СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

 

В разд. 2.5 было показано, что все инерциальные системы отсчёта равно­правны, абсолютной, "самой правильной" системы отсчёта не существует. Это означает, что во всех инерциальных системах отсчёта вид уравнений, описы­вающих поведение рассматриваемого тела или системы тел, абсолютно одинаков.

Такая точка зрения была общепринятой примерно до середины XIX в., по­скольку ни одно из известных физике явлений ей не противоречило. Но в 1864 г. была издана работа Дж. К. Максвелла "Динамическая теория электро­магнитного поля", в которой раскрывалась природа электромагнитных волн. Из работы следовало, что вид уравнений Максвелла, описывающих электромаг­нитную волну, зависит от выбора системы отсчёта. Но это означало, что по ви­ду уравнений, полученных в разных системах отсчёта, можно отличить одну систему отсчёта от другой!

В те годы многие физики полагали, что входящая в уравнения Максвелла скорость распространения электромагнитных волн, равная скорости света в ва­кууме, есть скорость распространения электромагнитных волн относительно неподвижного "эфира", заполняющего всю Вселенную ("эфиром" называли среду, в которой распространяются электромагнитные волны; тогда физики не могли допустить, что волны могут распространяться в пустоте).

Последнее из названных предположений казалось чрезвычайно интерес­ным. Это видно из следующего. Пусть на гладкую поверхность воды опущена лодка. По поверхности воды во все стороны пойдут волны. Они будут удалять­ся от лодки со скоростью, равной скорости распространения волн в воде.

Если лодка начнёт медленно двигаться вперёд, то волна, идущая от носа лодки, будет удаляться от него медленнее, так как лодка будет двигаться в ту же сторону. Следовательно, скорость волны относительно лодки станет меньше. Значит, если измерить скорость волны, идущей от лодки, то можно определить, дви­жется ли лодка по воде.

То же самое можно ожидать от световых волн. Измерение скорости света относительно источника световых волн должно показать, движется ли источник относительно эфира.

Но если это так, то систему отсчёта, покоящуюся относительно эфира, можно отличить от всех остальных инерциальных систем отсчёта. Тогда систе­ма отсчёта, связанная с эфиром, становится абсолютной!

Возможность выделения абсолютной системы отсчёта опровергала фунда­ментальный принцип классической физики - принцип относительности Гали­лея. Казалось, возникла возможность совершить революционный переворот в физике. Поэтому ряд учёных занялись экспериментальной проверкой рассмот­ренного выше предположения.

 

5.1. ОПЫТ МАЙКЕЛЬСОНА-МОРЛИ

 

В конце XIXв. было известно, что Земля движется вокруг Солнца со ско­ростью около 30 км/с.

Экспериментаторы использовали установку, состоящую из источника све­та и двух зеркал А и В, находящихся от него на одинаковых расстояниях. Свет от источника шёл к зеркалам, отражался от них и возвра­щался в точку S.

Пусть к зеркалу А свет идёт параллельно скорости Земли, а к зеркалу В - перпендику­лярно ей.

На пути к А свет должен идти со скоро­стью c-v, а от А к S - со скоростью c+v, так как вначале источник догоняет световую волну, а затем идёт волне навстречу. Следовательно, время на пути SAS

.

Луч, идущий от источника света вертикально вверх, от зеркала В не отра­зится, потому что пока луч дойдёт зеркала, оно переместится вправо. Поэтому отразится тот луч, который идёт под углом к вертикали (см. схему установки). Но это означает, что на пути SBS скорость света относительно установки равна и

т.е. время, затрачиваемое на пути SAS, отличается от времени, затрачиваемого на пути SBS.

Точность эксперимента позволяла уверенно измерить разность времён на этих путях. Однако оказалось, что эти времена одинаковы, т.е. t_||-t_^=0.

Этот результат противоречил ожиданиям. Выявить абсолютную систему отсчёта не удалось.

Вместо революции в физике эксперимент породил проблему, которую удалось решить А. Эйнштейну.

 

5.2. ПОСТУЛАТЫЭЙНШТЕЙНА

 

Для решения упомянутой выше проблемы Эйнштейну пришлось пере­смотреть исходные положения классической физики. В результате он сформу­лировал два постулата, ставшие основой специальной теории относительности.

Первый постулат распространяет действие принципа относительности Га­лилея на любые (не только на механические) физические процессы:

• все физические явления протекают одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчёта; все законы природы и уравнения, их описывающие, инвариантны по отношению к инерциальным системам отсчёта.

