Васяк Л. В., Юрманова Н. В., Носальская Т. Э., Стрихарь М. В.
В 20 Математика: метод. указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей. – Чита: ЗабИЖТ, 2012. – 32 с.
В работе приведены вопросы для самоподготовки, задания к контрольным работам.
© Забайкальский институт железнодорожного
транспорта (ЗабИЖТ), 2012
План 2012 г.
Васяк Любовь Владимировна, Юрманова Наталья Викторовна,
Носальская Татьяна Эдуардовна, Стрихарь Марина Валерьевна
МАТЕМАТИКА
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей
***
Редактор Нерадовская И. А.
Подписано в печать 07.08.2012 г. Печать офсетная. Бумага тип. № 2.
Формат 60х84/16. Печ. л. 1,92. Тираж 380. Цена 64 руб.
***
672040, г. Чита, ул. Магистральная, 11, ЗабИЖТ
содержание
| введение…………………………………………………………………….. | |
| 1. вопросы для самоподготовки……………………………... | |
| 2. задания к контрольным работам………………………….. | |
| библиографический список………………………………………… |
ВВЕДЕНИЕ
Математика является основой естественно-научного знания инженера и имеет важное значение для успешного изучения и усвоения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей.
Изучение математики интеллектуально обогащает студента, развивая в нем необходимую для будущего инженера гибкость и строгость мышления. В результате изучения математики у студентов развивается логическое и алгоритмическое мышление; они овладевают основными методами исследования и решения математических задач; кроме того, у студентов формируются умения самостоятельно расширять математические знания, правильно ориентироваться в практических заданиях, проводить математический анализ прикладных (инженерных) задач и применять математические знания для решения задач, связанных с будущей специальностью.
Настоящие указания предназначены для студентов-заочников инженерно-технических специальностей и содержат общие рекомендации по самостоятельной работе над курсом математики, вопросы для самоподготовки, контрольные задания (десять вариантов) по основным темам, предусмотренным рабочей программой, тесты.
В соответствии с учебным планом студенты при изучении дисциплины «Математика» выполняют 6 контрольных работ. Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны номер контрольной работы, название дисциплины, группа, фамилия и инициалы студента, полный шифр зачетной книжки, дата отправки в институт. Варианты контрольных заданий совпадают с последней цифрой учебного шифра. Номера задач для соответствующей специальности даны в таблице.
Решения всех задач и пояснения к ним должны выполняться самостоятельно, быть достаточно подробными и приводиться в последовательности, представленной в данной работе. При этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Пояснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже. Все вычисления, если не указано иного, не должны содержать приближенные значения. В конце каждой записи должен быть записан ответ. Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3–4 см.
Студент допускается к экзамену тогда, когда все контрольные работы зачтены. Если в процессе изучения материала или при решении той или иной задачи у студента возникают вопросы, на которые он не может ответить сам, то можно обратиться к преподавателю для получения консультации.
