Лабораторные работы № 1-7




АЛГЕБРА

 

Лабораторные работы №1-7

Издание 2-е, исправленное и дополненное

 

Пермь 2009


Составители: доц. Г.А. Маланьина, ст. преп. В.И. Хлебутина, ст. преп. Т.М.Коневских.

Алгебра: Лабораторные работы № 1-7 / сост.
Г.А. Маланьина, В.И. Хлебутина, Т.М.Коневских; Перм. гос. ун-т; -Изд. 2-е, испр. и доп. – ­Пермь, 2009. – 67 с.

В данном издании приводятся тексты лабораторных работ по ряду разделов алгебры, которые сопровождаются основными теоретическими сведениями и методическими указаниями.

Лабораторные работы 1-7 предназначены для студентов всех специальностей механико-математического факультета и могут быть использованы в качестве индивидуальных заданий.

 


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОД ГАУССА ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ

Система линейных уравнений имеет вид

(1)

Здесь x1,x2,…,xn – неизвестные, aij – коэффициенты при них, bi – свободные члены, i,j=1,…, n.

Решением системы уравнений (1) называется упорядоченная совокупность чисел удовлетворяющая всем уравнениям системы, т.е. обращающая при замене неизвестных на соответствующие числа все уравнения в верные равенства.

Система (1) называется совместной, если имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если каждое решение первой системы является решением второй и наоборот. Для того чтобы две совместные системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы каждое уравнение первой системы было линейной комбинацией уравнений второй системы и обратно.

Рассмотрим следующие преобразования системы линейных уравнений:

1) перестановку двух уравнений системы;

2) умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Применяя к системе (1) преобразования 1), 2), 3), построим эквивалентную систему специального вида. Для этого возьмем в качестве первого уравнения одно из тех уравнений системы (1), где коэффициент при х1 отличен от нуля. Далее будем умножать это уравнение последовательно на , i=2, i=3, …, i=s и прибавлять его почленно к соответствующим уравнениям системы (1).

В результате получаем систему

(2)

во всех уравнениях которой, начиная со второго, будет исключено неизвестное x1. При этом может случиться, что вместе с x1 будут исключены неизвестные x2,…, xk-1, но найдется уравнение, в котором сохранится xk. Поставим его в качестве 2-го уравнения системы. Из всех оставшихся уравнений, кроме первых двух, исключим неизвестное xk, для чего будем умножать второе уравнение на и прибавлять ко всем последующим, т. е. i=3, i=4, …, i=s. И так далее.

В результате такого последовательного исключения неизвестных в каком-нибудь уравнении системы все коэффициенты при неизвестных могут обратиться в нуль. Если при этом свободный член будет отличен от нуля, то полученная система несовместна, а значит, несовместна и эквивалентная ей система (1). Если же свободный член какого-нибудь уравнения обратится в нуль вместе со всеми коэффициентами при неизвестных в этом уравнении, то это уравнение из системы можно отбросить, так как оно не накладывает никаких ограничений на неизвестные.

Таким образом, после последовательного исключения неизвестных число уравнений в получающихся при этом системах может только уменьшиться.

В результате придем к системе одного из видов:

(3)

или

(4)

Система (3) называется системой треугольного вида и, очевидно, имеет единственное решение.

Система (4) называется системой трапециедального вида, она имеет бесконечно много решений. Действительно, если систему (4) переписать в виде

(5)

то, придавая неизвестным xm+1,…,xn произвольные значения, можно для каждого набора решить систему (5) и получить набор который будет являться решением системы (5) и, следовательно, (1).

При этом неизвестные xm+1,…,xn принято называть свободными, а x1,x2,…,xm – основными неизвестными. Очевидно, легко выразить основные неизвестные через свободные, т. е. получить общий вид решения.

При практическом решении системы (1) все описанные преобразования удобно применять не к самой системе, а к матрице

,

составленной из коэффициентов при неизвестных в уравнениях системы, их свободных членов.

Пример 1. Решить систему

Решение. Составим и преобразуем матрицу

Первую строку первой матрицы умножаем на -2, -1, -1 и прибавляем ко второй, третьей и четвертой соответственно. При переходе от второй к третьей матрице первую строку оставляем неизменной, а вторую умножаем на (-3) и прибавляем к четвертой.

Получили четвертое уравнение полученной системы противоречиво, поэтому система несовместна.

Пример 2. Решить систему

Решение. Выпишем расширенную матрицу этой системы и подвергнем ее таким преобразованиям, чтобы она получила треугольный или трапециедальный вид

Восстановим систему линейных уравнений по последней матрице

Полученная система, эквивалентная данной, совместна. Найдем ее решения. Для этого перепишем ее в следующем виде:

Очевидно, если неизвестным x2 и x3 придавать любые значения, получим решение системы: x2=c1, x3=c2, тогда x4=−1, x1=c1-2c2.

Таким образом, имеем общий вид решения: х11-2с2, х21, х32, х4= -1, где с1, с2 – любые числа.