Другими словами, все инерциальные системы отсчёта эквивалентны по своим физическим свойствам, абсолютной системы отсчёта не существует.

Второй постулат гласит:

• скорость света в вакууме не зависит от движения источника света и
одинакова во всех направлениях. Это означает, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта.

В соответствии с преобразованиями Галилея, перемещение одного и того же светового импульса, измеренное наблюдателями из разных систем отсчёта, различно (см. разд. 1.6). Время во всех системах отсчёта течёт одинаково, т.е. dt = dt ¢.Потому скорости этого светового импульса в разных системах отсчёта различны: , .

Эйнштейн допустил, что для наблюдателей, находящихся в разных систе­мах отсчёта, один и тот же световой импульс не только совершит разные пере­мещения dr и dr', но и совершит их за разные интервалы времени dt и dt', при­чём отношение этих величин для всех наблюдателей одинаково:

 

5.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

 

Как отмечено в предыдущем разделе, при переходе к другой инерциальной системе отсчёта координаты х, у, z и время t становятся другими - x ¢, y ¢, z ¢, t ¢.

Преобразования Лоренца показывают, как именно связаны между собой координаты и время в разных системах отсчёта.

Пусть имеются две инерциальные систе­мы отсчёта, которые отвечают следующим требованиям:

1) система отсчёта X ¢ Y' движется равномерно и прямолинейно относительно системы отсчёта XY, причём оси координат X и X ¢совпадают и скорость движущейся системы отсчёта относительно неподвижной системы равна v и направлена параллельно оси X;

2) в момент времени t=t '=0 начала координат совпадали.

Если в неподвижной системе отсчёта в момент t в точке с координатами х, у произошло событие, то каковы координаты этого события в движущейся сис­теме отсчёта?

Ответить на этот вопрос можно следующим образом.

Координаты у и у' должны быть равны между собой, так как в противном случае можно было бы отличить одну инерциальную систему отсчёта от дру­гой. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую ситуацию.

Пусть на осях Y и Y ¢закреплены стержни одинаковой длины. На верхних концах этих стержней прикреплены кисточки с краской. Когда один стержень пролетает мимо другого, кисточки делают отметки на стержнях.

Допустим, что у движущегося стержня длина уменьшилась. Тогда на не­подвижном стержне отметка будет ниже конца стержня, а на движущемся от­метки не будет (кисточка пройдёт выше его конца). Значит, можно отличить движущийся стержень от неподвижного, что противоречит первому постулату Эйнштейна. Поэтому

у=у¢.

Предположим, что координаты х и х ' связаны следующим образом:

x =g(x ¢+ vt ¢),

x ¢=g(x - vt).

Предположим также, что в момент t=t '=0 в точке О вспыхнула лампочка.

Поскольку скорость света в обеих системах отсчёта одинакова, расстояния, пройденные светом за время t, в каждой из систем отсчёта будут равны x и x ' соответственно:

x = ct

x ¢= ct ¢.

Заменяя х и х' на ct и ct' соответственно, получаем

ct =g(ct ¢+ vt ¢)

ct ¢=g(ct - vt).

Перемножив уравнения, получаем:

с ² tt ¢=g²(c ² tt ¢- v ² tt ¢).

После сокращения на tt' получаем

с²=g²(c²-v²)

и

Теперь преобразование координат х и х' принимает вид

,

.

В выражении x =g(x ¢+ vt ¢) заменим х ¢ на g(x-vt):

x =g(g(x-vt)+ vt ¢).

Из последнего уравнения выразим t '

.

Действуя аналогично, можно получить

.

Таким образом, преобразования координат приняли окончательный вид

у=у ¢ z=z ¢

Эти преобразования были впервые получены в 1895 г. нидерландским фи­зиком Хендриком Лоренцем, который пытался определить, при каких условиях уравнения Максвелла будут одинаково выглядеть во всех инерциальных систе­мах отсчёта.

Эйнштейн же понял, что значение полученных преобразований гораздо шире. Они показывают, как связаны между собой координаты и время, изме­ренные в разных инерциальных системах отсчёта.

Важной особенностью преобразований Лоренца является то, что в преоб­разованиях "перемешаны" координаты и время. Это говорит о том, что про­странство и время едины.

Обратите внимание на то, что при скоростях v, намного меньших скорости света в вакууме с, преобразования Лоренца принимают вид преобразований Га­лилея. Поэтому преобразования Лоренца не опровергают правильность пред­ставлений Галилея о свойствах пространства и времени. Просто при низких по сравнению со скоростью света скоростях эффекты, открытые Эйнштейном, об­наружить невозможно.

