Механические колебания и волны.

 

Колебания – периодически повторяющиеся движения или изменения состояния системы.

Гармонические колебания – такой вид колебаний, при котором колеблющаяся величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса.

 

Квазиупругие силы – силы, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при малых деформациях упругих тел.

 

0 Х

 

Согласно закону Гука: F_упр = - kx.

Согласно 2 закону Ньютона: , но , тогда , но , (W – собственная частота), тогда (дифференциальное уравнение 2 порядка).

Решение: гармонический закон: , где - фаза колебаний (рад), - начальная фаза (при t = 0), - собственная частота колебаний, А – амплитуда колебаний.

Частота колебаний: . Период колебаний: . (рад/с)

Скорость материальной точки: .

Ускорение материальной точки: .

Полная энергия колеблющегося тела:

 

Затухающие колебания – такой вид колебаний, которые существуют в реальных системах, с учётом сил трения и сопротивления.

В системе действуют квазиупругие силы, силы сопротивления (трения) => закон Ньютона приобретает вид: , где , где r – коэфф. трения

Подставим: или , где , а , где - коэффициент затухания, - собственная частота.

Решение: .

Амплитуда: .

Период: .

Время релаксации – это время, в течении которого амплитуда уменьшается в е раз. , но . Это возможно лишь при , т.е. .

Степень затухания характеризуется логарифмическим декрементом затухания, т.е. величиной, равной натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебаний, разделённых интервалом времени, равным периоду колебаний:

За время совершается колебаний.

 

Вынужденные колебания – это колебания, возникающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

 

В системе действуют квазиупругие силы, силы трения и внешние силы.

Внешняя сила: , где F₀ – амплитуда, W – собственная частота колебаний.

Второй закон Ньютона:

, или , где .

Решение: , где .

Частота вынужденного колебания = частоте вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определённой частоте вынуждающей силы, называемой резонансной.

Резонанс – явление достижения максимальной амплитуды для заданных собственной частоты и коэффициента затухания.

, а амплитуда: .

А

 

 

B=0

B=1

 

B=2

 

w₂w₁w₀ W

Автоколебания – частный случай вынужденных колебаний, происходят тогда, когда сама колебательная система управляет внешними силами. При этом легче достигается резонанс, а работы затрачивается меньше. В живых организмах колебания по принципу автоколебаний. Схема:

 

 

 

Механическая волна – механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию. Виды: упругие волны и волны на поверхности жидкости.

Механическая волна – распространение колебаний в упругой среде. Чем выше упругость среды, тем выше скорость распространения волны и тем меньше энергии тратится.

Продольная волна – точки среды колеблются в одном направлении, вдоль одной прямой.

волна,

x

 

 

направление колебаний

точек среды

 

N_t

 

Поперечная волна – точки среды колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях.

X

волна

 

 

t

 

Характеристики:

1. Длина волны – расстояние между двумя точками, фазы которых различаются на .
2. Скорость волны – отношение длины волны к периоду. .
3. Фронт волны – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.
4. Уравнение волны

Y

Б

t₁ t₂

 

А Б` X

 

А`

 

Х

 

Пусть А колеблется по закону: .

Тогда В колеблется с запаздыванием на угол , где , т.е.

.

1. Энергия волны.

- полная энергия одной частицы. Если частиц N, то , где - эпсилон, V – объём.

 

Эпсилон – энергия в единице объёма волны – объёмная плотность энергии.

Поток энергии волн равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течении которого этот перенос осуществлён: , ватт.

1. Плотность потока энергии – интенсивность волны – поток энергии через единицу площади - величина, равная средней энергии, переносимой волной в единицу времени за единицу площади поперечного сечения.

 

[Вт/м²]

.

 

Вектор Умова – вектор I, показывающий направление распространения волн и равный потоку энергии волн, проходящему через единичную площадь, перпендикулярную этому направлению:

.

 

 

Физические характеристики волны:

1. Колебательные:

a. амплитуда

b. частота

c. фаза

2. Волновые:

a. длина волны

b. скорость волны

c. интенсивность

 

 

Сложные колебания (релаксационные) – отличающиеся от синусоидальных.

Преобразование Фурье – любую сложную периодическую функцию можно представить суммой нескольких простых (гармонических) функций, периоды которых кратны периоду сложной функции – это гармонический анализ. Происходит в анализаторах. Итог – гармонический спектр сложного колебания:

А

 

0