1. Общее и частное решения дифференциального уравнения. Общий и частный интегралы.
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
F (x, y, y ')=0,
где F — известная функция трех переменных, определенная в области G из R 3, x — независимая переменная из интервала (a, b), y (x) — неизвестная функция, y '(x) — ее производная.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида
y '= f (x, y)
Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех x из (a, b) удовлетворяет уравнению F (x, y(x), y '(x))=0.
График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.
Если дифференциальное уравнение первого порядка y '= f (x, y), имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y=y (x,C), где C — произвольная константа.
Выражение y (x,C) называют общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка:
при всех допустимых значениях C функция y=y (x,C) является решением уравнения,
y '(x,C)= f (x, y (x, C));
для любого наперед заданного решения y = f (x) найдется такое значение константы C, C=С*, что y (x,C *)= f (x).
Однако, если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y (x 0)= y 0, то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение. Задача об отыскании решения y=y (x) дифференциального уравнения y '= f (x, y), удовлетворяющего начальному условию y (x 0)= y 0, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением.
11. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение, разрешенное относительно производной.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.
Задача об отыскании решения y=y (x) дифференциального уравнения y '= f (x, y), удовлетворяющего начальному условию y (x 0)= y 0, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением.
Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Если функция f (x, y) и ее частная производная по y непрерывны в области D, (x 0, y 0)Î D, то на некотором интервале (x 0 -h, y 0+ h) существует единственное решение y=y (x) уравнения y '= f (x, y), удовлетворяющее начальному условию y (x 0)= y 0.
Теорема существования и единственности имеет простую геометрическую интерпретацию: если условия теоремы выполнены в области D, то через каждую точку (x 0, y 0)Î D проходит только одна интегральная кривая y=y (x,C 0) семейства y=y (x,C) такая, что y (x 0 ,C 0)= y 0.
12. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, приводящиеся к ним.
Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида
где X (x) и Y (y) — непрерывные функции.
Общий интеграл уравнения задается выражением
Решение y = y (x) задачи Коши y (x 0) = y 0 как неявную функцию переменной x задает выражение
Заметим, что если Y (y*) = 0 в некоторой точке y*, то уравнение
y ' = Y (y) X (x) имеет решение y (x) = y* при всех допустимых x.
Все решения системы исчерпываются выражениями y (x) = y* и
Однородные дифференциальные уравнения.
Уравнения вида P(x,y)dx+G(x,y)=0 называются однородными, если P(x,y) и G(x,y) - однородные функции одного измерения. Функция f(x,y) называется однородной измерения m, если f(lx;ly)-lmf(x,y)
Однородное уравнение может быть приведено к виду y’=f(y/x) с помощью подстановки y=tx, dy=xdt+tdx, однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t.
13. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
Уравнение вида y’+P(x)y=Q(x) называется линейным (y и y’ входят в первых степенях, перемножаясь между собой). Если Q(x)=0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q(x)=0, то линейным однородным. Общее решение однородного уравнения y’+P(x)y=0 легко получается разделением переменных.
dy=P(x)dx; ⌡dy= - ⌡P(x)dx
y ⌡ y
lny=-⌡P(x)dx+lnC или, наконец,
y=Ce-⌡P(x)dx, где С- произвольная постоянная.
Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную, т.е. полагая
y=C(x)e-⌡P(x)dx, где C(x) – некоторая подлежащая определению дифференцируемая функция от x.
Для нахождения C(x) нужно подставить y в исходное уравнение, что приводит к уравнению
C’(x)e-⌡P(x)dx=Q(x), отсюда
С(x)=⌡Q(x)e⌡P(x)dx dx+C, где С- произвольная постоянная. Тогда искомое решение линейного неоднородного уравнения имеет вид
y=e-⌡P(x)dx [⌡Q(x)e⌡P(x)dx dx+C]
Линейные уравнения первого порядка можно интегрировать методом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки
y=uv, где u и v – две известные функции, исходное уравнение преобразуется к виду.
u’v+uv+P(x)uv=Q(x) или
u[v’+P(x)v]+u’v=Q(x)
Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например v) может быть выбрана произвольно (поскольку лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), за v принимаем любое частное решение уравнения
v+P(x)v=0 (например v=e-⌡P(x)dx), обращающее в нуль коэффициент при v последним уравнением. Тогда предыдущее уравнение имеет вид
vu’=Q(x) или u’=Q(x), т.е.
