Раздел 2. ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Изучение курса сопротивления материалов (наука о прочности, жесткости и ус­тойчивости деформируемых под нагрузкой элементов машин и конструкций) следует начать с повторения раздела «Статика» (равновесие тел, уравнения равновесия, гео­метрические характеристики сечений). Непременными условиями успешного овла­дения учебным материалом являются: а) четкое понимание физического смысла рас­сматриваемых понятий; б) свободное владение методом сечений; в) осознанное при­менение геометрических характеристик прочности и жесткости поперечных сечений; г) самостоятельное решение достаточно большого числа задач. Принципиаль­ная схема изучения каждого из видов нагружения бруса (старый термин «вид дефор­мации») единообразна: от внешних сил с помощью метода сечения к внутренним силовым факторам, от них — к напряжениям, от расчетного напряжения — к усло­вию прочности бруса.

^ Тема 2.1. Основные положения

.t, ка­сательным силам — касательные напряжения sВнутренние силы, возникающие между частицами тела под действием нагрузок, являются таковыми для тела в целом. При применении метода сечений эти силы для рассматриваемой части тела являются внешними, т.е. к ним применимы методы ста­тики. Действующая в произвольно проведенном поперечном сечении система внут­ренних сил эквивалентна в общем случае одной силе и одному моменту. Разложив их на составляющие, получим соответственно три силы (по направлению координат­ных осей) и три момента (относительно этих осей), которые называют внутренними силовыми факторами (ВСФ). Возникновение тех или иных ВСФ зависит от факти­ческого нагружения бруса. Определяют ВСФ с помощью уравнений равновесия ста­тики. Внутренним нормальным силам соответствуют нормальные напряжения

Вопросы для самоконтроля

1. Для чего изучается сопротивление материалов?

Сопротивление материалов — это наука, в которой рассматриваются основные понятия, принципы и методы инженерного расчета отдельных элементов конструкций и некоторых простейших конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

Несмотря на то, что конструктивные элементы машин и сооружений довольно разнообразны, при инженерном расчете их сводят к небольшому числу основных форм: стержни (прямые и кривые), пластины и оболочки, массивные тела. В основном, в курсе сопромата изучаются методы расчета прямых стержней при их растяжении, сжатии, кручении и изгибе.

Сопротивление материалов, как наука, основывается и на теоретических, и на экспериментальных данных.

2. Чем отличается упругая деформация от пластической?

 

В процессе деформации важное значение имеет величина межатомных связей, приложение нагрузки достаточной для их разыва приводит к необратимым последствиям (необратимая или пластическая деформация). Если нагрузка не превысила допустимых значений, то тело может вернуться в исходное состояние (упругая деформация). Простейший пример поведения предметов, подверженных пластической и упругой деформацией, можно проследить на падении с высоты резинового мяча и куска пластилина. Резиновый мяч обладает упругостью, поэтому при падении он сожмется, а после превращения энергии движения в тепловую и потенциальную, снова примет первоначальную форму. Пластилин обладает большой пластичностью, поэтому при ударе о поверхность оно необратимо утратит свою первоначальную форму.

3. Следует ли учитывать изменение размеров тел при составлении уравнений равновесия сил, приложенных к нему?

В сопротивлении материалов за расчетную модель принята модель идеализированного деформируемого тела и для решения поставленной задачи делается ряд допущений, одно из которых гласит:

· Перемещения точек элемента (или системы элементов), обусловленные его деформацией, весьма малы по сравнению с размерами самого элемента. На основе этого допущения вводится принцип начальных размеров, согласно которому при составлении уравнений равновесия элемент или систему элементов рассматривают как недеформируемое тело. Такой подход позволяет пренебречь изменениями в расположении внешних сил при деформировании реального тела.

4. В каких случаях при действии на тело нескольких сил эффект действия каж­дой силы можно считать независимым от действия других сил? Какое название но­сит этот принцип?

 

Системы, для которых соблюдается условие пропорционально­сти между напряжениями и деформациями, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.

В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе прило­жено несколько сил, то можно определить внутренние силы, на­пряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдель­ности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности. Принцип независимости действия сил является одним из основных способов при решении большинства задач механики линейных систем.

5. Какими расчетными схемами заменяются реальные объекты расчета?

 

Расчетная схема является схематизированным представлением реальной конструкции, в котором сознательно не учитывается ряд менее важных с точки зрения проводимого расчета факторов, относящихся к конструктивным особенностям, характеру нагружения и закрепления.

Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы.
Реальные стержни изображаются их осями на расчетной схеме. Нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности, заменяют силой, приложенной в точке, которую называют сосредоточенной и обозначают через Р.
Схематизируются и свойства материала. Принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду.
Вводятся упрощения и в геометрию конструкции. Так, все реальные тела, один размер у которых - длина, на много больше двух других (поперечных), сводятся к схеме бруса

 

Каковы геометрические признаки, присущие каждой расчетной схеме?

