Основные утверждения и теоремы

Для каждого утверждения определите, верное оно или неверное.

4.1.1. Через любую точку плоскости можно провести прямую.

4.1.2. Через любые две различные точки плоскости можно прове­сти прямую.

4.1.3. Через любые три различные точки плоскости можно прове­сти прямую.

4.1.4. Любые две различные прямые проходят через одну общую точку.

4.1.5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно прове­сти на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

4.1.6. Сумма вертикальных углов равна 180°.

4.1.7. Сумма двух смежных углов равна 180°.

4.1.8. Если угол равен 54°, то вертикальный с ним угол равен 34°.

4.1.9. Если угол равен 72°, то смежный с ним угол равен 18°.

4.1.10. Если две параллельные прямые пересечены третьей пря­мой, то соответственные углы равны.

4.1.11. Если две параллельные прямые пересечены третьей пря­мой, то сумма внутренних односторонних углов равна 90°.

4.1.12. Если две перпендикулярные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

4.1.13. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

4.1.14. Если при пересечении двух прямых третьей соответствен­ные углы равны, то прямые перпендикулярны.

4.1.15. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние односторонние углы равны 90°, то прямые параллельны.

4.1.16. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые перпендикулярны.

4.1.17. Внешний угол треугольника равен сумме двух его внут­ренних углов.

4.1.18. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°.

4.1.19. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180°.

4.1.20. Если два угла треугольника равны 36° и 64°, то третий угол равен 100°.

4.1.21. Если один из углов равнобедренного треугольника равен 30°, то другой его угол равен 120°.

4.1.22. Если в треугольнике ABC углы А и В равны соответствен­но 40° и 70°, то внешний угол этого треугольника при вершине С равен 70°.

4.1.23. Если две стороны и угол одного треугольника соответ­ственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

4.1.24. Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

4.1.25. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого тре­угольника, то такие треугольники подобны.

4.1.26. Если три стороны одного треугольника соответственно равы трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4.1.27. Если катет и острый угол одного прямоугольного тре­угольника соответственно равны катету и углу другого прямоугольно­го треугольника, то такие треугольники равны.

4.1.28. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен углу другого прямоугольного треугольника, то такие треуголь­ники равны.

4.1.29. Любые два равносторонних треугольника подобны.

4.1.30. Любые два равнобедренных треугольника подобны.

4.1.31. Любые два прямоугольных треугольника подобны.

4.1.32. Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.

4.1.33. Каждая сторона треугольника равна сумме двух других сторон.

4.1.34. Каждая сторона треугольника меньше разности двух дру­гих сторон.

4.1.35. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 существует.

4.1.36. В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол.

4.1.37. В треугольнике против большего угла лежит меньшая сто­рона.

4.1.38. В треугольнике ABC, для которого Ð А = 45°, Ð В = 55°, Ð C = 80°, сторона АВ — наибольшая.

4.1.39. В треугольнике ABC, для которого АВ = 6, ВС = 7, АС = 8, угол С — наибольший.

4.1.40. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 180°.

4.1.41. Сумма углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 360°.

4.1.42. Через любые две различные точки плоскости можно про­вести не более одной окружности.

4.1.43. Через любые три различные точки плоскости можно про­вести не менее одной окружности.

4.1.44. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то эти прямая и окружность пересекаются.

4.1.45. Если расстояние от центра окружности до прямой больше диаметра окружности, то эти прямая и окружность не имеют общих точек.

4.1.46. Если радиус окружности равен 7, а расстояние от центра окружности до прямой равно 5, то эти прямая и окружность не имеют общих точек.

4.1.47. Если расстояние между центрами двух окружностей мень­ше суммы их радиусов, то эти окружности пересекаются.

4.1.48. Если расстояние между центрами двух окружностей боль­ше суммы их радиусов, то эти окружности не пересекаются.

4.1.49. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 4, то эти окружности пересекаются.

