектории (орт), направленный по направлению движения тела.
Мгновенная путевая скорость u = dS/dt, равна численному значению (модулю) мгновенной вектор – скорости ï u ï = ïd r /dtï, так как при Dt ® 0 (при Dt = dt) длина дуги dS траектории стремится к длине dr секущей.
2. Кинематика материальной точки. Путь, скорость, ускорение. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение.
В механике Ньютона считается, что свободное тело (на которое не действуют другие тела или действие их взаимно скомпенсировано) сохраняет состояние своего движения, т. е. движется с неизменной скоростью (в частном случае покоится). Наличие же взаимодействия со стороны других тел проявляет себя, как установлено в динамике Галилея - Ньютона, в изменении скорости данного тела. Быстроту ее изменения характеризуют векторной величиной, называемой ускорением а, численно равным производной от мгновенной вектор - скорости u по времени:
а = lim Du/Dt при Dt ® 0; а = du/dt = u¢ [а] = м/с2.
Т. к. вектор-скорость u = u t обладает как бы двумя степенями свободы - модулем u
и направлением (задаваемым вектором t), то и быстрота её изменения - вектор ускорения а - может быть представлен в виде двух составляющих, называемых тангенциальным ( касательным) и нормальным (центростремительным) ускорениями:
а = d u /dt = d/dt(u t) = t (du/dt) + u×d t /dt = а t + а n, где а t = t (du/dt) - тангенциальное ускорение, численно равное быстроте изменения модуля скорости и направленное по направлению t, то есть по касательной к траектории в сторону
перемещения тела при (du/dt) > 0 и против t при (du/dt) < 0;
а n = u×d t /dt - нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения направления скорости.
Покажем, что нормальное ускорение направлено по нормали к траектории в сторону её вогнутости и численно равно u2/R, где R - радиус кривизны траектории в соответствующей точке.
Модуль а полного ускорения в соответствии с теоремой Пифагора, равен:
| а | = а = Ö(аt2 + аn2) = Ö[(du/dt)2 + u4/R2].
Знание ускорения, с которым движется тело, необходимо для решения основной задачи механики, т. е. для определения скорости и местоположения тела в любой момент времени. Для этого необходимо иметь уравнения, связывающие скорость и ускорение, а также радиус - вектор с ускорением тела.