Геометрически изменяемая система - система, в которой возможны конечные перемещения без деформации элементов. При составлении расчетных схем в геометрию реального объекта вводятся определенные упрощения. Все тела представляются в виде бруса, оболочки или массивного тела.

называется элемент конструкции, длина которого существенно больше его поперечных размеров.

Рис 1.1 Балки (вверху) и их расчетные схемы (внизу)

Геометрически стержень может быть образован путем перемещения плоской фигуры вдоль некоторой кривой или прямой. Эта кривая называется осью стержня, а плоская фигура, имеющая свой центр тяжести на оси и перпендикулярная к ней, называется поперечным сечением.

По форме стержни бывают:

а)прямыми;

б) кривыми (арка, крановый крюк);

в) пространственно-изогнутыми, например пружина

6. Почему нельзя определить внутренние силовые факторы в произвольном се­чении, рассматривая равновесие всего тела в целом?

7. В чем заключается метод сечений?

 

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно рассекается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен ее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие на нее до разреза со стороны отброшенной части. Оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием приложенных к сечению внешних и внутренних сил (третий закон Ньютона – действие равно противодействию).

8. Можно ли с помощью метода сечений установить закон распределения внут­ренних силовых факторов по проведенному сечению

Можно

9. Что такое напряжение? Какова размерность напряжения?

Механическое напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле, под влиянием различных факторов. Механическое напряжение в точке тела определяется как отношение внутренней силы к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения. Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют смещению частиц, ограничивая его в большинстве случаев некоторой малой величиной.

В результате изучения темы студент должен:

иметь представление о гипотезах, допущениях, о свойствах материалов и характере деформирования; о внутренних силовых факторах в поперечном сечении произвольно нагруженного бруса;

знать методы сечений; виды напряжений; основные виды деформации бруса.

Тема 2.2. Растяжение и сжатие

При изучении темы обратите внимание на гипотезу плоских се­чений, которая справедлива и при других видах нагружения бруса. При растяжении или сжатии напряжения распределяются по поперечному сечению равномерно, гео­метрической характеристикой прочности и жесткости сечения является его площадь, форма сечения значения не имеет, все точки сечения равноопасны. Следует понять порядок расчета на прочность при растяжении и сжатии.

^ Вопросы для самоконтроля

1. В каком случае брус испытывает деформацию растяжения или сжатия?

 

Прямой брус испытывает деформацию центрального растяжения, сжатия, если силы или их равнодействующая действуют вдоль его оси. В этом случае в поперечном сечении бруса из шести внутренних силовых факторов отличным от нуля будет один - нормальная сила N, которая определяется методом сечений.

2. Каков закон изменения нормальных напряжений по площади поперечного сечения при растяжении и сжатии?

 

 

Чтобы понять характер напряжений и деформаций, возникающих в сжимаемом или растягиваемом брусе, представим себе прямой брус из резины, на котором нанесена сетка из продольных и поперечных линий. Если такой брус подвергнуть деформации растяжения, можно заметить, что:

· поперечные линии на брусе остаются ровными и перпендикулярными оси бруса, а расстояния между ними увеличатся;

· продольные линии останутся прямыми, а расстояния между ними уменьшатся.

Из этого эксперимента следует, что при растяжении справедлива гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли), и, следовательно, все волокна бруса удлинятся на одну и ту же величину. Все это позволяет сделать вывод, что при растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению. Эти напряжения можно определить по формуле:

σ = N / А,

где N – продольная сила, А – площадь поперечного сечения бруса.

 

3. Влияет ли форма поперечного сечения на значение напряжений, возникаю­щих при растяжении и сжатии?

 

При растяжении или сжатии напряжения распределяются по поперечному сечению равномерно, гео­метрической характеристикой прочности и жесткости сечения является его площадь, форма сечения значения не имеет, все точки сечения равноопасны.

4. Что называется эпюрой нормальных сил и эпюрой нормальных напряжений?

 

Продольной силой называется равнодействующая всех внутренних нормальных сил, возникающих в сечении. График, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса, называется эпюрой продольных сил (эпюрой N).

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил (она отличается от неё лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные осевые нагрузки (где имеет скачки эпюра продольных сил), но и в местах изменения размеров поперечных сечений.

 

5. Для чего строят эпюры N? Какое поперечное сечение бруса называется опасным?sи

 

В результате построений мы получим график (эпюру) распределения напряжений по каждому сечению бруса, визуальное исследование которого позволяет определить наиболее напряженный участок.

Опасное сечение — это поперечное сечение, в котором действуют наибольшие внутренние усилия.

 

6. Что такое модуль продольной упругости материала, какова его размерность?

 

МОДУЛЕМ ПРОДОЛЬНОЙ УПРУГОСТИ материала называется коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением и относительным упругим удлинением при линейном напряженном состоянии.

7. Что такое жесткость сечения бруса и жесткость бруса при растяжении (сжа­тии)?

Δl = N l / (E А).

Произведение модуля упругости на площадь сечения Е × А, стоящее в знаменателе, называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно и физико-механические свойства материала бруса и геометрические размеры поперечного сечения этого бруса.

Приведенную выше формулу можно читать так: абсолютное удлинение или укорочение бруса прямо пропорционально продольной силе и длине бруса, и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.
Выражение Е А / l называют жесткостью бруса при растяжении и сжатии.

8.Какова цель механических испытаний материалов?

 

Для определения физико - механических свойств материалов наиболее широко применяют статические испытания материалов на растяжение. Объясняется это тем, что механические характеристики, получаемые при испытании на растяжение, позволяют сравнительно точно определить поведение материала при других видах деформаций и этот вид испытаний, кроме того, наиболее легко осуществим.

9. Каковы характеристики пластичных свойств материалов?

 

Способность материала получать большие остаточные деформа­ции, не разрушаясь, носит название пластичности. Мерой пластичности является удлинение d при разрыве. Чем больше d, тем более пластичным считается материал. Противоположным свойству пластичности яв­ляется свойство хрупкости, т. е. способность ма­териала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций. Материалы, обладающие этим свойством, называются хрупкими. Для таких материалов величина удлинения при разрыве не превышает 2—5%, а в ряде случаев измеряется долями процента. Диаграмма растяжения хруп­ких материалов не имеет площадки текучести и зоны упрочнения.

10. Какие системы называют статически неопределимыми?

Статически неопределимыми называются такие системы, опорные реакции в которых и (или) внутренние усилия невозможно определить только из уравнений статики (уравнений равновесия).

11. Механические испытания материалов

Испытание на растяжение — это относительно простой для понимания и объяснения метод испытания материала, и, возможно, его используют чаще остальных. При проведении этого испытания, образец материала растягивают вдоль продольной оси с помощью растягивающего приспособления испытательной машины.

Испытание на сжатие

Испытания на растяжение проводить сложно, особенно, если материал хрупкий — в таких случаях наблюдается большой разброс результатов. Альтернативным методом оценки прочности материала является испытание на сжатие, которое легче провести, если материал хрупкий, так как в этом случае разброс результатов будет меньшим.

Испытание твердости — это измерение сопротивления поверхности материала воздействию инструмента, внедряемого или вдавливаемого в поверхность (индентеров), или режущего инструмента. Испытание твердости проводят для определения сопротивления материала царапанью или стиранию. Кроме того, существует приближенная зависимость между твердостью материала и пределом прочности на растяжение.

Испытание на ударную прочность — это оценка сопротивления материала мгновенному приложению нагрузки. Стандартный образец в виде балки с насечками подвергают воздействию импульсной нагрузки, создаваемой маятниковым копром.

Испытание на крип (ползучесть)

Если материал долгое время находится под нагрузкой, то под воздействием постоянного напряжения он может непрерывно деформироваться, даже несмотря на то, что величины действующих на него напряжений значительно ниже предела упругости. Эта деформация материала, зависящая от времени его нахождения под нагрузкой, называется крипом, который, в конечном итоге, ведет к разрушению материала. В частности, понимание этого явления важно, если материал используют при температурах, превышающих половину значения температуры плавления или температуры размягчения, что, например, характерно для некоторых амальгамных фаз или многих пластических материалов. При температурах на 40 — 50% меньше абсолютной точки плавления материала, крип ничтожно мал.

1.
К каким группам относятся материалы, диаграммы которых представлены на рисунках а, б и в?

1. На рисунке а представлена диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали (Ст3).
2. На рисунке б представлена диаграмма растяжения образца из чугуна.
3. На рисунке в представлена диаграмма растяжения образца из легированной стали.
4. Все материалы относятся к группе хрупких.

 

2.Указать основные характеристики прочности на диаграмме растяжения в варианте а.

Участок I соответствует упругим деформациям материала,

 

Участок II начинается после точки А, когда диаграмма становится криволинейной

Участок III характеризуется увеличением нагрузки, при которой происходит дальнейшая деформация образца.

Участок IV начинается в точке К и заканчивается разрушением образца в точке R. Этот участок носит название зоны разрушения.

В результате изучения темы студент должен:

иметь представление о принципе Сен-Венана; продольных и поперечных деформациях; статически неопределимых системах при растяжении (сжатии);

знать закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса; Закон Гука; порядок расчета на прочность при растяжении и сжатии; основные механические характеристики материалов;

уметь проводить испытания материалов на растяжение.