Таблица
| Наименование раздела дисциплины | Номера заданий для контрольных работ | ||||||||
| 190401.65 (ЭЖД) | 271501.65 (СЖД) | 190901.65 (СОД) 190300.65 (ПСЖ) | |||||||
| Линейная алгебра | 1 семестр | 1 кр | 1–10 11–20 | 1 семестр | 1 кр | 1–10 11–20 | 1 семестр | 1 кр | 1–10 11–20 |
| Аналитическая геометрия | 21–30 31–40 | 21–30 31–40 | 21–30 31–40 | ||||||
| Введение в математический анализ | 2 кр | 41–50 51–60 | 2 кр | 41–50 51–60 | 2 кр | 41–50 51–60 | |||
| Дифференциальное исчисление | 61–70 71–80 81–90 | 61–70 71–80 81–90 | 61–70 71–80 81–90 | ||||||
| Интегральное исчисление | 2 семестр | 3 кр | 91–100 101–110 111–120 | 2 семестр | 3 кр | 91–100 101–110 111–120 | 2 семестр | 3 кр | 91–100 101–110 111–120 |
| Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных | 121–130 131–140 | 121–130 131–140 | 121–130 131–140 | ||||||
| Интегральное исчисление функций нескольких переменных | 4 кр | 141–150 151–160 | 4 кр | 141–150 151–160 | 4 кр | 141–150 151–160 | |||
| Векторный анализ и теория поля | - | 161–170 | 161–170 | ||||||
| Дифференциальные уравнения | 171–180 181–190 191–200 | 171–180 181–190 191–200 | 171–180 181–190 191–200 | ||||||
| Теория функций комплексной переменной | 3 семестр | 5 кр | - | 3 семестр | 5 кр | 201–210 211–220 | 3 семестр | 5 кр | 201–210 211–220 |
| Операционное исчисление | - | 221–230 | 221–230 | ||||||
| Ряды | 231–240 241–250 | 231–240 241–250 | 231–240 241–250 | ||||||
| Ряды Фурье | 251–260 | 251–260 | 251–260 | ||||||
| Дискретная математика | 261–270 | 261–270 | 261–270 | ||||||
| Теория вероятностей | 6 кр | 271–280 281–290 291–300 301–310 | 6 кр | 271–280 281–290 291–300 301–310 | 4 семестр | 6 кр | 271–280 281–290 291–300 301-310 | ||
| Математическая статистика | 311–320 321–330 | 311–320 321–330 | 311–320 321–330 |
ВОПРОСЫДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
Линейная алгебра
1. Комплексные числа. Геометрическое истолкование комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.
2. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n -го порядка.
3. Матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица.
4. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера–Капелли. Решение системы методами Крамера, Гаусса, методом обратной матрицы.
Аналитическая геометрия
1. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно зависимые и
линейно независимые векторы. Базис. Разложение вектора по базису. Действия над векторами в координатной форме. Длина (модуль), направляющие косинусы вектора.
2. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. Геометрическое истолкование произведений векторов. Угол между векторами, условие коллинеарности векторов.
3. Прямая линия на плоскости, основные виды уравнений. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
4. Плоскость, основные виды уравнений. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
5. Прямая линия в пространстве, основные виды уравнений. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
6. Взаимное расположение плоскости и прямой. Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
7. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Их геометрические свойства.
8. Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.
9. Полярные координаты, их связь с декартовыми. Построение точек и кривых в полярной системе координат.
Введение в математический анализ
1. Понятие функции. Способы задания функции. Свойства функции.
2. Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы функции. Предел функции в точке.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними, свойства бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
4. Определение непрерывности функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
Дифференциальное исчисление
1. Понятие приращения аргумента и приращение функции. Определение производной, ее физический и геометрический смысл. Основные правила дифференцирования функций. Производная сложной функции.
2. Производная параметрически заданной функции, неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
3. Дифференцируемость функций. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
4. Производные и дифференциалы высших порядков. Физический смысл производной второго порядка.
5. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
6. Формула Тейлора. Приложения формулы Тейлора.
7. Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
8. Общая схема исследования функции. Построение графика.
Интегральное исчисление
1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Простейшие приемы интегрирования.
2. Замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям.
3. Интегрирование рациональных дробей, иррациональных функций и тригонометрических выражений.
4. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к определенному интегралу. Геометрический и механический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница.
5. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.
6. Несобственные интегралы I и II рода, их свойства и вычисление.
7. Применение определенных интегралов в геометрии и физике: вычисление площади, объема и площади поверхности тела вращения, длины дуги, пройденного пути, работы силы и др.
Функции нескольких переменных
1. Понятие функции нескольких переменных, область определения. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
2. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Дифференцируемость сложной функции. Замена переменных. Первый дифференциал.
3. Производная по направлению. Градиент. Производные и дифференциалы высших порядков.
4. Экстремум функции нескольких переменных. Неявные функции. Условный экстремум.
5. Геометрические приложения дифференциального исчисления.
Кратные и криволинейные интегралы
1. Двойной интеграл и его основные свойства. Вычисление двойных интегралов: повторное интегрирование и замена переменных.
2. Тройные и n -кратные интегралы. Их свойства и способы вычисления. Геометрические приложения.
3. Криволинейные интегралы. Длина дуги кривой. Криволинейные интегралы первого и второго рода.
4. Поверхностные интегралы первого и второго рода.
Дифференциальные уравнения
1. Понятие дифференциального уравнения. Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные определения и понятия. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3. Однородные дифференциальные уравнения и уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель.
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные определения и понятия. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
5. Линейные уравнения n -го порядка и их свойства. Общее решение однородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения. Методы построения частного решения неоднородного уравнения. Уравнения с постоянными коэффициентами.
6. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теория функций комплексной переменной
1. Комплексные числа. Комплексная переменная и функции комплексной переменной. Предел функции, понятие непрерывной функции комплексной переменной.
2. Дифференцируемость функций комплексной переменной и условия Коши–Римана. Аналитические функции комплексной переменной. Интеграл по комплексной переменной. Теорема Коши.
3. Ряды аналитических функций. Степенные ряды. Теорема Тейлора. Ряд Лорана. Изолированные особые точки аналитических функций.
4. Теория вычетов. Вычисление интегралов с помощью теории вычетов. Основная теорема высшей алгебры.
5. Конформные отображения. Дробно-линейное отображение. Связь аналитических функций комплексной переменной с гармоническими функциями. Физические приложения теории аналитических и гармонических функций.
6. Понятие преобразования Лапласа.
Ряды
1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости знакоположительных рядов.
2. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.
3. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
4. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
5. Ряды Фурье. Интеграл Фурье.
Векторный анализ
1. Скалярное поле. Векторное поле.
2. Основные операции векторного анализа. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.
3. Соленоидальные и потенциальные поля. Выражение основных операций векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах.
Дискретная математика
1. Множество. Способы задания множеств. Подмножества. Булеан. Операции над множествами, их свойства. Диаграммы Венна. Декартово произведение множеств. Отношения между множествами, их свойства.
2. Комбинаторные задачи. Основные правила комбинаторики. Размещения, сочетания, перестановки.
3. Булева алгебра. Аксиомы булевой алгебры. Дизъюнктивные и конъюнктивные формы булевых функций. Теоремы поглощения, склеивания, де Моргана. Карта Вейча.
4. Графы. Основные определения. Классификация графов. Способы задания графов. Маршруты, цепи и циклы. Изоморфизм, гомеоморфизм графов.
5. Эйлеровы графы, эйлеровы циклы. Гамильтоновы графы, гамильтоновы циклы. Дерево, лес. Плоские и планарные графы. Формула Эйлера.
Теория вероятностей и математическая статистика
1. Аксиоматика теории вероятностей. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности.
2. Определение условной вероятности. Независимость событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра—Лапласа и Пуассона.
3. Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Непрерывные и дискретные распределения. Примеры распределений: нормальное, пуассоновское, биномиальное, равномерное, показательное.
4. Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты случайных величин; их свойства. Ковариация, коэффициент корреляции.
5. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Теорема Чебышева.
6. Предельные теоремы. Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова.
7. Цепи Маркова. Определение. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях (без доказательства). Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение.
8. Математическая статистика. Выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятия состоятельности и несмещенности оценок. Понятие о доверительных интервалах и статической проверке гипотез.
9. Элементы корреляционного анализа. Основные свойства регрессии. Уравнения линейной регрессии. Теснота связи и ее оценка по коэффициенту корреляции. Понятие о нелинейной регрессии. Корреляционное отношение.
10. Системы массового обслуживания.
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
1–10. Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; 2) найти все корни уравнения 
.
1.  .
| 2.  .
| 3.  .
| 4.  .
|
5.  .
| 6.  .
| 7.  .
| 8.  .
|
9.  .
| 10.  .
|
11 – 20. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом Гаусса.
11.  .
| 12.  .
| 13.  .
|
14.  .
| 15.  .
| 16.  .
|
17.  .
| 18.  .
| 19.  .
|
20.  .
|
21–30. Даны вершины треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС; 3) уравнение медианы, проведенной из вершины В; 4) внутренний угол А в радианах; 5) уравнение высоты СD и ее длину. Сделать чертеж.