v
u’=Q(x)e⌡P’(x)dx dx
Общее решение исходного уравнения находится умножением u на v:
y= e-⌡P’(x)dx[⌡Q(x)e⌡P’(x)dx dx+C]
Уравнение нелинейного вида
y+P(x)y=Q(x)ym, где m=0, m=1 называется уравнением Бернулли, которое можно преобразовать в линейное уравнение. Производя замену неизвестной функции при помощи подстановки z=y1-m в результате чего исходное уравнение преобразуется к виду
1 z’+P(x)=Q(x)
1-m
При интегрировании конкретного уравнения Бернулли, их не надо преобразовывать в линейные, а сразу применить либо метод Бернулли, либо метод вариации произвольной постоянной.
dy+ay=b, где a и b – постоянные
dx
Разделяем переменные
dy=-(ay+b)dx, dy =dx
-ay+b
-1/a*ln|-ay+b|=x+C1
ln|-ay+b|=-(ax+C*), где С*=aC1-ay+b=e-(ax+C*)
y=-1/a*e-(ax-C*)+b/a или окончательно
y=Ce-ax+b/a, где обозначение -1/a*e-C*=C
14. Дифференциальные уравнения второго порядка. Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.
y’’=f(x,y,y’)
Уравнение разрешаем относительно второй производной.
Начальное условие
y x-x0=y0 y’ x-x0=y0
Пример.
y’’=2
Общее решение данного уравнения найдем двукратным последовательным интегрированием. Находим сначала первую производную
y’=2x+C1 и затем общее решение
y=x2+C1x+C2, где C1 и C2 – произвольные постоянные. Геометрически общее решение представляет собой семейство парабол, причем, т.к. оно зависит от двух произвольных постоянных, то через каждую такую плоскость проходят бесконечное множество парабол, имеющих различные касательные в этой точке. Поэтому для выделения одной параболы из полученного семейства, кроме точки (x0; y0), через которую проходит парабола, нужно задать еще и угловой коэффициент касательной к параболе в этой точке.
Найдем, например, частное решение данного уравнения, при начальных условиях
y =1 y’ x=e=1x=e
Подставляя эти значения в выражение для общего решения y=x2+C1x+C2 и его производной y’=2x+C1, для определения C1 и C2 получим систему уравнений
1=1+C1+C2
1=2+C1
Откуда находим C1=1 и C2=1. Следовательно, искомым решением является функция
y=x2-x+1, график которой – парабола, проходящая через точку (1; 1), с угловым коэффициентом в этой точке, равным единице.
15. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
1)Уравнение вида
y’=f(x) Уравнение не содержит y и y’. Выводим функцию z(x), z(x)=y’, тогда z’(x)=f(x).
Решаем. z(x)=⌡f(x)dx+C, т.к. z(x)=y’, то y’=⌡f(x)dx
y=⌡[⌡f(x)dx]dx+C1x+C2
Пример. Найти значение уравнения yn=x
Решение
z(x)=y’, получаем уравнение первого порядка
z’(x)=x, интегрируя его
z(x)=x2/2+C1 получаем
y=⌡[x2/2+C1]dx+C2=x3/6+C1x+C2
2)Уравнение вида
y’’=f(x,y’) Уравнение не содержит y. z(x)=y’, тогда z’(x)=y’’.
z(x)z’=f(x,z)
Решение: z(x)=φ(x; C1), т.к. z(x)=y’, то y=φ(x;C), интегрируя, получаем
Y=⌡φ(x,C1)dx+C2
Пример. y’’-3*y/x=x
z(x)=y’
z’-3*z/x=x
y’=C1x3-x2 и
y=C1*x4/4-x3/3+C2 – искомое решение
3)Уравнение вида
y2=f(y,y’) – не содержит x. Вводим новую функцию z(y).
y’=z, тогда
y’=d(y’)/dx = dy’dy/dydx = dzdy/dydz = dz/dy*z(y)
Подставляя в уравнение выражения y’ и y
z*dz/dy=f(y,z)
Решая его, найдем z=φ(y,C1), т.е.
z=dy/dx, то dy/dx=φ(y,C1), отсюда
dy/φ(y,C1)=dx
Общее решение
dy
φ(y,C1) =x+C2
Пример. yy’’-y’2=0
y’=z(y), y’’=z*dz/dy, получим
zy*dz/dy-2x=0. Приводим к виду dz/z=2dy/y
Интегрируем
ln|z|=2ln|y|+ln|C1|, откуда
z=C1y2, т.е
z=dy=C1dx
y2
16. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x), где y-искомая функция, P(x), g(x) и f(x) – известные функции, непрерывные на некотором интервале (a,b).
