Понятие множества. Операции над множествами. Примеры.
Под множеством понимается любая совокупность некоторых объектов. Эти объекты называются элементами множества. Множества обозначают большими буквами, а элементы - маленькими.
То что элемент a принадлежит множеству A (то есть является элементом множества A) записывают так a∈A, а то что элемент b не принадлежит множеству A (не является его элементом) записывают так b∉A.
Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается символом ∅.
Запись A⊂B (A содержится в B) означает, что каждый элемент множества A является элементом множества B; в этом случае множество A называется подмножеством множества B. Множества A и B называют равными (A=B), если A⊂B и B⊂A.
Существует два основных способа задания (описания) множеств.
а) Множество A определяется непосредственным перечислением всех своих элементов a1,a2,...,an, то есть записывается в виде
A={a1,a2,...,an}.
Например множество простых чисел от 10 до 20 можно записать так: {11,13,17,19}.
б) Множество A определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества T, которые обладают общим свойством α. В этом случае используется обозначение
A={x∈T|α(x)},
где запись α(x) означает, что элемент x обладает свойством α.
Например [0,1)={x∈R|0≤x<1}.
Операции объеденения и пересечения обладают следующими свойствами:
1) коммутативности
A∪B=B∪A;A∩B=B∩A;
2) ассоциативности
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;(A∩B)∩C=A∩(B∩C);
3) дистрибутивности
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);
4) идемпотентности
A∪A=A;A∩A=A.
Множество, стостоящее из всех элементов множества A, не принаждлежащих множеству B,называется разностью множеств A и B:
A∖B={x|(x∈A)∧(x∉B)}.
Если A⊂B, то B∖A называют дополнением множества A до множства B:A′B.
Если, в частности, A− подмножество некоторого универсального множества U, то разность U∖A обозначается символом A¯¯¯¯ или A′ и называется дополнением множества A (до множества U).
Из определения дополнения множества следуют равенства
A∪A′=U;A∩A′=∅,(A′)′=A.
Симметрической разностью множеств A и B называют множество AΔB, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат только одному из множеств A или B, то есть
AΔB=(A∖B)∪(B∖A).
Для любых подмножеств A и B множества U справедливы следующие равенства, которые называют законами двойственности или законами де Моргана:
(A∪B)′=A′∩B′;(A∩B)′=A′∪B′.
Примеры:
Доказать справдливость равенств
1) (A∩B)′=A′∪B′
Доказательство.
x∈(A∩B)′⇔x∉(A∩B)⇔x∉A∨x∉B⇔ x∈A′∨x∈B′⇔
x∈(A′∪B′)⇔(A∩B)′=A′∪B′.
1.29. A={x∈R|x3−3x2+2x=0}.
Решение.
Найдем множество действительных решений уравнения x3−3x2+2x=0:
x3−3x2+2x=x(x2−3x+2)=0⇒
⇒x1=0.
Решим квадратное уравнение x2−3x+2=0.
D=32−4⋅2=1.
x2=3+12=2,x3=3−12=1.
Все корни уравнения действительные, поэтому запишем ответ:
Ответ: {0,1,2}.
ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ВИДЫСОБЫТИЙ.
Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность событий S.
Невозможными называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность событий S.
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности событий S либо произойдет, либо не произойдет.
Предметом теории вероятности является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.
Построение логически полноценной теории вероятностей основана на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной Колмогоровым, неопределяемыми понятиями являются элементарные события и вероятность. Аксиомы, определяющие вероятность:
1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(A). Это число называется вероятностью события А.
2. Вероятность достоверного события равна единице:
3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ.
Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием
Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р*(А) случайного события обладает устойчивостью. Поясним это на примере.
Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005. Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т. е. мало отличается от числа 0,5. Как показывает опыт, это отклонение частоты от числа 0,5 уменьшается с увеличением числа испытаний. Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события A будем обозначать через Р(А). В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.