21. 
| 22. 
|
23. 
| 24. 
|
25. 
| 26. 
|
27. 
| 28. 
|
29. 
| 30. 
|
31 – 40. Линия задана уравнением 
в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, от 
до 
; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.
31. 
| 32. 
|
33. 
| 34. 
|
35. 
| 36. 
|
37. 
| 38. 
|
39. 
| 40. 
|
41 – 50. Найти область определения функции.
41.  .
| 42.  .
|
43.  .
| 44.  .
|
45.  .
| 46.  .
|
47.  .
| 48.  .
|
49.  .
| 50.  .
|
51 – 60. Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя.
51.а)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  .
| 52.a)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  .
|
53.a)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  .
| 54.a)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  .
|
55.a)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  .
| 56.a)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  .
|
57.a)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  .
| 58.a)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  .
|
59.a)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  .
| 60.a)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
д)  .
|
61–70. Найти производные данных функций.
61.а)  б)  в) 
г)  д)  е) 
|
62.а)  б)  в) 
г)  д)  е) 
|
63.а)  б)  в) 
г)  д)  е) 
|
64.а)  б)  в) 
г)  д)  е) 
|
65.а)  б)  в) 
г)  д)  е) 
|
66.а)  б)  в) 
г)  д)  е) 
|
67.а)  б)  в) 
г)  д)  e) 
|
68.а)  б)  в) 
г)  д)  e) 
|
69.а)  б)  в) 
г)  д)  e) 
|
70.а)  б)  в) 
г)  д)  e) 
|
71–80. Вычислить приближенно с помощью дифференциала, сохраняя два верных знака после запятой.
71. 
| 72. 
|
73. 
| 74. 
|
75. 
| 76. 
|
77. 
| 78. 
|
79. 
| 80. 
|
81 – 90. Провести полное исследование функции и построить график.
81. 
| 82. 
| 83. 
| |||
84. 
| 85. 
| 86. 
| |||
87. 
| 88. 
| 89. 
| 90. 
| ||
91 – 100. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.
91.а)  б) 
в) 
| 92.а)  б) 
в) 
|
93.а)  б) 
в) 
| 94.а)  б) 
в) 
|
95.а)  б) 
в) 
| 96.а)  б) 
в) 
|
97.а)  б) 
в) 
| 98.а)  б) 
в) 
|
99.а)  б) 
в) 
| 100.а)  б) 
в) 
|
101 – 110. Вычислить определенные интегралы.
101. 
| 102. 
| 103. 
| 104. 
|
105. 
| 106. 
| 107. 
| 108. 
|
109. 
| 110. 
|
111 – 120. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми. Выполнить чертеж.
111.  , 
| 112.  , 
|
113.  , 
| 114.  , 
|
115.  , 
| 116.  , 
|
117.  , 
| 118.  , 
|
119.  , 
| 120.  , 
|
121 – 130. Найти область определения функции двух переменных и построить эту область на координатной плоскости.
121. 
| 122. 
|
123. 
| 124. 
|
125. 
| 126. 
|
127. 
| 128. 
|
129. 
| 130. 
|
131 – 140. Доказать, что для заданных функций верно равенство
.
131.  .
| 132.  .
|
133.  .
| 134.  .
|
135.  .
| 136.  .
|
137.  .
| 138.  .
|
139.  .
| 140.  .
|
141 – 150. Вычислить двойной интеграл по области D.
141.  . D: 
|
142.  . D: 
|
143.  . D: 
|
144.  . D: 
|
145.  . D: 
|
146.  . D: 
|
147.  . D: 
|
148.  . D: 
|
149.  . D: 
|
150.  . D: 
|
151–160. Вычислить криволинейные интегралы 
по заданным дугам 
.
151.  отрезок прямой от точки  до точки  .
| |||
152. 
| |||
153.  (первый виток винтовой линии).
| |||
154.  линия пересечения цилиндра  и плоскости  .
| |||
155.  отрезок прямой  от точки  до точки  .
| |||
156.  эллипс
Поиск по сайту©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд Интересно: |