Обратите также внимание и на то, что при v>c преобразования Лоренца теряют физический смысл (выражение под стоящим в знаменателе корнем при v>c становится отрицательным). Это соответствует утверждению о предельно­сти скорости света в вакууме. Ни одно тело не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме.

 

5.4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА

 

5.4.1. СОКРАЩЕНИЕ ДЛИНЫДВИЖУЩЕГОСЯ ТЕЛА

 

Пусть стержень длиной l _o, параллельный оси Х ¢ штрихованной системы отсчёта K ¢, неподвижен относительно неё. Следовательно, стержень движется со скоростью v относительно нештрихованной системы отсчёта K.

Длина стержня в системе K ¢ равна разности координат концов стержня в этой системе отсчёта: . Отметим, что длину стержня, неподвижного относительно системы отсчёта, называют "собственная длина".

Для того чтобы узнать длину стержня l в системе отсчёта K, необходимо одновременно зафиксировать координаты концов стержня в этой системе отсчёта. Очевидно, что длина стержня l будет равна разности этих координат.

Используя преобразования Лоренца, запишем:

.

Из последнего выражения следует, что длина движущегося стержня всегда меньше, чем длина этого же стержня в неподвижном состоянии, т.е. собственной длины стержня:

.

Обратите внимание на то, что сокращается длина стержня, параллельного направлению движения.

Длина стержня, перпендикулярного направлению движения, не изменяется, так как в преобразованиях Лоренца показано, что y=y ¢ и z=z ¢.

Таким образом, сокращаются только продольные, т.е. параллельные скорости движения размеры.

Поперечные размеры движущегося тела не изменяются.

Помните также, что эффект сокращения продольных размеров симметричен: если в какой-либо системе отсчёта имеется неподвижный, параллельный оси x стержень длиной l _o, то в системе отсчёта, движущейся параллельно оси х со скоростью v, этот стержень будет иметь меньшую длину, равную .

Важно отметить, что сокращаются не только продольные размеры тел, но и продольные расстояния между событиями.

 

5.4.2. ЗАМЕДЛЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ

 

Пусть в одной и той же точке х '₀ штрихованной системы отсчёта в моменты и последовательно происходят два события. Моменты и фиксируются часами, неподвижными в этой системе отсчёта.

Длительность временного интервала между событиями в нештрихованной системе, измеренная неподвижными в этой системе часами, будет равна

.

Таким образом, длительность временного интервала между одними и те­ми же событиями, измеренная часами, находящимися в разных инерциальных системах отсчёта, будет различной.

Временной интервал между событиями измеренный неподвижными относительно наблюдателя часами, всегда больше, чем временной интервал измеренный движущимися часами. Следовательно, движущиеся часы идут медленнее, чем неподвижные.

Эффект замедления времени, как и эффект сокращения длины, симмет­ричен: для любого наблюдателя движущиеся относительно него часы будут идти медленнее, чем неподвижные.

Время D t ₀, измеренное часами, неподвижными относительно наблюдателя, называется "собственным временем".

 

5.4.3 ПОНЯТИЕ ОДНОВРЕМЕННОСТИ

 

Пусть в нештрихованной системе отсчёта происходят события А (x ₁, y ₁, t ₁) и А (x ₂, y ₂, t ₂). Найдём интервал времени между ними в системе отсчёта, движущейся относительно нештрихованной.

В соответствии с преобразованиями Лоренца

.

Если t ₂- t ₁=0, т.е. события в нештрихованной системе отсчёта происходят одновременно, то вполне возможно, что , т.е. эти же события в движущейся относительно неё системе отсчёта могут быть не одновременны.

Если t₂-t₁>0, то может быть как больше нуля, так и меньше нуля. Это оз­начает, что может меняться не только интервал времени между событиями, но даже порядок следования событий! Правда, этого не может произойти в том случае, если события связаны причинно-следственной связью, - поскольку причина не может произойти позже следствия, вызванного этой причиной.

 

5.5. ИНТЕРВАЛ

 

Открытие теории относительности перевернуло представления об окру­жающем нас мире. Оказывается, наблюдатели, находящиеся в разных инерциальных системах отсчёта, измеряя длину одного и того же тела, получат разные результаты.

Два события, происходящие на определённом расстоянии друг от друга и через определённый интервал времени, для наблюдателя из другой инерциальной системы отсчёта будут происходить на другом расстоянии и че­рез другой интервал времени.

Более того, событие, которое произошло первым, для другого наблюдателя может произойти вторым!

Но в специальной теории относительности есть и инвариантные· величи­ны. Одна из них - скорость света в вакууме. Другой инвариантной величиной является интервал.

Интервал S_n между событиями 1 и 2 есть величина, определяемая вы­ражением

,

где t ₁₂ - промежуток времени между событиями; l ₁₂ - расстояние между точка­ми, где происходят события.

Попробуем вычислить интервал между двумя событиями, пространст­венные и временные координаты которых определены наблюдателями из раз­ных систем отсчёта:

.

Таким образом, интервал между двумя событиями действительно одина­ков, т.е. инвариантен, в различных инерциальных системах отсчёта. Поэтому утверждение "события разделены интервалом S ₁₂" абсолютно, оно справедливо во всех инерциальных системах отсчёта.

По своей сути интервал есть расстояние между событиями. Только это расстояние не в привычном трёхмерном пространстве, а в четырёхмерном, ко­ординатами которого являются три пространственные координаты и время.

 

5.6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МАССА. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ИМПУЛЬС

 

В процессе работы над специальной теорией относительности Эйнштейн обнаружил, что один из фундаментальных законов классической физики - за­кон сохранения импульса не выполняется. Точнее - если в одной системе от счёта суммарный импульс тел системы сохраняется, то в другой системе отсчё­та импульс той же системы тел может не сохраняться.

Позже Эйнштейн показал, что если изменить определение классического импульса p = m v, то закон сохранения импульса будет выполняться и в рамках теории относительности. Поскольку Эйнштейн исходил из того, что специаль­ная теория относительности не должна отвергать фундаментальные законы классической механики, он предложил заменить классическое определение им­пульса на новое

.

Релятивистский импульс зависит от скорости движения тела относитель­но наблюдателя и нелинейно увеличивается с её ростом.

Это можно трактовать как зависимость массы тела от его скорости. В та­ком случае масса движущегося тела равна

где т₀ - масса покоя (масса тела при нулевой скорости).

Масса покоя является релятивистски инвариантной - она одинакова во всех инерциальных системах отсчёта, в которых скорость тела равна нулю.

Обратите внимание на то, что если скорость тела увеличить до скорости света, то его масса возрастает до бесконечности. Поэтому ни одна материальная частица с массой покоя m _о>0 не может двигаться со скоростью света.

В настоящее время зависимость массы тела от скорости его движения до­казана экспериментально и не подвергается сомнению.

 

5.7. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКИ

 

Основное уравнение релятивистской динамики (в классической физике это второй закон Ньютона) внешне выглядит как в классической - . Но вместо классического в нём использован релятивистский импульс. Поэтому его можно переписать в такой форме:

Это выражение и называют основным уравнением релятивистской динамики.

Важно отметить, что одно и то же внешнее воздействие в разных инерци­альных системах отсчёта будет характеризоваться различными силами. Други­ми словами, сила в теории относительности - величина неинвариантная.

Кроме того, в общем случае сила и ускорение не совпадают не только по величине, но и по направлению. Чтобы убедиться в этом, возьмём производную по времени, имеющуюся в правой части основного уравнения релятивистской динамики

.

Обратите внимание: первый член полученной суммы направлен парал­лельно скорости частицы, а второй член, в который, собственно, и входит уско­рение dv/dt, параллелен ускорению. В то же время сумма этих двух векторов равна силе, приложенной к частице.

Таким образом, ускорение параллельно силе лишь в тех случаях, когда складываемые векторы параллельны между собой·. В остальных случаях на­правления у них не совпадают.

 

5.8. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ

 

Кинетическая энергия в теории относительности вводится точно так же, как и в классической динамике, - это величина, приращение которой равно ра­боте силы (сил), действующей на частицу:

dW= F d r = Fv dt.

В соответствии с основным уравнением релятивистской динамики

F dt=d (m v)= dm v + md v.

Переписав с учётом последнего выражения определение кинетической энергии, получим

dW = v (dm v +md v)= v ² dm+mvdv.

Возведём формулу зависимости релятивистской массы от скорости в квадрат и выполним простейшие преобразования

.

Запишем дифференциал от этого выражения

.··

Разделим полученное выражение на 2т

.

Обратите внимание: правая часть полученного выражения и правая часть определения кинетической энергии совпадают. Следовательно,

dW = c ² dm.

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы прямо про­порционально приращению релятивистской массы частицы.

