Кинематические следствия из преобразований Лоренца.

1. Относительность одновременности собы­тий.

Пусть в ИСО (К) происходят 2 события, зада­ваемые координатами x_1, y_1, z₁, t₁ и x_2, y_2, z₂, t₂, причем t = t_2, т. е. в ИСО (К) эти события происходят одно­временно.

Громадной заслугой Эйнштейна явилось то, что он обратил внимание на то, что в классической механике Галилея - Ньютона совершенно не было определе­но, как фиксиро­вать факт одновременности двух событий, находящихся в разных местах. Интуитивно, в соответствии с принципом дальнодействия, пред­полагающим бесконечной скорость распро­странения взаимодействий (что дос­таточно оправдано для медленных движений), считалось очевидным, что раз­несённость событий в пространстве не может влиять на характер их времен­ного соотношения. Эйнштейн же предложил строгий способ установления фак­та одновремен­ности разноместных событий, основанный на размещении в этих цветах синхронизированных часов. Синхронизировать часы он предложил с помощью реального сигнала, обладающего наивысшей скоростью - светового сигнала. Одним из способов синхронизации часов в конкретной ИСО является такой: часы, находящиеся в точке с координатой х будут синхронизированы с единым центром в точке 0 - начале ИСО, если в момент прихода к ним светового сигнала, испущенного из точки 0 в момент t_о, они покажут время t_х = t_о + х/c.

Так как синхронизация осуществляется сигналом, обладающим высокой (предельно высо­кой), но не бесконечной скоростью, то часы, синхро­низи­ро­ванные в одной ИСО, окажутся разсинхрони­зиро­ванными в другой (и во всех других) ИСО в силу их относительного движения. Следствием этого и является относительность одновременности разноместных событий и отно­сительность временных и пространственных интерва­лов (длительностей и длин).

Формально этот вывод следующим образом вытекает из преобразований Лоренца:
в ИСО (К^¢) событию 1 соответствует момент времени t₁^¢ = (t₁ - VХ₁/С²)/Ö(1 - V²/С²), а событию 2 ® момент t₂^¢ = (t₂ – VХ₂/С²)/Ö(1 – V²/С²), так, что при t₁ = t₂, t₂^¢ – t₁^¢ = [(Х₁ – Х₂)V/С²]/Ö(1 – V²/С²), и два события 1 и 2, одновременные в одной ИСО – в ИСО (К), оказываются неодновременными в другой (в ИСО (К^¢).

В классическом (дорелятивистском) пределе, при V << с, t₂^¢ – t₁^¢ » 0, факт одновременно­сти двух событий становится аб­солютным, что, как уже говорилось, соответствует бесконечной скорости передачи взаимодействий и синхронизирующего сигнала: с ® ¥ или с >> V.

В релятивистской теории одновременность событий оказывается абсолют­ной лишь
в частном случае одноместных событий: при х₁ = х₂ всегда при t₁ = t₂ и t₁^¢ = t₂^¢.

2. Относительность длины тел (пространственных интервалов).

Пусть в ИСО (К) вдоль оси х покоится стержень длиной l_о = х₂ – х₁.

ИСО, в которой тело покоится, называется собственной для данного тела, а его
характеристики, в данном случае длина стержня, также называются собственны­ми.

В ИСО (К^¢), относительно которой стержень движется и которая называется лаборатор­ной ИСО, длина стержня l^¢ = х₂^¢ - х₁^¢ определяется как разность значений координат концов стержня, зафиксированных одновременно по часам данной ИСО, т. е., при t₁^¢ = t₂^¢.

Используя формулы преобразований Лоренца для х₁ и х₂, содержащие время
в штрихованной ИСО (К^¢), установим взаимосвязь l и l^¢:

х₁ = (х₁^¢ + Vt₁^¢)/Ö(1 - V²/с²); х₂ = (х₂^¢ + Vt₂^¢)/Ö(1 - V²/с²); Þ х₂ - х₁ = (х₂^¢ - х₁^¢)/Ö(1 - V²/с²)

или окончательно: l^¢ = l_оÖ(1 - V²/с²) – эта формула выражает закон прео­бразования длин
(пространственных интервалов), согласно которому в на­правлении перемещения размеры тел
сокращаются. Этот эффект относитель­ности длины тел, их релятивистского сокращения
в направлении перемещения является реальным, а не кажущимся физическим эффектом, но не динамичес­ким, не связанным с каким-либо силовым воздействием, вызывающем сжатие тел
и сокращение их размеров. Этот эффект является чисто кинематическим, связанным
с выбранным способом определения (измерения) длины и конечно­стью скорости распростране­ния взаимодействий. Его можно пояснить и так, что понятие длины перестало в СТО быть характеристикой только одного тела, самого по себе, а стало совместной характеристикой тела и системы отсчёта (подобно скорости тела, его импульсу, кинетической энергии и т. п.).

Такие характеристики, изменяются для разных тел в одной и той же ИСО, что естест­венно и привычно для нас. Но так же, хотя и менее привычно, они изменяются и для одного
и того же тела, но в разных ИСО. При малых скоростях движения этот эффект зависимости длины тела от выбора ИСО практически незаметен, почему в механике Ньютона (механике медлен­ных движений) он и не обращал на себя внимания.

Подобный же анализ преобразований Лоренца на предмет выяснения соотно­шения между длительностями двух процессов, измеряемых из разных ИСО, одна из которых является собст­венной, т. e. движется вместе с носителем процесса и измеряет его длительность (разность
моментов конца и начала процесса) t_о одними и теми же часами, приводит к следующим
результатам:

t^¢ = t_о/Ö(1 - V²/с²), где t_о - собственная длительность процесса (отсчитываемая одними и теми же часами, движущимися вместе с происходящими событиями, а t^¢ - длительность того же процесса, от­считываемая разными часами в ИСО, относительно которой носитель процесса движется и в моменты начала и конца процесса он находится в разных ее местах.

Иногда этот эффект интерпретируют так: говорят, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных и отсюда выводят ряд парадоксов, в частности парадокс близнецов. Следует
отметить, что вследствие равноправия всех ИСО в СТО, все кинематические эффекты (и сокра­щения длины в направлении движения, и замедления времени - длительности движущимися относительно носителя процес­са часами) являются обратимыми. И хороший пример такой обратимости пред­ставляет собой опыт с мю - мезонами, нестабильными частицами, образую­щимися в результате взаимодействия с атмосферой, бомбардирующих её космических лучей. Физиков вначале удивило существование этих частиц на уровне моря, где они должны были бы распасться за время их жизни, т. е. не успеть до­лететь от верхних слоев атмосферы (где они образуются) до уровня моря.

Но дело оказалось в том, что физики вначале применили в расчётах соб­ственное время жизни пи - мезонов t_о = 2×10^-6 с, а расстояние, проходимое ими брали лабораторное, то есть
l = 20 км. Но либо в таком случае нужно и длину (путь, проходимый пи – мезонами) брать собственную, которая оказывается "сокращённой", "укороченной" соответственно множителю
Ö(l –V²/с²). Либо нужно не только длину, но и время брать лабораторным, а оно возрас­тает пропорционально 1/Ö(l–V²/с²). Таким образом, релятивистские эффекты преобразования временных и пространственных интервалов позволили физикам увязать концы с концами
в реальном эксперименте и явлении природы.

При малых скоростях V << с релятивистская формула преобразо­вания длительностей процессов переходит в классическую t » t^¢. Соответственно длительность в этом предельном случае (приближении) теряет реля­тивистскую относительность и становится абсолютной,
т. е. не зависящей от выбора ИСО.

Пересматривается в СТО и закон сложения скоростей. Его релятивистскую (общую) форму можно получить, взяв дифференциалы от выражений для х, х^¢, t и t^¢, в формулах преобра­зований Лоренца и, поделив dх на dt и dх^¢ на dt^¢ , то есть, образовав из них скорости
u_х = dх/dt и u_х^¢ = dх^¢/dt^¢.

dх = (dх^¢ + Vdt^¢)/Ö(l –V²/с²); dt = (dt^¢ + Vdх^¢/с²)/Ö(l –V²/с²); Þ

dх/dt = (dх^¢ + Vdt^¢)/(dt^¢ + Vdх^¢/с²) = (dх^¢/dt^¢ + V)/[1 + V×(dх^¢/dt^¢)/с²] Þ u_х = (u_х^¢ + V)/(1 + V×u_х^¢/с²)

dх^¢ = (dх - Vdt)/Ö(l –V²/с²); dt^¢ = (dt - Vdх/с²)/Ö(l –V²/с²); Þ

dх^¢/dt = (dх - Vdt)/(dt - Vdх/с²) = (dх/dt - V)/[1 - V×(dх/dt)/с²] Þ u_х^¢ = (u_х - V)/(1 - V×u_х/с²)

Формулы u_х = (u_х^¢ + V)/(1 + V×u_х^¢/с²) и u_х^¢ = (u_х - V)/(1 - V×u_х/с²) и выражают собой
реля­тивистские законы сложения скоростей или, иначе говоря, преобразования скоростей
при пере­ходе от ИСО (К) к ИСО (К^¢) и наоборот.

В дорелятивистском пределе малых скоростей u << c эти формулы переходят в хорошо известные выражения классического (галилеевского) закона сложе­ния скоростей: u_х = u_х^¢ + V и u_х^¢ = u_х – V.

Интересно проследить, как релятивистская форма закона сложения скоростей согласована с принципом постоянства скорости света во всех ИСО. Если в ИСО (К^¢) имеем скорость u_х^¢ = с и ИСО (К^¢) движется относительно ИСО (К) тоже со скоростью V = с, то и относительно ИСО (К) скорость света будет по пре­жнему равна с:

u_х = (u_х^¢ + V)/(1 + V×u_х^¢/с²) = (с + с)/(1 + с×с/с²) = с. Классический же закон сложения приводил к результату: u_х = u_х^¢ + V = с + с = 2с, т. е. противоречил опыту, ибо не содержал
в себе ограничений на "потолок" скоростей.