Необходимо определить в простой кейнсианской модели формирования доходов параметры уравнения функции потребления. Исходная система уравнений имеет вид:
(20)
(21)
где t – индекс, указывающий на то, что уравнения (4), (5) являются системой одновременных уравнений для моментов времени t1 – tn;
ut – случайная составляющая.
Ct, Yt – эндогенные переменные функции потребления и дохода, соответственно.
It – экзогенно заданная функция, отражающая инвестиционный спрос.
Из уравнения (20) методом наименьших квадратов (МНК) найти параметры a и b невозможно, так как оценки будут смещенными. Необходимо использовать косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).
Для этого эндогенные переменные выразим через экзогенные. Подставим выражение (20) в (21):
Yt = a+b*Yt + ut +It, (22)
отсюда получаем:
(23)
Подставим выражение (23) в уравнение (20) и получим:
(24)
Данное уравнение не содержит в правой части эндогенных переменных, а имеет только экзогенную переменную в виде It (инвестиций). Экзогенная переменная не коррелирует со случайной составляющей ut и, следовательно, параметры этого уравнения могут быть найдены с помощью МНК.
Представим это уравнение (24) в следующем виде:
Ct= a*+b*It + ut*, (25)
где
(26)
Используя имеющиеся в приложении данные о величинах Ct и It, найдем с помощью МНК несмещенные оценки a* и b*. Для этих целей применим, имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активизация этого метода производится командами: “Сервис” – “Анализ данных” – “Регрессия”. Получаем следующие таблицы:
Таблица 4
ВЫВОД ИТОГОВ | |
Регрессионная статистика | |
Множественный R | 0,904309538 |
R-квадрат | 0,817775741 |
Нормированный R-квадрат | 0,802590386 |
Стандартная ошибка | 12843,86683 |
Наблюдения |
Таблица 5
Дисперсионный анализ | |||||
df | SS | MS | F | Значимость F | |
Регрессия | 53,85292246 | 8,99375E-06 | |||
Остаток | 164964915,1 | ||||
Итого |
Таблица 6
Коэф-ты | Стандарт. ошибка | t-статис. | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | Нижние 95,0% | Верхние 95,0% | |
Y-пересеч. | 283462,5 | 6157,552 | 46,0349 | 7,20586E-15 | 270046,3 | |||
I | 0,714425 | 0,09735 | 7,33845 | 8,99375E-06 | 0,5023 | 0,926 | 0,50230 | 0,9265 |
Таблица 7
ВЫВОД ОСТАТКА | ||
Наблюдение | Предсказанное C | Остатки |
362049,3238 | -3561,323765 | |
355683,7939 | 25128,20612 | |
349318,264 | -16251,264 | |
342952,7341 | 10745,26588 | |
336587,2042 | -3507,204235 | |
330221,6744 | -6926,674353 | |
323856,1445 | -15263,14447 | |
317490,6146 | 6432,385412 | |
311125,0847 | 7861,915294 | |
304759,5548 | -14521,55482 | |
298394,0249 | -6525,024941 | |
292028,4951 | -4928,495059 | |
285662,9652 | 15880,03482 | |
283541,1219 | 5436,878118 |
a*= 992630,98
b*=2,5
После определения значений a* и b* необходимо определить несмещенные оценки величин a и b, используя соотношения:
(27)
Сами значения величин a, b необходимо определить по формулам:
(28)
a= | 283462,5 |
b= | 0,714425 |
Используя найденные значения a и b, записываем уравнение функции потребления (20).
Ct=283462,5+0,71*Yt+ut
Сравниваем найденные по формуле (28) значения a и b с величиной aтабл. и bтабл., заданными в таблице 1. Рассчитываем проценты несовпадения данных величин по формулам:
(29)
Таблица 8
Ña``% | Ñb``% |
72% | 70% |
Определяем по формуле (21) значения величин Yt (для t в пределах от t1 до t14), взяв значения Ct и It из таблицы 4.
Таблица 9
t | C | I | Y |
Приняв в качестве исходных данных имеющиеся значения Ct и Yt, определяем с помощью метода наименьших квадратов смещенные оценки aсм и bсм величин a и b, используя уравнение (20). Сравниваем найденные значения aсм и bсм с величинами a и b, заданными в таблице 1.
Получаем следующие таблицы:
Таблица 10
ВЫВОД ИТОГОВ | |
Регрессионная статистика | |
Множественный R | 0,969697271 |
R-квадрат | 0,940312797 |
Нормированный R-квадрат | 0,935338863 |
Стандартная ошибка | 7350,778072 |
Наблюдения |
Таблица 11
Дисперсионный анализ | |||||
df | SS | MS | F | Значимость F | |
Регрессия | 189,048121 | 1,04716E-08 | |||
Остаток | 648407259,2 | 54033938,26 | |||
Итого |
Таблица 12
Коэф-ты | Стандар. ошибка | t-статис. | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | Нижние 95,0% | Верхние 95,0% | |
Y-пересеч. | 157224,16 | 12070,6 | 13,0253 | 1,92988E-08 | 183523,9 | 130924,4 | ||
Y | 0,4384432 | 0,03188 | 13,7494 | 1,04716E-08 | 0,36896 | 0,507921 | 0,368965 | 0,5079 |
Таблица 13
ВЫВОД ОСТАТКА | ||
Наблюдение | Предсказанное C | Остатки |
362629,5842 | -4141,584174 | |
368510,8626 | 12301,13742 | |
343670,8575 | -10603,85751 | |
348809,8514 | 4888,148587 | |
335863,4977 | -2783,497702 | |
327666,8002 | -4371,80024 | |
317314,2771 | -8721,277082 | |
320129,0831 | 3793,916943 | |
314058,3971 | 4928,602851 | |
297547,061 | -7309,060979 | |
294355,6322 | -2486,632211 | |
288358,1663 | -1258,166334 | |
290784,0731 | 10758,9269 | |
283972,8565 | 5005,143535 |
Рассчитываем проценты несовпадения данных величин по формулам:
(30)
Vасм% | -34% |
Vbсм% | -27% |