4.1.50. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности не имеют общих точек.

4.1.51. Длина окружности радиуса R равна πR.

4.1.52. Площадь круга радиуса R равна 2πR.

4.1.53. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

4.1.54. Если вписанный угол равен 24°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 48°.

4.1.55. Если дуга окружности составляет 73°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 73°.

4.1.56. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис.

4.1.57. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

4.1.58. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, находится на стороне этого треугольника.

4.1.59. Центром окружности, вписанной в правильный треуголь­ник является точка пересечения его медиан.

4.1.60. Если сумма двух противоположных углов прямоугольни­ка равна 180°, около этого прямоугольника можно описать окруж­ность.

4.1.61. Около любой трапеции можно описать окружность.

4.1.62. Если один из углов вписанного в окружность четырёх­угольника равен 63°, то противоположный ему угол четырёхугольника равен 117°.

4.1.63. В любой параллелограмм можно вписать окружность.

4.1.64. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, сум­ма длин двух его противоположных сторон равна 24, а длина третьей стороны равна 14, то длина оставшейся стороны равна 10.

4.1.65. Противоположные углы параллелограмма равны.

4.1.66. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелог­рамма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, ра­вен 40°.

4.1.67. Если в четырёхугольнике две стороны параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

4.1.68. Если в четырёхугольнике два угла.— прямые, то этот че­тырёхугольник — параллелограмм.

4.1.69. Диагонали прямоугольника перпендикулярны.

4.1.70. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот парал­лелограмм — прямоугольник.

4.1.71. Если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник — квадрат.

4.1.72. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квад­ратов двух других сторон без произведения этих сторон на косинус угла между ними.

4.1.73. Треугольник ABC, у которого АВ = 20, ВС = 21, АС = 29, является прямоугольным.

4.1.74. Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон.

4.1.75. Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

4.1.76. Площадь прямоугольного треугольника равна произведе­нию его катета на гипотенузу.

4.1.77. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

4.1.78. Площадь параллелограмма равна произведению его сторо­ны на высоту, проведённую к этой стороне.

4.1.79. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату ко­эффициента подобия.

 

 

Длины

4.2.1. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 и 9. Найди­те гипотенузу.

4.2.2. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 7. Найдите катет.

4.2.6. Периметр равнобедренной трапеции равен 63, боковая сто­рона равна большему основанию, а меньшее основание в 2 раза мень­ше большего. Найдите большее основание.

4.2.7. В параллелограмме ABCD диагональ АС является биссект­рисой угла А. Найдите сторону ВС, если периметр ABCD равен 34.

4.2.8. Диагонали ромба равны 10 и 24. Найдите его сторону.

4.2.9. Основания трапеции равны 17 и 35. Найдите среднюю ли­нию трапеции.

4.2.10. Средняя линия трапеции равна 16, а одно из оснований равно 23. Найдите другое основание трапеции.

4.2.12. Диагонали АС и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, АО = 12,5, а АВ: ВС = 7: 24. Найдите CD.

4.2.16. Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапе­ции через конец меньшего основания, равного 13, отсекает треуголь­ник, периметр которого равен 23. Найдите периметр трапеции.

4.2.17. В четырёхугольнике ABCD АВ = 6, ВС = 9, CD = 4. Найдите AD, если известно, что в четырёхугольник ABCD можно впи­сать окружность.

4.2.18. В четырёхугольник ABCD вписана окружность. АВ = 5, 2CD = АВ. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

4.2.19. Найдите длину окружности, радиус которой равен 9,5,

4.2.20. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника, равен 34. Найдите катет этого тре­угольника.

4.2.21. Найдите радиус окружности, описанной около прямо­угольного треугольника с катетами 16 и 12.

4.2.22. В треугольнике ABC АВ ~ 18, угол С равен 45°. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности.

4.2.23. Пять сторон описанного около окружности шестиугольни­ка относятся (в последовательном порядке) как 3:4:5:7:8. Найдите оставшуюся сторону этого шестиугольника, если его периметр равен 80.

