ОПРЕДЕЛИТЕ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙИ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

истема m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У или СЛУ в разных источниках) в линейной алгебре — это система уравнение вида

(1)

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных. x ₁, x ₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. Коэффициенты системы a ₁₁, a ₁₂, …, a_mn и свободные члены b ₁, b ₂, … b_m предполагаются известными^[1]. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[2].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b ₁ = b ₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c ₁, c ₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c ₁⁽¹⁾, c ₂⁽¹⁾, …, c_n ⁽¹⁾ и c ₁⁽²⁾, c ₂⁽²⁾, …, c_n ⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c ₁⁽¹⁾ = c ₁⁽²⁾, c ₂⁽¹⁾ = c ₂⁽²⁾, …, c_n ⁽¹⁾ = c_n ⁽²⁾.

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется недоопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой

Прямые методы дают алгоритм, по которому можно найти точное решение СЛАУ. И если бы точность была абсолютной, они бы нашли его. Реальная ЭВМ, естественно, работает с погрешностью, поэтому решение будет приближённым.

Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Прямые методы [править | править вики-текст]

· Метод Гаусса

· Метод Гаусса — Жордана

· Метод Крамера

· Матричный метод

· Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)

· Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)

· Метод вращений^[3]

Итерационные методы [править | править вики-текст]

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге: