Функциональные последовательности и ряды (ФП, ФР).




Неопределенный интеграл.

  1. Первообразная функции. Свойства.
  2. Неопределенный интеграл и его основные свойства (доказательство).
  3. Таблица основных неопределенных интегралов (доказательство).
  4. Основные методы интегрирования: метод разложения, интегрирование заменой переменных, интегрирование по частям (доказательство).
  5. Алгебраические многочлены и их корни.
  6. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.
  7. Интегрирование простейших рациональных дробей.
  8. Рациональные функции двух переменных, свойства.
  9. Интегрирование в элементарных функциях тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.
  10. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей
  11. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
  12. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера.

Определенный интеграл.

  1. Интегральные суммы. Интегрируемость.
  2. Необходимое условие интегрируемости функции (доказательство).
  3. Верхние и нижние суммы Дарбу. Свойства (доказательство).
  4. Нижний и верхний интегралы Дарбу.
  5. Критерий интегрируемости ограниченной функции (доказательство).
  6. Множества меры нуль. Критерий Лебега интегрируемости функции.
  7. Классы интегрируемых функций: интегрируемость непрерывных функций, интегрируемость монотонных ограниченных функций (1 доказательство).
  8. Основные свойства определенного интеграла (21 свойство) (доказательство).
  9. Интеграл с переменным верхним пределом. Свойства.
  10. Формула Ньютона-Лейбница (доказательство).
  11. Основные методы интегрирования: метод разложения, замена переменной в интеграле Римана, интегрирование по частям.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

  1. Плоская кривая. Понятие спрямляемой кривой. Длина кривой. Свойства.

Пример неспрямляемой кривой.

  1. Формула вычисления длины кривой.
  2. Пространственная кривая. Длина пространственной кривой.
  3. Плоская фигура. Понятие квадрируемой плоской фигуры. Критерий.
  4. Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора.
  5. Понятия кубируемости и объема. Объем тела, полученного вращением вокруг осей ОХ, ОY. Объем тела по площади поперечного сечения.
  6. Площадь поверхности вращения вокруг оси ОХ.
  7. Физические приложения определенного интеграла.

Несобственные интегралы.

  1. Несобственный интеграл первого рода (НИ-1). Определения, примеры.
  2. Критерий Коши сходимости НИ-1 (доказательство).
  3. Замена переменных в НИ-1. Интегрирование по частям.
  4. Понятия абсолютной и условной сходимостей НИ-1.
  5. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося НИ-1 (доказательство).
  6. Признак Вейерштрасса сходимости НИ-1 (доказательство).
  7. Признаки Дирихле и Абеля сходимости НИ-1 (доказательство).
  8. Несобственный интеграл второго рода (НИ-2). Определения, примеры.
  9. Критерий Коши сходимости НИ-2 (доказательство).
  10. Признак Вейерштрасса сходимости НИ-2 (доказательство).

Числовые ряды.

  1. Понятие числового ряда (ЧР). Частичная сумма ряда. Понятие сходящегося ЧР. Остаток ряда.
  2. Необходимый признак сходимости ЧР (доказательство).
  3. Теорема о сходимости ряда, полученного отбрасывание конечного числа членов сходящегося ряда (доказательство).
  4. Критерий Коши сходимости ЧР (доказательство).
  5. Основные свойства сходящихся рядов.
  6. Теорема Коши о рядах с монотонными элементами.
  7. Сходимость обобщенного гармонического ряда.
  8. Признаки сравнения для рядов с положительными членами (3 признака сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера, интегральный признак Коши) (доказательство).
  9. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры. Остаток ряда сходящегося знакочередующегося ряда (доказательство).
  10. Лемма о постоянной Эйлера.
  11. Вычисление суммы ряда Лейбница.
  12. Знакопеременные ряды. Понятия абсолютной и условной сходимостей ЧР.
  13. Достаточный признак сходимости знакопеременного ЧР (доказательство).
  14. Теоремы о зависимости суммы ряда от порядка суммирования.
  15. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ЧР с положительными членами (доказательство).

Функциональные последовательности и ряды (ФП, ФР).

  1. Определения ФП и ФР. Поточечная сходимость ФП и ФР. Область сходимости.
  2. Равномерная сходимость ФП. Примеры.
  3. Критерий Коши равномерной сходимости ФП.
  4. Теорема о непрерывности предельной функции (доказательство).
  5. Теорема об интегрируемости предельной функции (доказательство).
  6. Теорема о дифференцируемости предельной функции (доказательство).
  7. Равномерная сходимость ФР. Примеры.
  8. Критерий Коши равномерной сходимости ФР (доказательство).
  9. Достаточные признаки равномерной сходимости ФР (признак Вейерштрасса, признаки Дирихле и Абеля) (доказательство).
  10. Свойства равномерно сходящихся ФР: почленный переход к пределу, непрерывность суммы ряда (доказательство).
  11. Почленное интегрирование ФР.
  12. Почленное дифференцирование ФР.

Степенные ряды.

  1. Понятие степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда.
  2. Теорема Абеля (доказательство).
  3. Формула вычисления радиуса сходимости степенного ряда.
  4. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда на отрезке (доказательство).
  5. Основные свойства степенного ряда (непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование).
  6. Суммирование степенных рядов (доказательство).
  7. Разложение функций в степенные ряды.
  8. Ряд Тейлора функции. Критерий сходимости ряда Тейлора функции f к функции f (доказательство).
  9. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.


Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-03 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: