Список индивидуальных данных




Лабораторная работа №2. Системы счисления.

Цель: овладеть приемами перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Требования к содержанию, оформлению и порядку выполнения

Перед выполнением лабораторной работы создайте папку «Ваша фамилия Lab 2» (например: «Ivanov Lab 2»). В эту папку в ходе выполнения работы необходимо сохранять требуемые материалы. Далее изучите теоретический материал и выполните последовательно все предложенные задания. После выполнения лабораторной работы ответьте на контрольные вопросы.

Общая постановка задачи

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить все задания, указанные в списке индивидуальных данных.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования:

 

Теоретическая часть

Под системой счисления понимается способ представления чисел с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами и соответствующие ему правила действия над числами.

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Непозиционными системами счисления являются такие системы, в которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от места своего положения в числе. Примером непозиционных систем счисления являются римская, древнеегипетская, вавилонская, славянская системы. К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся местонахождением этой цифры в записи числа. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому правилу. Примером позиционных систем счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы. В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Название позиционной системы счисления определяется количеством различных цифр, употребляемых в данной системе счисления, которое является основанием системы счисления (p).

Любое число X в позиционной системе счисления может быть представлено в виде полинома от основания p:

где X – вещественное число; а – коэффициенты или цифры числа (0≤ а i< p); p – основание системы счисления (p >1); i = – n,…–1, 0, 1, …, k; n и k целые числа.

Представление числа в p –ичной системе счисления в данном виде называется развернутой формой записи числа.

Любое число в p –ичной системе счисления можно записать в виде последовательности цифр, начиная со старшей и отделяя запятой (точкой) целую часть от дробной. То есть представлению числа X в свернутой форме соответствует запись

В аппаратной основе компьютера лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из них обозначается 0, а другое - 1. Поэтому основной системой счисления применяемой в компьютерной технике является двоичная система. С целью сокращения разрядов для записи числа при выводе на экран компьютера используют системы с основанием, являющимся целой степени числа 2: восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Для представления одной цифры восьмеричной системы счисления используется три двоичных разряда (триада), шестнадцатеричной – четыре двоичных разряда (тетрада).

 

Таблица 1. Системы счисления

Перевод целого числа из р -ичной системы счисления в десятичную осуществляется путем представления числа в виде степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится, то есть число записывается в развернутой форме. Затем подсчитывается значение суммы, причем все арифметические действия осуществляются в десятичной системе.

Замечание.

При вычислении десятичного значения р -ичного целого числа по развернутой форме удобно пользоваться схемой Горнера, которая позволяет минимизировать арифметические операции и исключить возведение в степень.

Схема Горнера была на самом деле применена англичанином Горнером (а ещё раньше итальянцем Руффини) для вычисления коэффициентов многочлена p(x+c) и использовалась для приближённого вычисления корней многочленов. Еще одним применением схемы Горнера является быстрый алгоритм перевода из двоичной системы в десятичную, предложенный Соденом в 1953 году: старшую цифру умножаем на основание, добавляем вторую цифру, результат умножаем на основание, добавляем третью цифру и так до тех пор, пока не прибавим последнюю цифру.

Результатом будет десятичная запись числа. Полученное равенство будет справедливо для любых целых p -ичных чисел, а формулу можно записать в общем виде:

Перевод правильной конечной р -ичной дроби в десятичную систему счисления осуществляется аналогично переводу целого числа через развернутую форму представления числа.

Замечание.

При вычислении десятичного значения р -ичной дроби по развернутой форме с использованием калькулятора также целесообразно пользоваться схемой Горнера, что минимизирует количество арифметических действий и исключает возведение в степень.

При переводе неправильной конечной р -ичной дроби в десятичную систему счисления необходимо перевести как целую, так и дробную части с помощью развернутой формы представления чисел.

Замечание. Конечную р -ичную дробь не всегда можно представить в виде конечной десятичной дроби. Если нахождение значения десятичной дроби с помощью развернутой формы представления числа будет затруднено, то исходную дробь следует представить в виде обыкновенной дроби, в числителе которой будет развернутая форма числа, стоящего после точки (запятой), а знаменателем – р в соответствующей степени.

Перевод правильной бесконечной периодической p -ичной дроби в десятичную систему счисления заключается в представлении исходной дроби в виде обыкновенной дроби, в числители которой будет записан период в развернутой форме, а знаменатель – р в соответствующей степени, уменьшенный на единицу.

