Геометрические вероятности.

В качестве множества элементарных исходов рассматривается какая-либо геометрическая фигура, имеющая меру, то есть длину, площадь или объем. В качестве выступает совокупность измеримых подмножеств . Вероятностью события в этой модели полагают отношение мер множеств и , то есть .

Пример 7. На отрезок длины на числовой оси наудачу бросается точка . С какой вероятностью расстояние от до ближайшего конца отрезка окажется больше ?

Решение. Элементарным исходом в этом опыте будет число . Рассмотрим рисунок 2, на котором благоприятные исходы заштрихованы. Тогда искомая вероятность равна отношению длины заштрихованного отрезка к длине всего отрезка . То есть .

Пример 8. Два человека договорились о встрече между 14.00 и 15.00. Каждый приходит в случайный момент времени из этого промежутка, ждет 15минут и уходит. С какой вероятностью встреча состоится?

Решение. Элементарным исходом в этом опыте логично считать пару , где - время прихода первого человека, а - время прихода второго. Будем считать, что и измеряются в минутах (после 14.00). Тогда , а пара есть элемент декартова произведения .

По условию встреча состоится, если и отличаются не больше, чем на 15 минут, то есть если . На рисунке 3 эта область заштрихована.

То есть, если пара попадает внутрь заштрихованной области, то встреча состоится, а если вне области (на рисунке это точка (50,10)), то нет. Элементарный исход (50,10) означает, что второй приятель не дождется первого, поскольку пришел на 40 минут раньше. По условию все исходы равновероятны, но поскольку их бесконечно много говорить о вероятности отдельного исхода не имеет смысла. Но можно говорить о вероятности попадания в какую-либо область, которая должна быть, очевидно, пропорциональна величине (мере) области. Мерой плоской области является площадь . В нашем случае , а площадь заштрихованной части можно получить, вычитая площади двух прямоугольных треугольников (см. рисунок 3). Получаем . Тогда доля благоприятных исходов равна . Ее и естественно считать вероятностью встречи.

Пример 9. (игла Бюффона)(позже, если не знают интегралов)

На плоскость, разлинованную прямыми, параллельными оси и отстоящими друг от друга на расстояние , наудачу бросается игла длины , ( (см. рис.4). С какой вероятностью игла пересечет какую-либо линию?

Рис. 5

Рис. 4

Решение. Пусть

- расстояние от центра иглы до ближайшей прямой, а

- угол между иглой и прямыми. Тогда

, а

, причем считаем, что все эти значения равновозможны. Множеством элементарных исходов здесь будет прямоугольник, изображенный на рисунке 5. Выделим теперь благоприятные исходы.

В самом деле, игла пересечет одну из прямых, если (см. заштрихованное множество на рисунке 5). Тогда искомая вероятность равна отношению площадей, то есть

Пример 10. Три раза запускается датчик случайных чисел, выбирающий числа из интервала . Результатом этого опыта (элементарным исходом) можно считать тройку чисел , то есть точку в кубе со стороной 1. Вероятность выбора точки из какой- либо части куба очевидно пропорциональна объему этой части. Поэтому применяем модель геометрических вероятностей. Рассмотрим события , и вычислим их вероятности.