4.2.24. Найдите периметр прямоугольника, если в него вписана окружность радиуса 7.

4.2.25. Найдите периметр прямоугольника, если вокруг него опи­сана окружность радиуса 5, а его площадь равна 48.

4.2.26. К окружности с центром О проведены две касательные, которые пересекаются в точке К, а В и С — точки касания. КО = 20,5, a KB = 20. Найдите радиус окружности.

4.2.27. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Крайние находятся от дороги на рассто­яниях 12 м и 32 м. Найдите расстояние, на котором находится от до­роги средний столб. Ответ дайте в метрах.

4.2.28. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Первый и второй находятся от дороги на расстояниях 17 м и 25 м. Найдите расстояние, на котором находится от дороги третий столб. Ответ дайте метрах.

4.2.29. Какой длины должна быть лестница, чтобы она достала до окна дома на высоте 12 метров, если её нижний конец отстоит от дома на 3,5 м? Ответ дайте в метрах.

4.2.30. Лестница длиной 13 м приставлена к стене так, что рас­стояние от её нижнего конца до стены равно 5 м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах.

4.2.31. На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длина которой 10 м, чтобы её верхний конец оказался на высоте 8 м? Ответ дайте в метрах.

Углы

4.3.27. Сумма углов А и В вписанного четырёхугольника ABCD равна 204°, а сумма углов В и С равна 192°. Найдите угол D. Ответ дайте в градусах.

4.3.28. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром О. Лучи АВ и DC пересекаются в точке К, а АС и BD пересекаются в точке N. Угол BNC равен 72°, а угол AKD равен 28°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

4.3.29. Колесо имеет 15 спиц. Найдите величину угла (в граду­сах), который образуют две соседние спицы.

4.3.30. Сколько спиц в колесе, если углы между соседними спи­цами равны 36°?

4.3.31. Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 4 часа?

4.3.32. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 25 минут?

4.3.33. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 5:30?.

Площадь

4.4.1. В треугольнике ABC проведена высота СН. АВ = 4, а СН =7/2. Найдите площадь треугольника ABC.

4.4.2. Две стороны треугольника равны 2 и 10, а угол между ними равен 45°. Найдите его площадь.

4.4.3. Две стороны треугольника равны 7 и 12, а косинус угла между ними равен

(-0,6). Найдите площадь треугольника.

4.4.4. В прямоугольном треугольнике один катет равен 6, а дру­гой на 5 его больше. Найдите площадь треугольника.

4.4.5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26, а один из катетов равен 10. Найдите площадь треугольника.

4.4.6. Периметр треугольника равен 4, а радиус вписанной окружности равен 1/3. Найдите его площадь.

4.4.7. Сторона равностороннего треугольника равна 3. Найдите его площадь.

4.4.8. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боко­вая сторона равна 25. Найдите его площадь.

4.4.9. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один катет на 2 меньше, чем другой. Найдите площадь треугольника.

4.4.10. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, равна медиане, проведённой из того же угла. Гипотенуза этого треугольника равна 9. Найдите его площадь.

4.4.11. В треугольнике ABC AC = A, cos А = -0,8, cos С = . Найдите площадь треугольника ABC.

4.4.12. В треугольнике ABC AB = 7, ВС = 9, АС = 8. Найдите площадь треугольника ABC.

4.4.13. В прямоугольнике ABCD А В = 6, АС = 7,5. Найдите пло­щадь прямоугольника.

4.4.14. Стороны параллелограмма равны 4 и 14, а тангенс одного

из углов параллелограмма равен ?. Найдите площадь параллело­грамма.

4.4.15. Основание трапеции равно 7, другое — в 3 раза больше. Высота трапеции равна её средней линии. Найдите площадь трапеции.

4.4.16. Диагонали ромба равны 13 и 14. Найдите его площадь.