Сложение и вычитание вместо умножения

Математические игры и развлечения

Избранное

Редактор Копылова А.Н.

Техн. Редактор Мурашова Н.Я.

Корректор Сечейко Л.О.

Сдано в набор 26.09.2003. Подписано к печати 14.12.2003. Формат 34×103¼. Физ. печ. л. 8,375. Услов. печ. л. 13,74. Уч. изд. л. 12,88. Тираж 200 000 экз. Заказ № 279. Цена книги 50 руб.

Доморяд А.П.

Математические игры и развлечения. Избранное. – Волгоград: ВГПУ, 2003, - 20 с.

В книге представлены избранные задачи из монографии Доморяда А.П. «Математические игры и развлечения», которая была издана в 1961 году Государственным издательством физико-математической литературы г. Москвы.

ISBN 5-09-001292-X ББК 22.1я2я72

©Издательство «ВГПУ», 2003

Определение задуманного числа по трем таблицам

Размастив в каждой из трех таблиц подряд числа от 1 до 60 так, чтобы в первой таблице они стояли в трех столбцах по двадцати чисел в каждом, во второй – вчетырех столбцах по 15 чисел в каждом и в третьей – в пяти столбцах по 12 чисел в каждом (см.рис.1), легко быстро определить задуманное кем-нибкдь число N (N≤), если будут указаны номера α, β, γ столбцов, содержащие задуманное число в 1-й, во 2-й и в 3-й таблицах: N будет равно остатку от деления чила 40α+45β+36γ на 60 или, суммой(40α+45β+36γ)по модулю 60.Например, при α=3, β=2, γ=1:

40α+45β+36γ=0+30+36=6(mod60), т.е.N=6

Ι	II	III
▪	▪	▪
▪	▪	▪
▪	▪	▪

I	II	III	IV
▪	▪	▪	▪
▪	▪	▪	▪
▪	▪	▪	▪

 

I	II	III	IV	V
▪	▪	▪	▪	▪
▪	▪	▪	▪	▪
▪	▪	▪	▪	▪

 

 

Рис.1

Аналогичный вопрос может быть для чисел в пределах до 420, размещенных в четырех таблицах с тремя, четырьмя,пятью и семью столбцами:если α, β, γ- номера стоблцов, в которых стоит задуманное число, то оно равно остатку от деления числа 280α+105β+336+120δ на 420.

 

Солитер

Игра под названием солитер проводится на доске с традцатью тремя клетками.

Такую доску легко получить прикрыв шахматную доску листом картона с крестообразным вырезом.

 

На рисунке каждая клетка обозначена парой чисел, указывающих номера горизонтального и вертикального рядов, на пересечении которых находится клетка. В начале игры все клетки, за исключением какой-нибудь одной, заняты шашками.

Требуется снять 31 шашку, причем задаются пустая “начальная“ клетка (a,b) и “конечная” (c,d), на которой должна уцелевшая в конце игры шашка. Правила игры та-

ковы: любая шашка может быть снята с доски, если рядом с ней (в горизонтальном или вертикальном направелнии) находится с одной стороны какая-нибудь шашка (”снимающая”), а с противопложный стороны – пустая клетка, на которую ”снимаю-щая” шашка дожлна быть при этом переведена.

Из теории игры следует, что решение будет в том и только в том случаи,когда а с(mod3) и b d(mod3).

Приведем для примера задачи, в которой клетка(44) является и начальной, и конечной.

1. 64-44
2. 56-54
3. 44-64
4. 52-54
5. 73-53
6. 75-73
7. 43-63
8. 73-53
9. 54-52
10. 35-55
11. 65-45
12. 15-35
13. 45-25
14. 37-35
15. 57-37
16. 34-36
17. 37-35
18. 25-45
19. 46-44
20. 23-43

 

 

1. 31-33
2. 43-23
3. 51-31
4. 52-32
5. 31-33
6. 14-34
7. 34-32
8. 13-33
9. 32-34
10. 34-54
11. 64-44

 

 

Здесь в записи каждого хода указаны для ”снимающей” шашки номера исходной

Клетки и номер клетки, на которую она ставится (при этом с доски снимается шашка,

стоящая на промежуточной клетке)

Попробуйте снять 31 шашку:

a) Приначальной клетке(5,7) и конечной (2,4);

b) Приначальной клетке(5,5) и конечной (5,2).

 

 

Сложение и вычитание вместо умножения

До изобретения таблиц логорифмов для облегчения умножения многозначных чисел применялись так называемые простаферические таблицы (от греческих слов «афайрезис» – отнятие),представляющие собой таблицы значений функции

При натуральных значениях Z. Так как при а и b целых (числа a+b и a-b либо оба честные, либо оба нечетные; в последнем случае дробные части у и одинаковые), то умножение а на b сводятся определение a+b и a-b и, наконец разности чисел ,взятых таблиц.

 

Для перемножение трех чисел можно восполдьзоваться тождеством

(*)

из которого следует, что при наличии таблицы значения функции вычесление произведения abc можно свести к определению чисел a+b+c, a+b-c, a+c-b, b+c-a и помним – при помощи таблицы – правой части равенства (*).

Приведем в качестве примера такую таблицу для .

В таблице даны: крупными цифрами – значения а мелкими – значение k, где при

ЕДЕНИЦЫ
ДЕСЯТКИ					13	216	55	90	147	218	309
		5511	720	9113	1148	14015	17016	20417	2430	28519
	3338	38521	44316	50623	5760	6511	7328	8203	91416	10165

Нетрудно, пользуясь формулой (*) и таблицей, получить:

9·9·9=820₃– 30₉– 30₉– 30₉=297,

17·8·4 = 1016₅ –385₂₁ – 91₁₃ + 5₅ = 544 (Проверте!!)

 

Функция [x] (целая часть x)

 

Функция [x] равна наибольшему целому числу, не превосходящему x (x – любое действительное число).Например:

 

Функция [x] имеет <<точки разрыва>>: при целых значениях x она <<изменяется скачком>>.

На рис.2 дан график этой функции, причём левый конец каждого из горизонтальных отрезков принадлежит графику (жирные точки), а правый – не принадлежит.

Попробуйте доказать, что если конаническое разложение числа n! Есть

 

 

 

Аналогичные формулы имеют место для

Зная это, легко определить, например, сколькими нулями оканчивается число 100! Действительно, пусть

И

Следовательно, 100! Делится на , т.е. оканчивается двадцатью четырьмя нулями.

Магические квадраты

Магическим « -квадратом » назовем квадрат, раздельный на n клеток, заполненных первыми натуральными числами так, что суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном или вертикальном ряду, а также на любой

из диагоналей квадрата, равны одному и тому же числу

Если одинаковы лишь суммы числ, стоящих в любом горизонтальном и вертикальному то квадрат называется полумагическим.

 

 

 

Магический 4-квадрат назван именем Дюрера, математика и художника XVI вака,изобразившего квадрат на известной картине «Меланхолия».

Кстати,два нижних средних чисел этого квадрата образуют число 1514 - дату создания картины.

Существует восемь девятиклеточных магических квадратов.Два из них,являющиеся зеркальным изображением друг друга,приведены на рисунке; остальные шесть могут быть получены из этих квадратов вращением их вокруг центра на 90 ,180 ,270 .

10-11 сами