Кинетическую энергию частицы, скорость которой возросла от нуля до скорости v, можно получить, взяв интеграл от dW в пределах от т₀ (массы покоя) до т:

W =(m-m _о) c ².

Окончательно, используя выражение релятивистской массы, получим

.

Полученное для релятивистской кинетической энергии выражение не по­хоже на классическое. Но можно показать, что при малых скоростях это выра­жение переходит в привычное .

 

5.9. ВЗАИМОСВЯЗЬ МАССЫИ ЭНЕРГИИ

 

В предыдущем разделе было показано, что приращение кинетической энергии тела связано с возрастанием его массы. Но кинетическая энергия не единственный и не исключительный вид энергии. Поэтому можно предполо­жить, что сообщение телу любой энергии должно вызывать изменение его массы.

В предыдущем разделе показано, что кинетическая энергия тела W, имеющего скорость v, равна (т-т₀) с².

Раскрыв скобки и выполнив элементарные преобразования, получим:

mc ²= W+m _о c ²

или

W = mc ²- m _о c ².

Кинетическая энергия тела в последнем выражении представлена как разность двух величин. Что они собой представляют?

Во-первых, это какие-то энергии (это следует хотя бы из того, что размерности кинетической энергии и этих величин совпадают).

Второй член этой разности содержит массу покоя тела. Поэтому можно предположить, что это энергия покоящегося тела. Её называют энергией покоя

E _o= m _о c ².

Логично предположить, что сумма энергии движущегося тела (кинетиче­ской энергии) и энергии покоящегося тела есть полная энергия тела. Поэтому первый член выражения mc ²= W+m _о c ² есть полная энергия движущегося тела Е

E = mc ².

Полученный результат очень важен, поскольку масса тела и его полная энергия связаны между собой. Более того, масса есть не только мера инертно­сти тела, но и мера энергосодержания тела. Всякое увеличение энергии тела увеличивает массу тела, и, наоборот, всякое уменьшение энергии тела вызывает уменьшение его массы. Например, Солнце, испускающее излучение за счёт внутренней энергии, за каждую секунду теряет примерно 4.10⁹ кг. В повседнев­ной жизни мы не замечаем увеличения массы нагретого тела потому, что сооб­щённая нагретому телу дополнительная энергия составляет очень незначитель­ную долю полной энергии тела.

 

5.10. СВЯЗЬ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ

 

Поскольку полная энергия тела и его импульс зависят от скорости, они должны быть связаны. Найдём эту связь.

Выразим разность квадрата полной энергии и квадрата произведения им­пульса тела на скорость света через массу движущегося тела, массу покоя, ско­рость тела и скорость света:

.

Полученное выражение довольно интересно. Обратите внимание: в пра­вой части выражения отсутствует скорость тела, а имеющиеся величины - мас­са покоя и скорость света в вакууме - являются релятивистскими инварианта­ми. Значит, это соотношение выполняется во всех инерциальных системах от­счёта, т.е. оно инвариантно по отношению к системе отсчёта.

Несмотря на то что скорость одного и того же тела в разных системах от­счёта различна и соответственно различны импульс и кинетическая энергия те­ла, разность квадрата полной энергии тела и произведения квадрата импульса тела на квадрат скорости света в вакууме во всех инерциальных системах от­счёта одинакова!

Кроме того, полученное выражение показывает, как связаны между собой полная энергия тела Е и его импульс p

.

 

5.11. ИНВАРИАНТЫТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

 

Привычные представления об окружающем мире основаны на механике Ньютона. Эйнштейн показал, что классический подход верен при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме. Более адекватны представле­ния, основанные на постулатах Эйнштейна, т.е. на специальной теории относительности.

Как отмечено в разд. 5.5, многие инвариантные по классическим пред­ставлениям характеристики зависят от того, в какой инерциальной системе от­счёта они измеряются. Создаётся впечатление, что мир становится неопреде­лённым - одно и то же тело для разных наблюдателей имеет разную длину, массу, одни и те же часы для разных наблюдателей идут по-разному.

Но тем не менее мир остаётся вполне определённым. В нём всё-таки су­ществуют инвариантные характеристики. Может быть, они не так привычны, но они есть. Это скорость света вакууме, собственная длина, масса покоя, соб­ственное время, интервал между событиями.

 

· так называют величины, имеющие одинаковое значение во всех инерциальных системах отсчёта

· Это соответствует двум случаям: когда сила перпендикулярна и когда сила парал­лельна скорости частицы

·· здесь учтено, что m_о и с - константы