Изучив раздел, студенты должны знать: формулы половинного угла, свойства обратных тригонометрических функций, определения арксинуса, арккосинуса и арктангенса; уметь: преобразовывать сумму тригонометрических функций в произведение и наоборот, решать простейшие тригонометрические неравенства.
Познакомившись на занятиях с основными тригонометрическими тождествами, формулами приведения, при самостоятельном изучении, используя учебник Ю.М. Колягина «Математика», с.288-291, с.293-296, студентам необходимо обратить внимание на следующие вопросы:
1. Формулы половинного угла.
2. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических выражений в произведение.
3. Решение простейших тригонометрических неравенств.
Прежде, чем приступить к решению упражнений, рассмотрите следующий пример:
Пример. Решите неравенство 
.
Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для
которых ордината превосходит 
.
Для x 
[0; 2π] решением данного неравенства будут х 
Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2πn, n 
то sin x также будет не меньше 
Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 2πn, где n . Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все х 
, где n 
Ответ: х , где n
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно знать линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности. Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол α с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1; 0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.
Упражнения для самостоятельного решения
1. Решите неравенства:
а) 
б) 2 
2. Упростите выражения:
а) 
б) 
.
Раздел 7. Функции, их свойства и графики
Изучив раздел, студенты должны знать: свойства обратных тригонометрических функций; уметь: находить область определения и область значений обратной функции, распознавать обратные тригонометрические функции.
Познакомившись на занятиях с различными функциями, их свойствами и графиками, при самостоятельном изучении, используя учебник Ю.М. Колягина «Математика», с.151-153, с.315-326, студентам необходимо обратить внимание на следующие вопросы:
1. Обратная функция, её область определения и множество значений.
2. Обратные тригонометрические функции.
Проверьте себя, подписав под каждым из графиков название соответствующей ему функции и перечислив ее свойства:
Рис.1 Рис.2
Рис.3
Раздел 8. Многогранники
Изучив раздел, студенты должны знать: определение развёртки, определение многогранного угла, теорему Эйлера; уметь: изображать простейшие многогранники, в том числе усечённую пирамиду и наклонную призму.
В процессе самостоятельного изучения раздела, пользуясь учебником Ю.М. Колягина «Математика», с.139-142, с.156, с.183-185, студентам необходимо изучить вопросы:
1. Многогранные углы.
2. Выпуклые многогранники.
3. Теорема Эйлера.
4. Наклонная призма.
5. Усечённая пирамида.
В качестве дополнительной литературы можно пользоваться учебником А.А. Дадаяна «Математика» и сборником задач по математике этого же автора.
Проверьте себя, выполнив тест:
1. Выбери верное утверждение:
а) параллелепипед состоит из шести треугольников;
б) противоположные грани параллелепипеда имеют общую точку;
в) диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
2. Количество ребер шестиугольной призмы равно:
а) 18;
б) 6;
в) 24;
г) 12;
д) 15.
3. Наименьшее число граней призмы равно:
а) 3;
б) 4;
в) 5;
г) 6;
д) 9.
4. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:
а) диагональю;
б) медианой;
в) апофемой.
5. Свойство пирамиды: если две грани пирамиды перпендикулярны основанию, то их линия пересечения является:
а) высотой пирамиды;
б) апофемой пирамиды;
в) радиусом окружности, описанной около основания.
6. Ребро куба объемом 27 см3 равно:
а) 3;
б) 4;
в) 9.
7. Диагональ многогранника – это отрезок, соединяющий
а) любые две вершины многогранника;
б) две вершины, не принадлежащие одной грани;
в) две вершины, принадлежащие одной грани.
8. Усеченная пирамида называется правильной, если …
а) ее основания – правильные многоугольники;
б) она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию;
в) ее боковые грани – прямоугольники.
9. Свойство пирамиды: если боковые ребра пирамиды равнонаклонены к основанию, то они равны, а вершина пирамиды проектируется в центр окружности …
а) описанной около основания;
б) вписанной в основание;
в) основания.
10.Апофема – это …
а) высота пирамиды;
б) высота боковой грани пирамиды;
в) высота боковой грани правильной пирамиды.
11. Выбери верное утверждение:
а) высота усеченной пирамиды – это расстояние между ее основаниями;
б) пирамида называется правильной, если ее основание – правильный
многоугольник;
в) все боковые ребра усеченной пирамиды равны.