Достаточное условие убывания функции.

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция f(x) убывает на этом интервале.

Определение:

x₀ называется критической точкой функции f(x), если

1) x₀ – внутренняя точка области определения f(x);

2) f'(x₀)=0 или f'(x₀) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x₀– точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x₀ производная функции меняет знак, то x₀ – точка экстремума функции f(x).

Примеры экстремумов:

Схема исследования функции.

1. Найти область определения функции.
2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.
4. Найти производную функции и ее критические точки.
5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b].

1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b);
2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b);
3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

 

 

исследуем функцию: f(x)= 3x⁵-5х³+2 и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме:

D (f') =R, так как f (x) - многочлен.

Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как

f (-x)= 3(-x)⁵-5(-x)³+2 = -3x ⁵+5х³+2= -(3x⁵-5х³-2) f(x)

Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат:

а) с осью 0Х, для этого решим уравнение: 3x⁵-5х³+2 = 0.

Методом подбора можно найти один из корней (x = 1). Другие корни могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства находить не будем.

б) с осью 0У: f(0)=2

Точка А (0; 2) - точка пересечения графика функции с осью 0У.

Отметили, что промежутки знакопостоянства не будем находить.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции

а) f '(x)= 15x⁴ -15х² = 15х² (х²-1)

D (f ') =R, поэтому критических точек которых f '(x)не существует, нет.

б) f '(x) = 0, если х²(х²-1)=0 <=> x = -1 V x = 0 V x = 1.

в) Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках:

Рис.3 (знаки f ')

Из рисунка 3 (приложение 9) видно, что: f возрастает на интервалах (- ; -1) и (1; + );

f убывает на (-1; 0) и (0; 1).

Так как функция непрерывна в точках -1; 0; 1, то f возрастает на (- ; -1] и [1; + );

f убывает на [-1; 0] и [0; 1].

6. Найдем точки экстремума функции и вычислим значения функции в этих точках. Рассматривая рисунок 3 знаков f?видим, что:

x =-1 - точка max, f (-1) =4;

x = 1 - точка min, f (1) =0.

Полученные результаты занесем в таблицу (приложение 10) и построим график (приложение 11).

IV. Закрепление новой темы. Решение задач.

Учитель: - Исследуйте функцию и постройте ее график: f (x)= x⁴-2х²-3.

Ученик: - 1) D (f) =R.

2) f(-x)= (-x)⁴-2(-x)²-3 = x ⁴-2х²-3; f(-x)= f(x),

значит, функция f является четной. Исследование ее можно проводить на промежутке [0; ).

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, то есть решим уравнение x ⁴-2х²-3 = 0. Пусть х² =у, у²-2у-3= 0, у=3 или у=-1, то есть х²=3, х= 3 или х=- 3; х²=-1 не имеет решений. Получили две точки пересечения с осью абсцисс М( 3; 0), К(- 3; 0). График пересекает ось ординат в точке В (0; -3).

4) Найдем производную f '(x) = 4x ³-4х = 4х(х-1)(х+1).

5) Найдем критические точки функции:

а) f ''(x) =0, если 4х (х-1) (х+1)=0, <=> x = 0 V x = -1 V x = 1.

б) f ' определена на всей D(f).

6) Определим знак производной на промежутках (- ; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; ):

а) f '(2) = -32+8 < 0;

б) f '(-1/2) = 4 * (-1/2)³ -4 * (-1/2)= -1/2 + 2 > 0;

в) f '(1/2) = 4 * (1/2)³ -4 * (1/2)= 1/2 - 2 < 0;

г) f '(2) = 4 * 8 - 4 * 2 > 0.

Найдем значения функции в точках -1; 0; 1:

f (-1)=-4, f(0)=-3, f(1)=-4.

Полученные данные занесем в таблицу (приложение 12):

x	(- ; -1)	-1	(-1; 0)		(0; 1)		(1; )
f ''(x)	-		+		-		+
f (x)	убывает	-4	возрастает	-3	убывает	-4	возрастает
		min		max		min

Построим график (приложение 13).

Учитель: - Найти число корней уравнения: 2x ³-3x ²-12х-11=0

Решение: Рассмотрим функцию f(x)= 2x ³-3x ²-12х-11=0.

Найдем область определения функции: D (f) = (- ; )

Найдем ее производную: f '(x) = 6x ²-6х-12

Найдем критические точки функции:

f '(x) =0, если 6x ²-6х-12=0, <=> x = -1 V x = 2.

Заполним таблицу (приложение 14):

x	(- ; -1)	-1	(-1; 2)		(2; )
f ''(x)	+		-		+
f (x)	возрастает	-4	убывает	-31	возрастает
		max		min

5) а) На промежутке (- ; -1] функция возрастает от - до -4, поэтому на этом промежутке уравнение f (x)=0 корней не имеет.

б) На промежутке [-1; 2] уравнение так же не имеет корней, так как на этом промежутке функция убывает от -4 до -31.

в) На промежутке [2; ) функция возрастает от -31 до бесконечности, на этом промежутке уравнение f (x)=0 имеет один корень (по теореме о корне, то есть если функция возрастает (убывает) на промежутке I, число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке, то уравнение f (x) = а имеет единственный корень в промежутке I). Итак, уравнение 2x ³-3x ²-12х-11=0 имеет один корень и этот корень принадлежит интервалу (2; ).

Учитель: - Сколько корней имеет уравнение: x ⁴/4 -x ³- x ²/2 +3х = 0

Ученик: - Решение: Рассмотрим функцию р(x) = x ⁴/4 -x ³- x ²/2 +3х:

1) Найдем область определения функции D(р) = (- ; ).

2) Найдем производную р' (x) = x ³- 3x ² -x+3

3) Найдем критические точки и промежутки возрастания и убывания функции:

р' (x) = 0 <=> x ³- 3x ² -х+3=0 <=> x ²(х-3) -(х-3)=0 <=> (х-3)(x ²-1) = 0 <=> х=3, х₁=1, х₂=-1.

Рис. 4 (знаки р ')

Из рисунка 4 (приложение 15) видно, что: р(x) возрастает на интервалах [-1; 1] и [3; + );

р(x) убывает на (- ; -1] и [1; 3].

4) Найдем точки экстремума и экстремумы функции:

х=-1 min р _min= 1/4+1-1/2 -3=-9/4 < 0,

x= 1 max р _max= 1/4 -1-1/2+3 =1 3/4 > 0,

х=3 min р _min= 81/4-27-9/2+9= -27/2 < 0.

Строим эскиз графика (приложение 16).

Из рисунка видно, что многочлен имеет 4 корня, следовательно, уравнение имеет 4 решения.