В отличие от механики Ньютона, где пространство и время - как универсальные определённости (отношения) тел и процессов были абсолютны и независимы друг от друга,
в СТО вскрывается их относительный характер, их тесная взаимосвязь и опосредованность друг другом. Это дало основание Г. Минковскому объединить пространство и время в единый 4-х мерный мир (мир Минковского) с четырьмя координатными осями: Х, U, Z, iсt. Каждая точка в таком пространстве-времени изображает некоторое событие, т. е. ²нечто, происходящее там-то и тогда-то". Расстояние между двумя точками-событиями в этом мире называется интервалом S12 и выражается соотношением:
S12 = Ö[с2(t22 – t12) – (х2 – х1)2 – (y2 – у1)2 – (z2 – z1)2] = Ö(с2t122 – l122),
где t12 = t2 – t1 и l12 = Ö[(х2 – х1)2 + (y2 – у1)2 + (z2 – z1)2].
Каждая из компонент интервала - временная t12 и пространственная l12, т. е. длительность и длина, оказываются в СТО сами по себе относительными, изменяющимися в разных ИСО,
но изменяющимися взаимосогласованно, так, чтобы обеспечить неизменность (инвариантность), постоянство в разных ИСО всего 4-х мерного интервала. И эта инвариантность новой величины - комбинации из прежних инвариантных - длины и длительности, является одним
из важнейших результатов СТО.
Установленная в СТО тесная взаимосвязь пространства и времени наглядно иллюстрирует диалектико-материалистическое положение о пространстве и времени как атрибутах (неотъемлемых характеристиках) единого материального мира.
54. Длина отрезка и длительность событий в различных системах отсчета. Кинематические следствия из преобразований Лоренца.
3. Относительность одновременности событий.
Пусть в ИСО (К) происходят 2 события, задаваемые координатами x1, y1, z1, t1 и x2, y2, z2, t2, причем t = t2, т. е. в ИСО (К) эти события происходят одновременно.
Громадной заслугой Эйнштейна явилось то, что он обратил внимание на то, что в классической механике Галилея - Ньютона совершенно не было определено, как фиксировать факт одновременности двух событий, находящихся в разных местах. Интуитивно, в соответствии с принципом дальнодействия, предполагающим бесконечной скорость распространения взаимодействий (что достаточно оправдано для медленных движений), считалось очевидным, что разнесённость событий в пространстве не может влиять на характер их временного соотношения. Эйнштейн же предложил строгий способ установления факта одновременности разноместных событий, основанный на размещении в этих цветах синхронизированных часов. Синхронизировать часы он предложил с помощью реального сигнала, обладающего наивысшей скоростью - светового сигнала. Одним из способов синхронизации часов в конкретной ИСО является такой: часы, находящиеся в точке с координатой х будут синхронизированы с единым центром в точке 0 - начале ИСО, если в момент прихода к ним светового сигнала, испущенного из точки 0 в момент tо, они покажут время tх = tо + х/c.
Так как синхронизация осуществляется сигналом, обладающим высокой (предельно высокой), но не бесконечной скоростью, то часы, синхронизированные в одной ИСО, окажутся разсинхронизированными в другой (и во всех других) ИСО в силу их относительного движения. Следствием этого и является относительность одновременности разноместных событий и относительность временных и пространственных интервалов (длительностей и длин).
Формально этот вывод следующим образом вытекает из преобразований Лоренца:
в ИСО (К¢) событию 1 соответствует момент времени t1¢ = (t1 - VХ1/С2)/Ö(1 - V2/С2), а событию 2 ® момент t2¢ = (t2 – VХ2/С2)/Ö(1 – V2/С2), так, что при t1 = t2, t2¢ – t1¢ = [(Х1 – Х2)V/С2]/Ö(1 – V2/С2), и два события 1 и 2, одновременные в одной ИСО – в ИСО (К), оказываются неодновременными в другой (в ИСО (К¢).
В классическом (дорелятивистском) пределе, при V << с, t2¢ – t1¢ » 0, факт одновременности двух событий становится абсолютным, что, как уже говорилось, соответствует бесконечной скорости передачи взаимодействий и синхронизирующего сигнала: с ® ¥ или с >> V.