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в p -ичную

осуществляется последовательным целочисленным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе счисления записывается в виде остатков от деления в обратном порядке, начиная с последнего частного от деления.

Перевод правильной конечной дроби из десятичной системы счисления в p - ичную осуществляется последовательным умножением на основание той системы, в которую она переводится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю, или не выделится период. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе счисления записывается в виде последовательности целых частей произведений, начиная с первого.

При переводе неправильной конечной десятичной дроби в р -ичную систему счисления необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную, а затем их соединить.

 

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби – правильными в любой системе счисления.

Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в р -ичную состоит в том, что периодическую дробь представляем в виде обыкновенной (числителем будет являться период, а знаменателем – 10 в степени, соответствующей количеству цифр периода, уменьшенным на единицу), затем целочисленные числитель и знаменатель переводим в р -ичную систему, далее делим числитель на знаменатель и получаем р -ичную дробь.

Замечание. Конечной или бесконечной периодической десятичной дроби всегда соответствует или конечная, или бесконечная периодическая дробь в р -ичной системе счисления. Перевод бесконечной непериодической дроби (иррационального числа) возможно лишь с определенной степенью точности.

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (таб. 1) и отбросить незначащие нули в старших и младших разрядах.

Для перевода из двоичной в восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления поступают следующим образом: двигаясь от точки разделения целой и дробной части числа влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три или четыре разряда, дополняют при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду или тетраду заменяют соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

 

Для выполнения арифметических операций над числами в ЭВМ используют специальные машинные коды: прямой, обратный и дополнительный. Применение машинных кодов сводит операцию вычитания к алгебраическому суммированию кодов этих чисел, упрощается определение знака результата операции.

В данных машинных кодах перед старшим цифровым разрядом располагается знаковый разряд, в котором записывается нуль для положительного числа и единица для отрицательного числа. В дальнейшем при написании машинных кодов будем отделять знаковый разряд от цифровых разрядов точкой.

Прямой код двоичного числа содержит цифровые разряды, перед которыми записан знаковый разряд. Прямой код используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве ЭВМ.

Например, для двоичных чисел x = +10102 и y = -11012 их прямые коды будут иметь следующий вид:

xпр = 0.10102 и yпр = 1.11012.

Обратный код положительного числа полностью совпадает с его прямым кодом. Для отрицательного числа он содержит единицу в знаковом разряде, а значащие цифровые разряды числа заменяются на инверсные, то есть единицы заменяются нулями, а нули – единицами.

Таким образом, для приведенного выше примера имеем:

xобр = xпр = 0.10102 и yобр = 1.00102.

Дополнительный код положительного числа полностью совпадает с прямым кодом, а следовательно и с обратным. Для отрицательного числа он образуется из обратного путем прибавления к нему единицы к младшему цифровому разряду.

Следовательно, получаем:

xдоп = xобр = xпр = 0.10102 и yдоп = 1.00112.

 

Список индивидуальных данных

Задание 1.

Перевести следующие числа в десятичную систему счисления и проверить результат по схеме Горнера:

a) 1101112

b) 10110111.10112

c) 563.448

d) 721.358

e) 1 С 4. А 16

f) 9 А 2 F. B 516

g) 0.1315

 

Задание 2.

Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления и проверить результат по схеме Горнера:

a) 463

b) 1209

c) 362

d) 3925

e) 11355

 

Задание 3.

Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления с точностью 5-ти знаков после точки:

a) 0.0625

b) 217.375

c) 0.345

d) 31.2375

e) 0.225

f) 725.03125

g) 0.725

h) 8846.04

 

Задание 4.

Выполните переводы:

1) Перевести следующие числа в двоичную систему счисления:

2) Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:

3) Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:

4) Перевести в десятичную систему счисления следующее двоичное число.

5) Перевести десятичное число A в g-е системы счисления.

6) Перевести двоичное число A в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

 

Задание 5.

1) Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления (по варианту).

2) Перевести данное число в десятичную систему счисления (по варианту).

 

 

Контрольные вопросы

1. Что понимают под системой счисления?

2. В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной?

3. Что понимают под алфавитом и основанием системы счисления?

4. Какие системы счисления используются при работе с компьютером?

5. Каковы правила перевода чисел из одной системы счисления в другую?

6. Каковы правила выполнения арифметических операций с двоичными числами?

7. Охарактеризуйте машинные двоичные коды: прямой, обратный и дополнительный?

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-03-24 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: