Математическая постановка

Содержание

Введение. 3

1. Обзор литературы.. 4

Математическая постановка. 9

2. Численная реализация классических задач механики контактного взаимодействия 10

2.1. Аналитическое решение задач контактного взаимодействия. 11

2.2. Численная реализация решения задач контактного взаимодействия и ее сходимость. 17

2.3. Влияние коэффициента трения и пластического упрочнения на параметры контакта. 23

Заключение. 28

Список литературы.. 29

Введение

Одной из важнейших областей современной механики деформируемого твердого тела являются задачи о контактном взаимодействии. Составные части любой конструкции, взаимодействуя, не только друг с другом, но и с другими объектами образуют контактные пары. Примерами такого взаимодействия могут быть: механические передачи, подшипники качения и скольжения, муфты, тормозные колодки, механизмы двигателя внутреннего сгорания, металлообработка, сварка, штамповка и др. Теория контактных задач находит широкое применение в различных промышленных отраслях, таких как машиностроение, авиастроение, судостроение, медицина, строительство и др. Для уменьшения трения между контактными поверхностями зачастую используют различные антифрикционный материалы, например, модифицированный фторопласт, также применяют напыления, к ним можно отнести газотермическое и вакуумное напыления. Совместно с антифрикционными материалами применяются смазки и масла. Смазки можно разделить на: органические, синтетические и минеральные. Они могут принимать любое агрегатное состояние и классифицироваться по назначению: моторные масла, гидравлические масла, индустриальные масла и т.п.

Обзор литературы

Одной из основополагающих работ была работа Генриха Герца «О контакте упругих тел» [1]. Полученные результаты в ходе работы основываются на классической теории упругости и механики сплошных сред. Он предоставил свою теорию в Берлинское физическое общество в конце 1881 г. Делегаты сообщества увидели ее практическое значение, и попросили Герца продолжать свои исследования. Но его теория не получила должного развития. Теория Генриха Г. стала снова популярной лишь в начале прошлого столетия, во время развития машиностроения, судостроения и т.п. Теория великого ученого была применима только к идеально упругим телам на поверхностях контакта, которых, не было трения. Отказ от этих ограничений привел к тому, что механика контактного взаимодействия начала прогрессировать. Учет трения позволил построить реальные модели контактного взаимодействия в рамках теории упругости. В это же время развитие теорий пластичности и линейной вязкоупругости позволили расширить и усложнить спектр контактных задач.

Проблемы контактного взаимодействия до сих пор являются актуальными. Каждое новое исследование это новая задача, новая возможность осветить ту или иную проблему с новой стороны, исследовать внутренние процессы, проблемы которые из них вытекают, и найти их решение. В работе [2] Александрова В.М. Чебакова М.И. излагаются задачи для упругой полуплоскости без учета и с учетом трения и сцепления, также в своих постановках авторы учитывают смазку, тепло выделяющееся от трения и износ. В [3, 4] описаны численно-аналитические методы решения неклассических пространственных задач механики контактных взаимодействий в рамках линейной теории упругости. Большое количество авторов работали над книгой [5], в которой отражены работы до 1975г. В этой книге содержатся результаты решений контактных статических, динамических и температурных задач для упругих, вязкоупругих и пластических тел. Аналогичное издание [6] вышло в 2001 году содержащее обновленные методы и результаты решения задач механики контактного взаимодействия. В ней присутствуют работы не только отечественных, но и зарубежных авторов. Н.Х.Арутюнян и А.В. Манжиров в своей монографии [7] исследовали вопросы теории контактного взаимодействия растущих тел. Была поставлена задача для нестационарных контактных задач с зависящей от времени области контакта и изложены методы решения в [8].Сеймов В.Н. изучал динамическое контактное взаимодействие [9], а Саркисян В.С. [10] рассматривал задачи для полуплоскостей и полос. В своей монографии Джонсон К. [11] рассмотрел прикладные контактные задачи с учетом трения, динамики и теплообмена. Также были описаны такие эффекты как неупругость, вязкость, накопление повреждений, скольжение, сцепление.

С развитием контактных задач в различных промышленных отраслях стали популярными задачи о телах с покрытиями, прослойками и многослойными средами. В [12, 13, 14, 15, 16, 17 и др.] были опубликованы работы по исследованию механики контактного взаимодействия слоистых тел, покрытий и прослоек с учетом шероховатости контактных поверхностей. Горячева И.Г. в своей монографии [12] исследовала влияние микрогеометрии поверхности, неоднородности механических свойств поверхностных слоёв, а также свойств поверхности и покрывающих её плёнок на характеристики контактного взаимодействия, силу трения и распределение напряжений в приповерхностных слоях при разных условиях контактирования. В своем исследовании Торская Е.В. [18] рассматривает задачу о скольжении жесткого шероховатого индентора по границе двухслойного упругого полупространства. Предполагается, что силы трения не влияют на распределение контактного давления. Для задачи о фрикционом контакте индентора с шероховатой поверхность, анализируется влияние коэффициента трения на распределение напряжений. Изложены исследования контактного взаимодействия жестких штампов и вязкоупругих оснований с тонкими покрытиями для случаев, когда поверхности штампов и покрытий являются взаимоповторяющимися, приведены в [6, 13]. Механическое взаимодействие упругих слоистых тел изучается в работах [19, 20, 21], в них рассматривается контакт цилиндрического, сферического инденторов, системы штампов с упругим слоистым полупространством. Большое количество исследований опубликовано об индентировании многослойных сред [14, 17, 19 и др.]. Александров В.М. и Мхитарян С.М. [22] изложили методы и результаты исследований о воздействии штампов на тела с покрытиями и прослойками, задачи рассматриваются в постановке теории упругости и вязкоупругости. Можно выделить ряд задач о контактном взаимодействии, в которых учитывается трение [15, 17, 23, 24 и др.]. В [25] рассматривается плоская контактная задача о взаимодействии движущегося жесткого штампа с вязкоупругим слоем. Штамп движется с постоянной скорость и вдавливается с постоянной нормальной силой, при этом предполагается, что трение в области контактна отсутствует. Эта задача решается для двух видом штампов: прямоугольного и параболического. Авторы [26] экспериментально исследовали влияние прослоек из различных материалов на процесс теплообмена в зоне контакта. Были рассмотрено около шести образцов и опытным путем определено, что эффективным теплоизолятором является заполнитель из нержавеющей стали. В другой научной публикации [27] рассматривалась осесимметричная контактная задача термоупругости о давлении горячего цилиндрического кругового изотропного штампа на упругий изотропный слой, между штампом и слоем был неидеальный тепловой контакт.

В исследованиях имеют место не только плоские, но пространственные, трехмерные задачи [28, 29, 30]. Пожарский Д.А. и Поляков А.С. в [28] решали пространственную задачу для упругого клина, в одну грань, которого вдавливаются симметрично два жестких штампа с учетом трения. Область контакта считается неизвестной. Рассмотрены случаи движения штампов перпендикулярно ребру клина (приближаются и удаляются). Расчеты сделаны при разных углах раствора клина, коэффициентах трения и расстояниях между штампами. В работе [29] Пожарский Д.А. с другим своим соавтором - Бедоидзе М.В., исследовали трехмерную контактную задачу для двухслойного упругого основания при действии дополнительной нагрузки вне области контакта. Пространство и слой, между собой, полностью сцеплены. Форма штампа представляет собой – эллиптический парабалойд.

Зачастую, инженеры стремятся уменьшить коэффициент трения в зоне контакта, стараясь, тем самым, избежать скорейшего износа поверхности. Для этого применяются различные смазки и антифрикционные материалы. Например, твердые антифрикционные материалы, при продолжительном действии, обладают повышенной устойчивостью к трению. Подобные материалы должны обладать минимальным коэффициентом трения и их механические характеристики должны соответствовать эксплуатационным нагрузкам, быть пластичными и износостойкими. Так как материалов, которые имеют подобные характеристики, не так много, то для уменьшения трения применяются различные смазочные материалы. Область применения как антифрикционный покрытий, так и смазочных материалов обширна. Полимерный антифрикционный материал совместно со смазкой используется в мостостроении в опорной части моста для повышения надежности и долговечности работы контактного узла, и увеличения межремонтного цикла [31]. Следующее изобретение относится к области машиностроения и применимо для шаровых шарниров [32]. Сложной формы вкладыш из термопластичного антифрикционного полимерного материала позволяет обеспечить беззазорный контакт, равномерное распределение напряжений по всей области контакта и надежное удержание смазки. Также есть патент на изобретение, относящийся к двурядному радиально-упорному подшипнику качения [33]. На рабочие поверхности колец подшипника наносится твердое антифрикционное покрытие, на дорожки качения колец – износостойкое антифрикционное алмазоподобное покрытие, а сепаратор изготавливают из упрочненного полимера с твердыми смазками. Тем самым внутренняя полость подшипника защищена, увеличен срок службы изделия и снижено тепловыделение от трения. К подбору и применению антифрикционных материалов подходят серьезно, так как от этого выбора зависит работа всевозможных механизмов. Серебрянский А.И. с соавторами проделали большую работу для того чтобы обосновать выбор антифрикционных материалов для узлов трения технологического оборудования лесозаготовительных машин [34]. Был рассмотрен подшипник качения с втулкой. После проведения анализа недостатков смазочных материалов и выставленных требований к антифрикционному материалу было предложено использовать для антифрикционных втулок самосмазывающиеся антифрикционные пластики. Так как эти пластики имеют меньшую твердость чем металлы, то при одинаковой нагрузке площадь пятна контакта пластиковой и металлической деталей будет больше. Поэтому величина контактных напряжений в подшипнике скольжения с пластиковой втулкой будет значительно ниже, чем при контактном взаимодействии подшипника с металлической втулкой. После ряда лабораторных исследования было выявлено, что применение пластиков в качестве антифрикционного материала может существенно повысить рабочий ресурс.

Математическая постановка

Математическая постановка задачи о вдавливании сферического штампа в упругое полупространство и в сферу большего радиуса (рис.2.1.) реализуется в рамках теории упругости и включает в себя:

уравнения равновесия

; (1)

геометрические соотношения

, (2)

физические соотношения

, (3)

где и – параметры Ламе, – тензор напряжений, – тензор деформаций, – вектор перемещений, – радиус-вектор произвольной точки, – первый инвариант тензора деформаций, – единичный тензор, – область, занятая полупространством и сферой большего радиуса, – область, занятая сферой, .