В релятивистской теории одновременность событий оказывается абсолютной лишь
в частном случае одноместных событий: при х1 = х2 всегда при t1 = t2 и t1¢ = t2¢.
4. Относительность длины тел (пространственных интервалов).
Пусть в ИСО (К) вдоль оси х покоится стержень длиной lо = х2 – х1.
ИСО, в которой тело покоится, называется собственной для данного тела, а его
характеристики, в данном случае длина стержня, также называются собственными.
В ИСО (К¢), относительно которой стержень движется и которая называется лабораторной ИСО, длина стержня l¢ = х2¢ - х1¢ определяется как разность значений координат концов стержня, зафиксированных одновременно по часам данной ИСО, т. е., при t1¢ = t2¢.
Используя формулы преобразований Лоренца для х1 и х2, содержащие время
в штрихованной ИСО (К¢), установим взаимосвязь l и l¢:
х1 = (х1¢ + Vt1¢)/Ö(1 - V2/с2); х2 = (х2¢ + Vt2¢)/Ö(1 - V2/с2); Þ х2 - х1 = (х2¢ - х1¢)/Ö(1 - V2/с2)
или окончательно: l¢ = lоÖ(1 - V2/с2) – эта формула выражает закон преобразования длин
(пространственных интервалов), согласно которому в направлении перемещения размеры тел
сокращаются. Этот эффект относительности длины тел, их релятивистского сокращения
в направлении перемещения является реальным, а не кажущимся физическим эффектом, но не динамическим, не связанным с каким-либо силовым воздействием, вызывающем сжатие тел
и сокращение их размеров. Этот эффект является чисто кинематическим, связанным
с выбранным способом определения (измерения) длины и конечностью скорости распространения взаимодействий. Его можно пояснить и так, что понятие длины перестало в СТО быть характеристикой только одного тела, самого по себе, а стало совместной характеристикой тела и системы отсчёта (подобно скорости тела, его импульсу, кинетической энергии и т. п.).
Такие характеристики, изменяются для разных тел в одной и той же ИСО, что естественно и привычно для нас. Но так же, хотя и менее привычно, они изменяются и для одного
и того же тела, но в разных ИСО. При малых скоростях движения этот эффект зависимости длины тела от выбора ИСО практически незаметен, почему в механике Ньютона (механике медленных движений) он и не обращал на себя внимания.
Подобный же анализ преобразований Лоренца на предмет выяснения соотношения между длительностями двух процессов, измеряемых из разных ИСО, одна из которых является собственной, т. e. движется вместе с носителем процесса и измеряет его длительность (разность
моментов конца и начала процесса) tо одними и теми же часами, приводит к следующим
результатам:
t¢ = tо/Ö(1 - V2/с2), где tо - собственная длительность процесса (отсчитываемая одними и теми же часами, движущимися вместе с происходящими событиями, а t¢ - длительность того же процесса, отсчитываемая разными часами в ИСО, относительно которой носитель процесса движется и в моменты начала и конца процесса он находится в разных ее местах.
Иногда этот эффект интерпретируют так: говорят, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных и отсюда выводят ряд парадоксов, в частности парадокс близнецов. Следует
отметить, что вследствие равноправия всех ИСО в СТО, все кинематические эффекты (и сокращения длины в направлении движения, и замедления времени - длительности движущимися относительно носителя процесса часами) являются обратимыми. И хороший пример такой обратимости представляет собой опыт с мю - мезонами, нестабильными частицами, образующимися в результате взаимодействия с атмосферой, бомбардирующих её космических лучей. Физиков вначале удивило существование этих частиц на уровне моря, где они должны были бы распасться за время их жизни, т. е. не успеть долететь от верхних слоев атмосферы (где они образуются) до уровня моря.
Но дело оказалось в том, что физики вначале применили в расчётах собственное время жизни пи - мезонов tо = 2×10-6 с, а расстояние, проходимое ими брали лабораторное, то есть
l = 20 км. Но либо в таком случае нужно и длину (путь, проходимый пи – мезонами) брать собственную, которая оказывается "сокращённой", "укороченной" соответственно множителю
Ö(l –V2/с2). Либо нужно не только длину, но и время брать лабораторным, а оно возрастает пропорционально 1/Ö(l–V2/с2). Таким образом, релятивистские эффекты преобразования временных и пространственных интервалов позволили физикам увязать концы с концами
в реальном эксперименте и явлении природы.
При малых скоростях V << с релятивистская формула преобразования длительностей процессов переходит в классическую t » t¢. Соответственно длительность в этом предельном случае (приближении) теряет релятивистскую относительность и становится абсолютной,
т. е. не зависящей от выбора ИСО.
Пересматривается в СТО и закон сложения скоростей. Его релятивистскую (общую) форму можно получить, взяв дифференциалы от выражений для х, х¢, t и t¢, в формулах преобразований Лоренца и, поделив dх на dt и dх¢ на dt¢ , то есть, образовав из них скорости
uх = dх/dt и uх¢ = dх¢/dt¢.
dх = (dх¢ + Vdt¢)/Ö(l –V2/с2); dt = (dt¢ + Vdх¢/с2)/Ö(l –V2/с2); Þ
dх/dt = (dх¢ + Vdt¢)/(dt¢ + Vdх¢/с2) = (dх¢/dt¢ + V)/[1 + V×(dх¢/dt¢)/с2] Þ uх = (uх¢ + V)/(1 + V×uх¢/с2)
dх¢ = (dх - Vdt)/Ö(l –V2/с2); dt¢ = (dt - Vdх/с2)/Ö(l –V2/с2); Þ
dх¢/dt = (dх - Vdt)/(dt - Vdх/с2) = (dх/dt - V)/[1 - V×(dх/dt)/с2] Þ uх¢ = (uх - V)/(1 - V×uх/с2)
Формулы uх = (uх¢ + V)/(1 + V×uх¢/с2) и uх¢ = (uх - V)/(1 - V×uх/с2) и выражают собой
релятивистские законы сложения скоростей или, иначе говоря, преобразования скоростей
при переходе от ИСО (К) к ИСО (К¢) и наоборот.
В дорелятивистском пределе малых скоростей u << c эти формулы переходят в хорошо известные выражения классического (галилеевского) закона сложения скоростей: uх = uх¢ + V и uх¢ = uх – V.
Интересно проследить, как релятивистская форма закона сложения скоростей согласована с принципом постоянства скорости света во всех ИСО. Если в ИСО (К¢) имеем скорость uх¢ = с и ИСО (К¢) движется относительно ИСО (К) тоже со скоростью V = с, то и относительно ИСО (К) скорость света будет по прежнему равна с:
uх = (uх¢ + V)/(1 + V×uх¢/с2) = (с + с)/(1 + с×с/с2) = с. Классический же закон сложения приводил к результату: uх = uх¢ + V = с + с = 2с, т. е. противоречил опыту, ибо не содержал
в себе ограничений на "потолок" скоростей.
55. Релятивистская динамика. Релятивистские масса и импульс.
Основной закон динамики. Связь между полной энергией и импульсом.
Требование обеспечения инвариантности такого фундаментального закона природы, как закон сохранения импульса, вынуждает пересмотреть в СТО классическое определение
импульса Р = m u = m×d r /dt. Этот важнейший закон динамики будет инвариантным законом
(то есть выполнимым во всех ИСО), если заменить в определении импульса лабораторное время собственным (т. е. dt на dtо), которое является инвариантным относительно преобразований
Лоренца. Итак, в СТО, Р = m×d r /dtо, где dtо - промежуток времени, определяемый по часам, движущимся вместе с материальной точкой, а d r – перемещение частицы в той ИСО, в которой определяется импульс.
T. к. dtо = dt×Ö(l –u2/с2), то Р = m×d r /dtо = Р = m×(d r /dtо)/Ö(l –u2/с2) = m u /Ö(l –u2/с2) - релятивистское выражение для импульса. При u << с оно переходит в классическое Р = m u.