Если f(x)=0, то уравнение называется линейным однородным уравнением, в противном случае называется линейным неоднородным уравнением. Рассмотрим случай, когда функции P(x) и g(x) постоянные величины. Уравнение такого вида называется линейным уравнением с постоянным коэффициентом, это уравнение вида
y’’+p(x)y’+gy=f(x), где p-g – вещественные числа. (1)
Рассмотрим линейное однородное уравнение
y’’+p(x)y’+gy=0, где p-g – вещественные числа. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка может иметь множество решений. Однако среди них выделяют базисные решения, по которым строится общее решение уравнения. Таких решений для уравнения второго порядка два.
Решение будем искать в виде y=ekx, где k – некоторое число. Подставляем эту функцию в уравнение, получаем
k2 ekx +pk ekx+g ekx=0
Сокращая обе части этого равенства на ekx получаем квадратное уравнение относительно k.
k2 +pk +g =0 – характеристическое уравнение (2)
Для дифференциального уравнения (1) вид общего решения зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (2). Обозначим эти корни через k1и k2. Справедлива следующая теорема.
1)Если корни характеристического уравнения вещественные числа k1=k2, то общее решение однородного уравнения имеет вид
y=C1 ekx +C2 ekx
2)Если корни уравнения вещественные и равны (k1=k2 =k), то общее решение уравнения имеет вид
y=C1 ekx +C2 xekx
3)Если корни характеристического уравнения комплексные, то k1=a+bi; k2=a-bi, где i= -1 – мнимая единица, a и b – вещественные числа. Тогда общее решение имеет вид
y=eax (C1cosbx+C2sinbx), где a=-p/2, b= q-p2/4, во всех трех случаях C1 и C2 – произвольные постоянные.
Пример.
y’’-5y’+4y=0
Решение. Характеристическое уравнение данного д.у. имеет вид: k2-5k+4=0, его корни вещественные и различны: k1=1; k2=4, тогда общее решение имеет вид
y= C1 ex +C2 e4x
Пример.
y’’-6y’+9=0
Решение. Составим характеристическое уравнение k2-6k+9=0 или (k-3)2=0, кратный корень k=3. Общее решение данного уравнения
y= e3x (C1+C2 x)
Пример.
y’’-2y’+2y=0, имеем k2-2k+2=0 – дискриминант =-1
Комплексносопряженные корни
k1=1+i
k2=1- i, где i= -1 – мнимая единица. Общее решение данного уравнения
y= ex (C1 sinx+C2 cosx)
17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения по правой части (метод неопределенных коэффициентов).
Уравнение y’’+Py’+gy=g(x), где P и g – вещественные числа.
Как известно общее решение такого уравнения представляет собой сумму частого решения неопределенного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы находим:
Y (общее неоднородное)= Y (частное неоднородное) + Y (общее однородное)
Поэтому стоит рассмотреть вопрос о нахождении частного общего решения. Для нахождения частного решения можно применить метод вариации произвольных постоянных. Однако, если в правой части уравнения многочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая функция sinßx или cosßx, либо линейная комбинация перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащих процесса интегрирования.
1) Правая часть имеет вид
f(x)=Pn(x), где Pn(x)=a0xn+a1xn-1…+an-1x+an – многочлен степени a.
Тогда частное решение ȳ=Qn(x)xr, где Qn(x) – многочлен той же степени, что и P(x), а r – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
Пример. Найти общее решение уравнения
y’’-2y’+y=x+1
Решение: общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
y= (C1+C2x) C, т.к. правая часть уравнения – многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнения R2+2R+1=0 не равен 0 (k1=k2=1), то частное решение имеем в виде
y=(Ax+B) x0=Ax+B, где A и B – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды y=Ax+B и подставляя ȳ,ȳ’,ȳ’’ в данное уравнение найдем
-2A+Ax+B=x+1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в общих частях равенства A=1, B=3. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид
ȳ=x+3, а его общее решение y= (С1+С2x)ex+(x+3)
2) Правая часть имеет вид
f(x)= e2x Pn(x), где Pn(x) – многочлен степени n.
