Вычислить определенный интеграл
| (1) |
где g (x) – функция, полученная методом наименьших квадратов по заданной совокупности экспериментальных данных.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 1
1) По заданным экспериментальным данным методом наименьших квадратов вычислить коэффициенты C и D аппроксимирующей зависимости g (x)= CeDx.
2) Построить диаграмму: график функции g (x) (гладкая кривая) + точки экспериментальных данных.
3) Построить график функции F (g (x), x) на интервале [ a, b ] c шагом h= (b - a)/ 20 (гладкая кривая).
4) Вычислить интеграл (1) методом средних прямоугольников для 20 разбиений и методом трапеций для 10 и 20 разбиений. По значениям, полученным методом трапеций, получить уточнение интеграла по методу Ричардсона и считать его решением всей задачи.
5) Считая значение, полученное методом Ричардсона, точным, определить погрешности значений, полученных методами средних прямоугольников и трапеций.
6) Проанализировать полученные погрешности и сделать аргументированный вывод о правильности вычисления интеграла.
Набор исходных экспериментальных данных выбирается из таблицы 1.1, аналитический вид функции F (g (x), x) и пределы интегрирования выбираются из таблицы 1.2 по номеру подгруппы и номеру студента в журнале подгруппы.
2.2 ЗАДАЧА 2
Методом простых итераций определить корень уравнения
 ,
| (2) |
где 
- решение задачи Коши
 ,  .
| (3) |
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 2
1) Решить на интервале [ xn, xk ] с разбиением его на 20 частей обыкновенное дифференциальное уравнение (3) первого порядка y′ = f (x, y) при начальных условиях y (x0)= y0 методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4-го порядка.
2) Построить диаграмму с графиками найденных решений (тип графика для метода Эйлера – отдельные точки, для метода Рунге-Кутта – гладкая кривая).
3) С помощью интерполяционного полинома Ньютона аппроксимировать функцию y (x) полиномом третьей степени P3 (x) в окрестности точки пересечения y (x0) с осью абсцисс, для чего:
- из таблицы значений y (x0), найденной по методу Рунге-Кутта 4-го порядка, выбрать четыре последовательные точки, ближайшие к оси абсцисс и расположенные по обе стороны от нее;
- по выбранным четырем узловым точкам построить интерполяционный полином Ньютона P3 (x);
- подстановкой в полином P3 (x) значений абсцисс узловых точек проверить правильность найденных его коэффициентов на выполнение условий Лагранжа.
4) Методом простых итераций c точностью 
найти корень уравнения P3 (x)= 0. Для использования метода простых итераций преобразовать уравнение P3 (x)= 0 к виду x=P3 (x)+ x и найти значение коэффициента С, обеспечивающее сходимость метода.
Найденный корень уравнения P3 (x)= 0 рассматривать как приближенное решение уравнения (2) и в целом задачи 2.
Дифференциальное уравнение, начальные условия и промежуток интегрирования уравнения выбираются из таблицы 2 по номеру подгруппы и номеру студента в журнале подгруппы.
3 СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ
В отчет по курсовой работе необходимо включить следующие разделы:
Задача 1
1.1 Постановка задачи и последовательность ее решения.
1.2 Формулы расчета коэффициентов аппроксимирующей кривой по методу наименьших квадратов, EXCEL –таблица и ее описание.
1.3 Аналитический вид полученной функции g (x) и совместный график «функция g (x) + экспериментальные точки».
1.4 Полная аналитическая запись и график функции F (g (x), x).
1.5 Формулы вычисления определенного интеграла методами средних прямоугольников и трапеций, уточнения по Ричардсону, EXCEL –таблица и ее описание.
1.6 Погрешности вычисленных значений и их анализ.
1.7 Вычисленное значение интеграла.
Задача 2
2.1 Постановка задачи и последовательность ее решения.
2.2 Формулы численного решения задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта, EXCEL -таблица и ее описание.
2.3 Графики полученных решений задачи Коши для обоих методов на одной диаграмме.
2.4 Исходные данные и формулы вычисления коэффициентов интерполяционного полинома Ньютона, EXCEL -таблица и ее описание.
2.5 Найденные коэффициенты полинома P 3(x), проверка выполнения условий Лагранжа и полная запись P 3(x).
2.6 Приведение уравнения P 3(x)=0 к виду, необходимому для использования метода простых итераций с условием его сходимости.
2.7 Формула вычислительного процесса метода простых итераций, критерий окончания процесса, EXCEL -таблица и ее описание.
2.8 Найденный корень уравнения.
Перечень использованной литературы.
4 ВАРИАНТЫЗАДАНИЙ
Таблица 1.1
Экспериментальные данные по зависимости g (x)
Подгруппа 1
| X | З н а ч е н и я ф у н к ц и и g (x) | ||||||||
| Вар.1 | Вар.2 | Вар.3 | Вар.4 | Вар.5 | Вар.6 | Вар.7 | Вар.8 | Вар.9 | |
| 2,00 | 6,842 | 15,330 | 1,408 | 21,315 | 1,878 | 3,319 | 1,544 | 11,009 | 3,274 |
| 2,00 | 6,466 | 15,535 | 0,748 | 21,011 | 2,261 | 3,863 | 1,171 | 4,966 | 3,702 |
| 2,00 | 6,816 | 15,592 | 1,153 | 21,491 | 2,452 | 3,956 | 0,911 | 4,610 | 4,220 |
| 2,40 | 5,306 | 23,170 | 1,398 | 28,200 | 3,627 | 2,561 | 1,544 | 9,066 | 3,990 |
| 2,80 | 5,557 | 33,668 | 1,766 | 39,554 | 5,384 | 1,436 | 0,588 | 10,458 | 5,896 |
| 2,80 | 5,751 | 33,339 | 1,826 | 39,394 | 4,638 | 1,375 | 0,540 | 11,484 | 6,687 |
| 3,20 | 4,319 | 49,548 | 0,897 | 55,153 | 7,546 | 1,220 | 1,021 | 17,704 | 7,805 |
| 3,20 | 3,974 | 49,548 | 1,557 | 55,903 | 7,777 | 1,805 | 0,580 | 18,118 | 6,941 |
| 3,60 | 4,349 | 73,616 | 2,368 | 79,917 | 11,337 | 0,974 | 0,789 | 25,842 | 10,859 |
| 4,00 | 3,793 | 110,245 | 1,709 | 116,098 | 15,584 | 1,663 | 0,740 | 39,463 | 14,285 |
| 4,40 | 3,573 | 163,384 | 1,653 | 168,979 | 22,483 | 0,661 | 1,071 | 55,872 | 17,603 |
| 4,40 | 3,039 | 164,015 | 2,560 | 169,288 | 22,550 | 0,798 | 1,100 | 57,341 | 17,465 |
| 4,40 | 3,640 | 163,393 | 2,645 | 168,913 | 21,936 | 0,466 | 0,727 | 58,558 | 17,755 |
| 4,80 | 4,317 | 244,048 | 2,929 | 249,964 | 31,013 | 0,958 | 0,677 | 86,558 | 25,328 |
| 4,80 | 4,059 | 243,730 | 2,191 | 249,343 | 31,013 | 0,767 | 0,348 | 85,732 | 25,703 |
| 5,20 | 2,696 | 363,135 | 2,461 | 368,943 | 43,775 | 1,257 | 0,579 | 125,656 | 34,399 |
| 5,20 | 2,239 | 363,001 | 2,571 | 368,567 | 43,046 | 1,225 | 0,478 | 127,545 | 33,827 |
| 5,20 | 2,357 | 363,629 | 2,397 | 369,236 | 43,038 | 0,357 | 0,746 | 127,110 | 35,363 |
| 5,60 | 3,584 | 541,317 | 2,682 | 547,496 | 60,534 | 0,202 | 0,592 | 188,287 | 49,029 |
| 6,00 | 2,008 | 807,743 | 2,754 | 813,163 | 83,958 | 0,907 | 0,725 | 282,008 | 68,467 |
Подгруппа 1
| X | З н а ч е н и я ф у н к ц и и g (x) | ||||||||
| Вар.10 | Вар.11 | Вар.12 | Вар.13 | Вар.14 | Вар.15 | Вар.16 | Вар.17 | ||
| -6,00 | 17,092 | 43,273 | 24,173 | 13,494 | 4,244 | 0,888 | 200,677 | 37,842 | |
| -5,40 | 12,289 | 32,262 | 16,501 | 10,691 | 4,268 | 0,459 | 148,878 | 26,494 | |
| -5,40 | 13,638 | 32,594 | 16,630 | 11,143 | 4,259 | 0,880 | 148,641 | 26,931 | |
| -5,30 | 12,574 | 31,211 | 18,471 | 10,618 | 4,318 | 1,287 | 141,324 | 25,526 | |
| -5,20 | 12,288 | 29,390 | 17,800 | 10,171 | 4,253 | 1,094 | 134,487 | 24,203 | |
| -4,90 | 9,291 | 26,738 | 13,231 | 9,188 | 4,344 | 1,325 | 115,706 | 19,846 | |
| -4,90 | 10,210 | 24,883 | 13,711 | 9,522 | 4,267 | 1,110 | 115,775 | 20,568 | |
| -4,60 | 8,644 | 22,764 | 12,889 | 8,583 | 4,314 | 1,038 | 99,563 | 16,862 | |
| -4,50 | 6,870 | 23,113 | 12,846 | 8,140 | 4,294 | 1,432 | 94,907 | 15,996 | |
| -4,50 | 6,696 | 20,728 | 13,570 | 8,192 | 4,278 | 1,400 | 94,769 | 16,481 | |
| -4,00 | 5,971 | 18,630 | 9,605 | 7,157 | 4,378 | 2,005 | 73,619 | 11,979 | |
| -3,50 | 3,838 | 13,122 | 8,593 | 6,597 | 4,407 | 2,719 | 57,396 | 8,932 | |
| -3,30 | 3,549 | 14,262 | 8,402 | 6,294 | 4,402 | 2,615 | 51,951 | 8,829 | |
| -3,30 | 2,780 | 13,008 | 8,993 | 5,933 | 4,405 | 3,022 | 51,787 | 8,010 | |
| -2,60 | 0,788 | 9,312 | 6,819 | 5,287 | 4,579 | 4,435 | 36,644 | 6,156 | |
| -2,60 | 2,368 | 10,907 | 8,061 | 5,319 | 4,546 | 4,710 | 36,680 | 5,724 | |
| -2,40 | 0,949 | 10,998 | 5,611 | 5,292 | 4,586 | 4,883 | 33,393 | 5,460 | |
| -2,00 | 0,599 | 7,837 | 6,680 | 5,057 | 4,691 | 6,659 | 27,313 | 4,528 | |
| -2,00 | 0,611 | 7,895 | 6,751 | 5,011 | 4,781 | 6,712 | 27,253 | 4,863 | |
| -2,00 | 0,584 | 7,652 | 6,523 | 5,214 | 4,569 | 6,458 | 26,536 | 4,211 |
Продолжение аблицы 1.1
Подгруппа 2
| X | З н а ч е н и я ф у н к ц и и g (x) | ||||||||
| Вар.1 | Вар.2 | Вар.3 | Вар.4 | Вар.5 | Вар.6 | Вар.7 | Вар.8 | Вар.9 | |
| 2,00 | 1,377 | 1,173 | 10,498 | 4,306 | 5,806 | 2,119 | 0,930 | 14,382 | 7,156 |
| 2,00 | 1,314 | 1,269 | 1,701 | 4,383 | 6,077 | 2,168 | 0,969 | 11,205 | 7,195 |
| 2,00 | 1,486 | 1,080 | 3,066 | 2,984 | 5,797 | 2,033 | 1,001 | 14,495 | 7,879 |
| 2,30 | 1,101 | 0,952 | 16,665 | 4,070 | 6,740 | 1,923 | 0,862 | 7,222 | 7,642 |
| 2,70 | 0,567 | 0,722 | 21,145 | 3,170 | 6,828 | 1,810 | 0,520 | 18,392 | 8,878 |
| 2,70 | 0,784 | 0,643 | 8,949 | 3,335 | 7,060 | 1,749 | 0,635 | 25,037 | 8,849 |
| 3,20 | 0,520 | 0,270 | 38,887 | 4,409 | 7,107 | 1,426 | 0,389 | 34,943 | 9,130 |
| 3,20 | 0,406 | 0,460 | 40,434 | 5,008 | 7,852 | 1,511 | 0,463 | 44,313 | 9,817 |
| 3,60 | 0,340 | 0,146 | 53,240 | 4,984 | 8,256 | 1,551 | 0,303 | 42,676 | 9,800 |
| 3,80 | 0,165 | 0,096 | 50,310 | 4,134 | 9,010 | 1,412 | 0,219 | 68,621 | 11,023 |
| 4,00 | 0,320 | 0,085 | 72,313 | 4,545 | 8,537 | 0,969 | 0,231 | 76,762 | 10,732 |
| 4,00 | 0,158 | 0,195 | 59,621 | 5,601 | 8,548 | 1,200 | 0,339 | 78,802 | 11,382 |
| 4,00 | 0,324 | 0,223 | 50,076 | 4,759 | 9,267 | 1,338 | 0,184 | 69,960 | 11,525 |
| 4,10 | 0,238 | 0,228 | 75,654 | 6,197 | 8,675 | 1,049 | 0,224 | 75,959 | 11,820 |
| 4,10 | 0,299 | 0,257 | 64,703 | 6,177 | 8,834 | 1,244 | 0,173 | 80,592 | 11,762 |
| 4,60 | 0,134 | 0,054 | 109,233 | 5,533 | 9,837 | 0,860 | 0,243 | 127,799 | 12,954 |
| 4,60 | 0,176 | 0,152 | 101,045 | 6,528 | 9,553 | 0,968 | 0,117 | 135,033 | 12,695 |
| 4,60 | 0,127 | 0,138 | 88,895 | 4,827 | 10,470 | 1,010 | 0,184 | 117,709 | 12,905 |
| 4,80 | 0,056 | 0,103 | 100,339 | 6,672 | 10,679 | 0,805 | 0,105 | 157,594 | 12,909 |
| 5,00 | 0,016 | 0,204 | 141,672 | 7,180 | 10,802 | 0,661 | 0,029 | 183,355 | 13,141 |
Подгруппа 2
| X | З н а ч е н и я ф у н к ц и и g (x) | ||||||||
| Вар.10 | Вар.11 | Вар.12 | Вар.13 | Вар.14 | Вар.15 | Вар.16 | Вар.17 | ||
| -2,00 | 4,274 | 2,647 | 6,397 | 3,670 | 3,122 | 1,102 | 1,231 | 1,791 | |
| -2,00 | 3,894 | 3,172 | 5,911 | 3,436 | 2,741 | 1,589 | 0,855 | 1,946 | |
| -1,50 | 3,068 | 3,579 | 5,524 | 3,402 | 2,619 | 1,502 | 1,727 | 2,115 | |
| -1,00 | 4,897 | 4,208 | 4,762 | 3,094 | 2,545 | 1,819 | 1,447 | 2,400 | |
| -1,00 | 4,848 | 3,643 | 5,318 | 3,421 | 2,433 | 1,726 | 1,601 | 2,360 | |
| -0,50 | 4,098 | 4,356 | 4,388 | 3,125 | 1,980 | 1,751 | 1,582 | 2,557 | |
| -0,50 | 4,853 | 3,031 | 4,716 | 3,101 | 1,986 | 1,830 | 2,164 | 2,452 | |
| 0,00 | 4,909 | 4,509 | 3,972 | 3,038 | 2,023 | 1,907 | 2,062 | 3,302 | |
| 0,00 | 5,414 | 3,794 | 3,966 | 3,168 | 2,122 | 1,793 | 2,245 | 3,429 | |
| 0,80 | 5,859 | 4,590 | 3,706 | 2,790 | 1,599 | 2,589 | 2,893 | 3,441 | |
| 0,80 | 5,571 | 4,160 | 3,029 | 2,908 | 1,561 | 2,428 | 2,625 | 3,646 | |
| 0,80 | 5,306 | 4,744 | 3,333 | 3,019 | 1,608 | 2,557 | 2,856 | 4,257 | |
| 1,20 | 6,822 | 4,691 | 3,465 | 2,801 | 1,783 | 2,311 | 3,079 | 4,290 | |
| 1,60 | 6,871 | 4,777 | 3,286 | 2,333 | 1,254 | 2,885 | 3,363 | 4,821 | |
| 1,60 | 5,891 | 6,037 | 2,516 | 2,417 | 1,299 | 2,915 | 3,544 | 4,726 | |
| 2,10 | 7,134 | 5,682 | 2,360 | 2,500 | 1,265 | 2,837 | 3,867 | 5,308 | |
| 2,70 | 8,305 | 7,148 | 2,078 | 2,456 | 1,228 | 3,221 | 4,994 | 6,678 | |
| 2,70 | 8,406 | 6,270 | 2,121 | 2,064 | 1,281 | 3,549 | 4,591 | 6,956 | |
| 2,70 | 9,421 | 6,901 | 2,406 | 2,051 | 1,327 | 3,380 | 4,615 | 6,321 | |
| 3,00 | 8,712 | 6,779 | 2,633 | 1,997 | 1,053 | 3,571 | 5,415 | 7,453 |
Таблица 1.2
Аналитический вид функции F (g (x), x) и пределы интегрирования
| Подгруппа 1 | Подгруппа 2 | |||||||
| № вар | F (g (x), x) | Пределы интегрирования | № вар | F (g (x), x) | Пределы интегрирования | |||
| a | b | a | b | |||||
| 1,0 | 7,0 | 
| 1,0 | 6,0 | |||
| -1,0 | 5,0 | 
| 0,5 | 6,5 | |||
| -6,0 | 0,5 | 
| 1,0 | 8,0 | |||
| -4,0 | 3,0 | 
| 8,0 | ||||
| 0,5 | 6,5 | 
| 1,0 | 7,0 | |||
| 2,0 | 7,0 | 
| 0,5 | 5,5 | |||
| 1,0 | 7,0 | 
| 8,0 | ||||
| -2,0 | 2,0 | 
| 6,0 | ||||
| 1,0 | 3,0 | 
| 1,0 | 6,0 | |||
| -3,0 | 2,0 | 
| -3,0 | 3,0 | |||
| -1,0 | 1,0 | 
| -4,0 | 4,0 | |||
| -4,0 | -2,0 | 
| -2,0 | 4,0 | |||
| 0,5 | 5,0 | 
| -4,0 | 2,0 | |||
| 1,1 | 6,0 | 
| -5,0 | ||||
| 0,1 | 5,0 | 
| -5,0 | 5,0 | |||
| 0,1 | 5,5 | 
| -4,0 | 4,0 | |||
| -1,0 | 3,0 | 
| -2.0 |
Таблица 2