Соответственно основной закон динамики материальной точки - 2-ой закон Ньютона
будет справедливым в СТО, т. е., релятивистки инвариантным, только в форме, приданной ему самим Ньютоном: dР/dt = F, где Р - релятивистский импульс, т. е.
Р = mu/Ö(l –u2/с2;
здесь масса утрачивает прежний смысл коэффициента пропорциональности между силой и ускорением.
Некоторые авторы релятивистское толкование импульса основывают на зависимости массы тела от скорости его движения: m = mо/Ö(l –u2/с2). В последнее время от этого отходят.
56. Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в
релятивистской динамике.
Для получения релятивистского выражения для кинетической энергии используем её связь с работой силы, а силу подставим из релятивистской формы основного закона динамики материальной точки:
dЕк = dА = Fdr = (dР/dt)dr = u×d[(mu/Ö(l –u2/с2)] = u{d(mu)/Ö(l –u2/с2) + mu×dÖ(l –u2/с2)} = u{m×du/Ö(l - u2/с2) + m×u×(u/с2)×du/Ö(l –u2/с2)3} = m×u×du/Ö(l –u2/с2) + m×u3×(du/с2)/Ö(l –u2/с2)3 = [m×u×du - m×u3×(du/с2) + m×u3×(du/с2)]/Ö(l - u2/с2)3 = m×u×du/Ö(l –u2/с2)3 = d[mс2/Ö(l –u2/с2)] Þ
Ек = mс2/Ö(l –u2/с2) + const;
При u = 0, Ек = 0, то есть mс2/Ö(l –u2/с2) + const = 0, откуда const = - mс2 и
Ек = mс2/Ö(l –u2/с2) - mс2 = mс2[(1/Ö(l –u2/с2) – 1].
При u << с, Ö(l –u2/с2) » 1 - u2/2с2 и Ек » mu2/2 переходит в известное из механики Ньютона выражение, справедливое при малых, дорелятивистских скоростях.
Кинетическая энергия, как энергия движения, предстает в виде разности энергий, одну
из которых естественно назвать полной энергией Е, а другую – Eо = mс2 - энергией покоя:
Ек = Е - Ео.
Е = mс2/Ö(l - u2/с2) - полная энергия тела.
Из взаимосвязи массы m тела с энергией покоя Ео = mс2, следует, что всякое изменение Dm массы тела сопровождается изменением DЕо энергии покоя, так что DЕо = Dm×с2 - закон взаимосвязи массы и энергии (покоя).
Энергия связи системы.
Масса образующейся составной частицы (системы) больше суммы масс исходных частиц, т. к. кинетическая энергия соединяющихся частиц превращается в эквивалентное количество энергии покоя. При обратном же процессе распада неподвижной частицы на составляющие её и разлетающиеся в разные стороны частицы сумма масс образовавшихся частиц оказывается меньше массы исходной составной частицы на величину, равную суммарной кинетической энергии разлетающихся частиц, деленной на с2.
Связь частиц в составе более сложной частицы можно характеризовать энергией связи Есв, численно равной работе, которую нужно затратить, чтобы преодолеть силы связи, разводя частицы на расстояние, где их взаимодействие убывает до нуля:
Есв = Smiс2 - Мс2, где М - масса системы. Здесь имеет место нарушение свойства аддитивности массы.
Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.
Для установления взаимосвязи полной энергии с импульсом частицы, возведём её
в квадрат и разделим на с2:
Е = mс2/Ö(l –u2/с2) ® Е2 – Е2 u2/с2 = m2с4 или, так как Р = mu/Ö(l –u2/с2) = Еu/с2 Þ
Е2 – Р2с2 = m2с4 = const, или Е2/с2 – Р2 = m2с2 = Inv
Энергия и импульс изменяются при переходе от одной ИСО к другой, но изменяются взаимосогласованно, образуя единую меру движения материи, называемую комбинацией /тензором/ энергии - импульса. Подобно кинематическому инварианту - интервалу, объединившему в себе длину и длительность, тензор энергии - импульса образует динамический инвариант, объединяющий меры движения, сохранение которых тесно связано со свойствами симметрии пространства и времени – их однородностью.