Тогда частное решение ȳ следует искать в виде
ȳ= Qn(x)xr e2x , где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), а r – число корней характеристического уравнения равных α.
Если α=0, то f(x)= Pn(x), т.е. имеет место случай.
Пример. Найти общее решение уравнения
yn+4y’+3y=xex
Решение. Характеристическое уравнение k2+4k+3=0, имеет корни k1=1, k2=3, значит общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
y= С1ex +С2e3x. В правой части этого уравнения – произведение многочлена первой степени на показательную функцию e2x, при 2=1, т.к. среди корней характеристического уравнения имеется только один корень k1=α=1, то r=1. В данном случае Pn(x) – многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения имеем в виде
ȳ=(Ax+B)xex=(Ax2+Bx)ex
Дифференцируя и подставляя в уравнение получаем
-4Ax+2A -2B=x. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства
-4A=1; 2A-2B=0, находим
A=-1/4; B=1/4
Подставляя найденные значения A и B в выражение для ȳ получаем частное решение данного уравнения
ȳ==-(1/4)(x2+x)ex
Общее решение имеет вид
y=ȳ+y= С1ex +С2e3x-1/4(x2+x)ex
3) Правая часть имеет вид
f(x)=acosßx+bsinßx, где a,b и ß известные числа.
Тогда частное решение ȳ надо искать в виде
ȳ=(Acosßx+Bsinßx)xr, где A и B – неизвестные коэффициенты, а r – число корней характеристического уравнения равных iƥ.
Пример. Насти общее решение уравнения
y’’+y=sinx
Решение. Характеристическое уравнение
K2+1=0 имеет корни k1=I, k2=-i, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения
y=C1cosx+C2sinx
В правой части равенства – тригонометрическая функция sinx, т.е. a=0, b=1, ß=1. Т.к. iß=1 – корень характеристического уравнения, то r=1 и частное решение надо искать в виде
ȳ=(Acosx+Bsinx)
Дифференцируя и подставляя в уравнение получим
2(-Acosx+Bsinx)=sinx
Откуда A=-1/2; B=0
Таким образом частное решение ȳ=-(1/2) xcosx
Общее решение y=ȳ+y= C1cosx+C2sinx-1/2xcosx
4) Правая часть имеет вид
f(x)= e2x [Pn(x) cosßx+ Pm(x) sinßx], где Pn(x) – многочлен степени n, а Pm(x) – многочлен степени m. Тогда частное решение следует искать в виде.
ȳ= xr e2x [Q1(x) cosßx+ Q2(x) sinßx], где Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени S.
S =max [n;m], а r- число корней характеристического уравнения, равных α+iß.
Пример. Найти общее решение уравнения.
y’’-y=3e
Общее решение однородного уравнения такого
y=C1 ex+C2 e-x. В правой части уравнения произведение многочлена нулевой степени, показательной функции и тригонометрической функции, так что Pn(x) =3, Pm(x) =0
S=0 степени 0.
18. Задача Коши и краевая задача для уравнения второго порядка.
Для однозначного определения решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо задать два условия, чтобы найти неопределенные постоянные C1 и C2 . Здесь возможны два случая:
1.Задача Коши, когда согласно теореме 9.2. в одной точке задаются значения искомой функции и ее производной (2 начальных условия).
2.Краевая задача, когда в конечных точках интервала решения задается по одному условию (2 граничных условия). Например, x=x; y=y1; x=x2; y=y2.
Пример. Найти решение уравнения,
y’’-5y’+4y=8
Удовлетворяющее условиям
x=0; y=1; x=ln2; y=2.
Общее решение такого уравнения:
y=C1ex+C2e4x, т.к.характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид
k2-5k+4=0
Его корни вещественные и различны.
k1=1; k2=4. Исходя из краевой части f(x)=8. Частное решение данного неоднородного уравнения имеем в виде константы ȳ=C. Подставляя это решение в уравнение, получаем C=2
C1 +C2= -1 Из этой системы находим C2 = 1/3; C1 = -4/3
2C1+4C2=0
19. Простейшие интегрируемые дифференциальные уравнения высших порядков.
20. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Когда для равнения y’=f (x,y) требуется решать задачу Коши при начальном условии y/x=x0=y0, решение можно искать с помощью ряда Тейлора
∞
y= E yn(x0)/ n! * (x-x0)n , где
n=0
y(x0), y’(x0) = f (x0,y0), а дальнейшие производные yn(x0) находят последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой в результат дифференцирования вместо x, y, y’ значений
x0, y0, y0’ и всех остальных найденных последующих производных. Аналогично с помощью ряда Тейлора можно интегрировать и уравнения высших порядков.
Пример. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение
y’=x2+y2, y(0) = 1.
Взяв вместо первых членов разложения, отличных от нуля.
Из уравнения начальных условий находим y’-02+12=1. Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем:
y’’=2x+2yy’
y’’’=2+2y’2+2yyn
y’ѵ=6y’y’’+2yy’’’
yѵ=6y’’2+8y’y’’’+2yy’ѵ
Полагая x=0 и используя значения y(0)=1, y’’(0)=1 последовательно находим y’’(0)=2, y’’’(0)=8, yѵ (0)=144.
Искомое решение имеет вид:
y=1+x/1!+2x2/2!+8x3/3!+28x4/4!+144x5/5!+…
21. Применение дифференциальных уравнений в экономике.
Математическое моделирование экономических и природных процессов приводит к необходимости решения уравнений, которые кроме независимых переменных и зависимых от них искомых функций, содержат также производные или дифференциалы от неизвестных функций. Такие уравнения называются дифференциальными.
Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Такими моделями являются: модель Эванса - установления уравновешенной цены на рынке одного товара; а также динамическая модель экономического роста, известная под названием «базовая модель Солоу».
В модели Эванса рассматривается рынок одного товара, время считается непрерывным. Пусть d(t), s(t), p(t) – спрос, предложение и цена соответственно этому товару на момент времени t. Допустим, что спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть d(p)=a-bp, a,b>0 – спрос с возрастанием цены падает, а s(p)=α+βp,α,β>0 – предложение с возрастанием цены возрастает. Природным является соотношение а> α, то есть при нулевой цене спрос превышает предложение.
Модель Солоу рассматривает экономику как единое целое (без структурных подразделений). Эта модель достаточно адекватно отображает самые важные макроэкономические аспекты процесса производства.
Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической) не следует существование решения соответствующей математической задачи.
В настоящее время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных электронных вычислительных машин. Исследование дифференциальных уравнений часто облегчает возможность провести вычислительный эксперимент для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и послужат фундаментом для дальнейших теоретических исследований.
Итак, первая черта теории дифференциальных уравнений - ее тесная связь с приложениями. Другими словами, можно сказать, что теория дифференциальных уравнений родилась из приложений.
Второй особенностью теории дифференциальных уравнений является ее связь с другими разделами математики, такими, как функциональный анализ, алгебра и теория вероятностей.
При изучении конкретных дифференциальных уравнений, возникающих в процессе решения физических задач, часто создавались методы, обладающие большой общностью и применявшиеся без строгого математического обоснования к широкому кругу математических проблем. Такими методами являются, например, метод Фурье, метод Ритца, метод Галёркина, методы теории возмущений и другие. Эффективность применения этих методов явилась одной из причин попыток их строгого математического обоснования. Это приводило к созданию новых математических теорий, новых направлений исследований.
В настоящее время теория дифференциальных уравнений с частными производными представляет собой богатую, сильно разветвленную теорию. Построена теория краевых задач для эллиптических операторов на основе недавно созданного нового аппарата - теории псевдодифференциальных операторов, решена проблема индекса, изучены смешанные задачи для гиперболических уравнений.
В последние десятилетия возник и интенсивно развивается новый раздел теории уравнений с частными производными - теория усреднения дифференциальных операторов. Эта теория возникла под влиянием задач физики, механики сплошной среды и техники, в частности, связанных с изучением композитов (сильно неоднородных материалов, широко используемых в настоящее время в инженерной технике), пористых сред, перфорированных материалов.
Таким образом, дифференциальные уравнения в настоящее время представляют собой труднообозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики. Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения.