Электромагнитные колебания.

КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ, ОПТИКА.

 

Методические указания и контрольные задания

для студентов I-II курсов РЭФ, ФЭН, ФТФ дневного отделения.

 

НОВОСИБИРСК

 

 

Данные методические указания и контрольные задания составлены в соответствии с учебной программой по физике, принятой на кафедре прикладной и теоретической физики НГТУ, и предназначены для студентов I-II курсов факультетов РЭФ, ФЭН, ФТФ дневного отделения.

 

 

Составитель: Э.А.Кошелев, канд. физ.- мат. наук, доцент.

 

Рецензент: В.Ф.Ким, канд. физ.-мат. наук, доцент.

 

Работа подготовлена на кафедре

прикладной и теоретической физики.

 

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.

 

Настоящее пособие предназначено для подготовки студентов по соответствующим разделам общего курса физики. Самостоятельное решение задач – необходимое и обязательное средство усвоения учебного материала. При оформлении решений индивидуального задания студент должен обосновать применение конкретных физических законов, выполнить соответcтвующие математические преобразования и выкладки, провести вычисления и провести анализ размерностей полученного результата. Доведение решения задачи до численного результата – обязательное условие выполнения индивидуального задания, необходимый элемент инженерной подготовки. Как показывает опыт, очень часто при выполнении уже численных выкладок студенты получают «странные» результаты, поэтому проверка результата на соответствие здравому смыслу – простой и качественный способ. Полезно проводить асимптотическую проверку решения – устремление определенного параметра к нулю или бесконечности для проверки его соответствия с результатами, представленными в общем учебном курсе.

При решении задач рекомендуется все исходные величины представить в системе единиц «СИ». При необходимости интерпретировать решение соответствующим рисунком. Задачи по уровню сложности соответствуют традиционному общему курсу физики. Для решения задач рекомендуется использовать известные учебные пособия.

 

Основная литература:

1. Савельев И.В. Курс общей физики. М., Астрель, 2001-06 г.

2. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. М., Высшая школа, 2002

3. Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М. Высш. школа, 2002

4. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М., Лаборатория базовых знаний, 2002. г.

Дополнительная литература:

1. Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. М., Наука, 1976 г.

2. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. М,Наука, 1982 г.

3. Пейн Г. Физика колебаний и волн. М., Мир, 1976 г.

4. Serway R.A. Physics. Thomson Brooks/Cole. 2004.

Основные физические постоянные.

Электрическая постоянная

Магнитная постоянная

Интенсивность звука на пороге слышимости

Скорость света в вакууме

 

 

Основные формулы.

Механические колебания.

1. Уравнение свободных гармонических колебаний

или ,

где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия,

A – амплитуда, - циклическая частота, - начальная фаза колебаний.

2. При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты получаются колебания той же частоты, амплитуда которых А и начальная фаза определяются уравнениями:

,

где - амплитуды слагаемых колебаний; - их начальные фазы.

2. Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила):

3. Циклическая частота и период колебаний Т гармонического осциллятора:

4. Период колебаний физического маятника:

,

где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний, l - расстояние от оси до его центра масс.

5. Полная энергия гармонического осциллятора:

6. При наличии в колебательной системе силы сопротивления , где r – коэффициент сопротивления, υ – скорость тела, уравнение смещения:

Здесь - амплитуда затухающих колебаний; – коэффициент затухания; - циклическая частота затухающих колебаний.

7. Логарифмический декремент затухания:

θ = = βТ,

где - амплитуды двух последовательных колебаний.

8. Добротность колебательной системы:

9. Амплитуда вынужденных колебаний, совершаемых под действием внешней периодической силы

10. Резонансная циклическая частота вынужденных колебаний:

11. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе:

.

 

Электромагнитные колебания.

1. Колебания электрического заряда в последовательном колебательном контуре при отсутствии сопротивления гармонические:

или ,

где , L – индуктивность, С – сопротивление контура.

2. При наличии сопротивления R в контуре колебания заряда, напряжения и силы тока в последовательном контуре:

,

где - коэффициент затухания, - циклическая частота затухающих колебаний, ψ – сдвиг фазы колебания силы тока относительно напряжения .

 

 

3. Логарифмический декремент затухания колебаний в контуре:

.

4. Добротность контура:

.

5. Если в последовательном колебательном контуре действует ЭДС с переменным напряжением , то в цепи контура устанавливаются вынужденные колебания тока той же частоты:

,

где φ – сдвиг фазы колебания тока относительно ЭДС.

6. Амплитуда колебания силы тока определяется законом Ома для цепи переменного тока:

,

где - емкостное сопротивление, - индуктивное сопротивление, - комплексное сопротивление цепи.

7. Сдвиг фазы колебания φ между силой тока и напряжением определяется функциями:

или .

8. Резонансная частота колебаний в последовательном контуре:

.

9. Мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока:

.

 

Волны.

1. Уравнение бегущей волны

,

где - физический параметр, изменяющийся в волне (смещение частиц, давление, плотность и др.), A(r) – амплитуда (при A = const волна плоская), - волновое число.

2. Длина волны λ, ее скорость с и период колебаний в волне связаны соотношением: λ = сТ.

3. При интерференции двух когерентных волн амплитуда волны достигает максимального значения при:

(m = 0,1,2,3,…)

и минимального значения при:

(m = 0,1,2,3 …).

4. Скорость звуковой волны в тонких стержнях

,

где E – модуль упругости, ρ – плотность материала стержня.

5. Скорость звука в газах: ,

где γ – показатель адиабаты газа, R – газовая постоянная, μ – молярная масса,

Т – температура.

6. Амплитуда звукового давления и амплитуда скорости частиц υ в звуковой волне связаны соотношением:

.

7. Интенсивность звука I (энергия, переносимая волной, в единицу времени через единичную площадку):

8. Уровень интенсивности звука (в децибелах):

,

где - интенсивность звука на пороге слышимости при частоте ν = 1 кГц.

9. Амплитуды колебания напряженности электрического поля и напряженности магнитного поля в электромагнитной волне связаны соотношением:

,

где ε, μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

10. Скорость электромагнитной волны:

.

11. Если источник и приемник волн перемещаются относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний ν, регистрируемая приемником, связана с частотой колебаний в источнике (эффект Доплера):

,

где u – скорость приемника, υ – скорость источника волн. Величины u, υ – алгебраические: u > 0, если источник движется к приемнику; u < 0, если источник движется от приемника; υ > 0, если приемник движется к источнику; υ < 0, если приемник движется от источника.

 

Оптика.

1. Оптическая длина пути светового луча в однородной среде с показателем преломления n: L = ns (n – показатель преломления среды).

2. Оптическая разность хода лучей света:

.

3. Результат интерференции двух когерентных лучей света определяется величиной оптической разности хода:

, при m четном – максимум, при m нечетном –минимум интерференции, где - длина волны света в вакууме, m = 0,1,2,3,…

4. Оптическая разность хода световых лучей, отраженных от двух поверхностей тонкой пластинки, по обе стороны которой находятся одинаковые среды:

,

где h – толщина пластинки, i – угол падения луча света на поверхность пластинки.

5. Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете:

(R- радиус кривизны линзы).

6. Радиус зон Френеля для сферической поверхности световой волны, испускаемой точечным источником света:

(m = 1,2,3, …),

где a – расстояние от источника до волновой поверхности, b – расстояние от волновой поверхности до экрана.

7. При дифракции в параллельных лучах монохроматического света от плоской щели положение минимумов освещенности на экране определяется углом дифракции φ:

(m = 1,2,3,…),

где b – ширина щели.

8. При нормальном падении света на дифракционную решетку положение главных максимумов определяется углом дифракции φ:

(m = 0,1,2,3,…),

где d – период дифракционной решетки.

 

 

9. Разрешающая сила дифракционной решетки:

,

где δλ – наименьшая разность длин волн двух близких спектральных линий, воспринимаемых при наблюдении раздельно, m – порядок спектра, N – общее число щелей дифракционной решетки.

10. Разрешающая сила объектива оптического прибора:

,

где δφ – наименьшее угловое расстояние между двумя точками, воспринимаемых при наблюдении раздельно, D – диаметр объектива.

11. Угол полной поляризации при отражении света от границы двух диэлектриков (угол Брюстера):

,

где - относительный показатель преломления.

12. Интенсивность плоско-поляризованного света, прошедшего через систему двух поляроидов (закон Малюса):

,

где - интенсивность света, прошедшего через анализатор, - интенсивность света, прошедшего через поляризатор, φ – угол между оптическими осями поляроидов.

13. Степень поляризации света:

,

где - максимальная и минимальная интенсивности света, соответствующие двум взаимно перпендикулярным направлениям колебаний в световой волне.

 

 

Примеры решения задач.

 

Пример 1. Физический маятник в виде однородного стержня длиной L = 1м колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через один из концов стержня. Найти период колебаний.

Решение: Период колебаний физического маятника:

.

Поскольку стержень однородный, то расстояние от центра масс стержня до оси колебаний . Момент инерции определяем по теореме Штейнера:

.

Тогда период колебаний маятника:

.

Пример 2. Груз массы m = 0,5 кг подвешен на пружине жесткостью k = 32 Н/м совершает затухающие колебания. После N = 10 колебаний амплитуда уменьшилась в 2 раза. Определить период колебаний, логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы.

Решение: Период колебаний для затухающих колебаний:

,

где собственная частота колебаний .

Коэффициент затухания β находим из определения логарифмического декремента затухания θ = βТ:

.

Следовательно декремент затухания . Добротность колебательной системы . Период колебаний определяем, решая совместно уравнения: . Следовательно:

.

Пример 3. В цепь переменного тока с напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно индуктивность L = 0,8 мГн и электроемкость

С = 10 мкФ. Общее сопротивление цепи R = 20 Ом. Найти силу тока в цепи, напряжение на всех элементах цепи и мощность, выделяющуюся в цепи.

Решение: Условия задачи соответствуют действию промышленного переменного тока с действующим (эффективным) напряжением = 220 В. Определим сопротивление элементов цепи. Емкостное сопротивление:

Ом.

Индуктивное сопротивление:

Ом.

Комплексное сопротивление всей цепи:

Ом.

Действующее значение силы тока в цепи определятся законом Ома:

А.

Падение напряжения на элементах цепи:

.

Заметим - сумма всех напряжений на элементах цепи значительно больше величины действующего напряжения, что возможно только в цепях переменного тока. Для определения мощности, выделяющейся в цепи, необходимо найти сдвиг фазы между колебаниями тока и напряжения , что соответствует углу сдвига фазы . И мощность, выделяющаяся в цепи:

Вт.

Пример 4. Определить частоту основного тона звуковой волны, образующейся при колебаниях воздуха в органной трубе длиной l = 1 м в двух случаях: а) труба закрыта с обоих концов; б) труба открыта с одного конца. Температура воздуха .

Решение: Частота колебаний столба воздуха в трубе определяется числом стоячих волн. Для закрытой трубы :

.

Для трубы, открытой с одного конца (m = 1,2,3,…):

.

Основной тон колебаний соответствует минимальной частоте, то есть в обоих случаях m = 1. Скорость звука согласно условию задачи:

.

Для закрытой трубы:

Гц.

Для трубы, открытой с одного конца:

Гц.

Пример 5. На расстоянии = 10 м интенсивность звуковой волны в воздухе, распространяющейся от точечного источника, = 40 дБ. Найти наибольшее расстояние, на котором звук еще слышен.

Решение: Поскольку источник звука точечный, то фронт звуковой волны сферический. Значит интенсивность волны убывает с расстоянием по закону:

,

Соответственно уровень интенсивности звуковой волны:

.

Следовательно искомое расстояние, в соответствии с условием задачи:

км.

Пример 6.Между двумя тонкими плоскопараллельными пластинками образован воздушный клин. На пластинки нормально падает монохроматический свет (λ = 0,5 мкм). Найти

угол между пластинками, если в отраженном свете на длине l = 1 см наблюдается

N = 20 интерференционных полос.

Решение: В данном случае интерференция наблюдается между лучами, отраженными от нижней поверхности первой пластинки и от верхней поверхности нижней пластинки. Оптическая разность хода в точке, где толщина воздушного зазора h равна:

.

Дополнительная разность возникает при отражении луча света от поверхности 2 (при отражении от более плотной среды происходит сдвиг фазы колебаний в отраженной волне на π). Для определенности предположим, что наблюдаются темные полосы. Тогда в соответствии с условием минимума интерференции:

.

Следовательно: .

Угол при вершине воздушного клина малый, тогда:

.

Подставляя числовые величины, получаем: .

Пример 7. Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2 мкм, если угол между максимумами первого и второго порядков спектра .

Решение: Для углов дифракции первого и второго порядков из формулы, определяющей положение максимумов дифракционной решетки следует:

.

Согласно условию: . Выражая из первых двух уравнений угол :

.

Проводя простые тригонометрические преобразования, получим:

.

Затем, используя первое уравнение, получаем:

мкм.

Пример 8. При нормальном падении света на дифракционную решетку ширины

l = 1 см установлено, что две желтые линии натрия мкм и

мкм оказываются разрешенными, начиная с пятого порядка спектра.

Определить период дифракционной решетки.

Решение: Разрешающая способность дифракционной решетки:

.

Из последнего равенства легко получить:

мм.

Пример 9. На пути частично поляризованного пучка света установлен поляризатор (николь). При повороте поляризатора на угол из положения, соответствующего максимальному пропусканию света, интенсивность прошедшего света уменьшилась в k = 4 раза. Определить степень поляризации падающего света.

Решение: Частично поляризованный свет представляет собой суперпозицию естественного и плоско-поляризованного света. Николь пропускает половину, падающего на него естественного света, превращая его в плоско-поляризованный. Степень пропускания плоско-поляризованного света, падающего на николь, определяется законом Малюса и зависит от угла между оптическими осями поляризатора и анализатора. Тогда полная интенсивность света, прошедшего через николь:

,

где - интенсивности естественной и поляризованной составляющих света, падающего на николь. Тогда максимальная и минимальная интенсивности света, входящие в определение степени поляризации P, могут быть определены так:

Согласно условиям задачи: или, выражая из предыдущих соотношений:

.

Из последнего уравнения определим отношение:

.

И, наконец, можно определить степень поляризации света: