Задачи для подготовки к экзамену

1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

№ 1. Вычислить пределы:

1)

2)

3)

№ 2. Найти производную функции:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

№ 3. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

№ 4. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

2. Интегральное исчисление функций одной переменной

№ 1. Найти неопределенные интегралы.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

№ 2. Вычислить определенные интегралы:

1) 2) .

№ 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , . Сделать чертеж.

3. Дифференциальные уравнения

№ 1. Решить дифференциальные уравнения:

1)

2)

№ 2. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения.

1)

2)

№ 3. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1)

2)

№ 4. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающего понижение порядка.

1)

2)

5. Элементы теории вероятностей

№ 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков.

№ 2. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

№ 3. Брошены одновременно две монеты. Какова вероятность появления герба («орла») на одной из них?

№ 4. Из карточек составлено слово ПОБЕДА. Буквы перемешаны. Найти вероятность того, что две наугад выбранные буквы ― гласные.

№ 5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.

№ 6. В ящике находятся 20 деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу извлекают 4 детали. Найти вероятность того, что две из них окрашены.

№ 7. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,9; второго – 0,6. Найти вероятность того, что оба стрелка попали в цель.

№ 8. В первом ящике 23 детали, из них 4 бракованные, а во втором ящике 1 9деталей, из которых 6 бракованные. Из каждого ящика взяли по одной детали. Найти вероятность того, что:

1) обе детали бракованные;

2) только одна бракованная.

№ 9. Производится четыре независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны . Найти вероятность того, что при этом будет ровно три попадания.

№ 10. Вероятность рождения бычка при отеле коровы 0,5. Найти вероятность того, что от 6коров будет ровно 2 бычка.

№ 11. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено ровно три изделия.

№ 12. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна . Найти вероятность того, что событие А появится не менее 75 раз и не более 90 раз.

№ 13. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 изделий. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей.

№ 14. Дан ряд распределения дискретной случайной величины.

Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины.

№ 15. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения

Найти: а) дифференциальную функцию распределения ;

б) математическое ожидание случайной величины X;

в) вероятность попадания случайной величины X в интервал .

Построить графики функций и .

№ 16. Предполагается, что количество баллов, набранное сотрудником фирмы при профессиональном тестировании ― случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием баллов и средним квадратическим отклонением баллов.

Определите вероятность того, что

а) случайно выбранный сотрудник получит результат не менее 600 и не более 950 баллов;

б) количество баллов случайно выбранного сотрудника отклонится от математического ожидания меньше чем на 30 баллов.

Найдите границы, в которых отклонение количества баллов от своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения.

6. Элементы математической статистики

№1. По данному статистическому распределению выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке — соответствующие частоты количественного признака X.

Найдите выборочную среднюю.

№ 2. Данные об оценках группы студентов по дисциплине «Математика» выбрали случайным образом из ведомости и получили следующий ряд оценок: 5, 4, 3, 4, 5, 3, 4, 3, 2, 4, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 2, 4, 4, 5, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 5, 4. Данные сгруппировали и получили следующий вариационный ряд:

Постройте полигон распределения частостей. Определите моду и медиану данного распределения.