 

ВАРИАНТЫЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1) 2) 3)

 

Вариант 2

1) 2) 3)

 

Вариант 3

1) 2) 3)

 

Вариант 4

1) 2) 3)

 

Вариант 5

1) 2) 3)


Вариант 6

1) 2) 3)

Вариант 7

1) 2) 3)

Вариант 8

1) 2) 3)

Вариант 9

1) 2) 3)

 

Вариант 10

1) 2) 3)

 


Вариант 11

1) 2) 3)

Вариант 12

1) 2) 3)

 

Вариант 13

1) 2) 3)

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексное число в алгебраической форме имеет вид а+bi (1), где а и b – действительные числа, а i – мнимая единица, причем i2= -1. В записи (1) bi называется мнимой частью, а – действительной частью комплексного числа. Два комплексных числа называются равными только в том случае, когда равны их мнимые и действительные части.

Для комплексных чисел вида (1) имеют место следующие операции:

а) сложение (вычитание): ;

б) умножение: ;

в)

(деление возможно только в том случае, когда c+di≠0 (c2+d2≠0)).

Введенные операции обладают всеми свойствами аналогичных операций над действительными числами. Следует обратить внимание, что i2= -1, i3= -i, i4=1, i5=i, i6= -1, ….

Комплексные числа можно отождествить (изобразить) точками некоторой комплексной плоскости, в которой расположим прямоугольную систему координат OXY, причем OX назовем действительной осью и на ней будем откладывать действительную часть комплексного числа, а ось OY – мнимой осью, на ней будем откладывать мнимую часть. Комплексное число а+bi будет точкой этой плоскости.

Рис.1
 
 

Кроме алгебраической формы для комплексных чисел существует еще тригонометрическая форма. Чтобы получить эту форму для числа z=a+bi, обозначим r – расстояние от начала координат до числа z (рис.1), j - угол между положительным направлением оси ОХ и отрезком OZ. Тогда, очевидно, из ∆OAZ получим, что a=rcosφ, b=rsinφ и a+bi=rcosφ+irsinφ. Форма z=r(cosφ+isinφ) называется тригонометрической формой комплексного числа, r – модулем z и записывается r=|z|, а φ – аргументом z, или φ=argz.

Для приведения комплексного числа а+bi к тригонометрической форме используют формулы cosφ= и sinφ= , из которых находят значения φ, а .

Пример 1. Найти тригонометрическую форму комплексного числа A. ; Б. 5i; В. 5+3i.

Решение. А. Так как , то а=1, b= , . Тогда cosφ= ; sinφ= . Откуда следует, что φ= . Окончательно получаем, что .

Б. Изобразим число 5i на комплексной плоскости. Очевидно, что оно расположено на оси ОY, т.е. модуль r=5, а аргумент равен . Записываем число 5i в тригонометрической форме .

В. Модуль z числа 5+3i равен , аргумент φ его находим из соотношений cosφ= , sinφ= по таблицам. Записываем число 5+3i в тригонометрической форме (cosφ+isinφ).

Сложение и вычитание комплексных чисел можно истолковать геометрически. Пусть даны числа α=a+bi, β=c+di. Соединим отвечающие им точки на комплексной плоскости с началом координат и построим на этих отрезках, как на сторонах, параллелограмм. Четвертой вершиной этого параллелограмма будет точка, которая отвечает числу α+β (рис.2).

Рис.2

 
 
Рис.2

 


Таким образом, сложение комплексных чисел геометрически выполняется по правилу сложения векторов, выходящих из начала координат, модуль суммы векторов α и β равен длине диагонали ОС параллелограмма АОВС.


Вычитание комплексных чисел можно заменить сложением α-β=α+(-β), поэтому геометрически разность векторов можно описать так. На комплексной плоскости отмечаем точки А, В, Д, соответствующие числам α, β и –β. Складываем числа α и –β, т.е. строим параллелограмм АОДК (рис.3). Точка К, четвертая вершинпараллелограмма отвечает числу α-β.

 
Модуль числа α-β равен длине диагонали ОК параллелограмма АОДК. Очевидно, параллелограммы АОВС и
Рис.3
АОДК конгруэнтны. Поэтому модуль разности равен также длине диагонали АВ параллелограмма АОВС. Известно, что │α–β│=k, то числу α отвечает точка, отстоящая от точки В на расстоянии k. Тогда точки, изображающие числа z, удовлетворяющие равенству │α–β│=k, есть точки, отстоящие от точки В, изображающей число β, на расстояние k: они составляют окружность на комплексной плоскости с центром в точке В радиуса k.

Действия умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня удобно производить, когда эти числа заданы в тригонометрической форме следующим образом:

1. [r(cosφ+isinφ)][R(cosψ+isinψ)]=rR(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ));

 

2. ;

 

 

3. [r(cosφ+isinφ)]n=rn(cosnφ+isinnφ);

 

4. k=0,1,…,n-1.


Пример 3. Найти .

Решение. Запишем число в тригонометрической форме

. Применим формулу Муавра

Пример 4. Найти .

Решение. Запишем число i в тригонометрической форме . Применяем формулу

Записываем значения корня последовательно для k=0,1,2:

Пример 5. Найти геометрическое место точек, изображающих числа z, удовлетворяющих неравенству: А. │z│≤5, Б. ≤π,
В. │z–3i│>2.

Решение.

А. Так как модуль комплексного числа есть расстояние от начала координат до точки, изображающей его, то точки, изображающие комплексные числа с условием │z│≤5, составляют круг радиуса 5 с центром в начале координат. Точки окружности также принадлежат этой области.

Б. Так как аргумент комплексного числа – это угол, составленный положительным направлением оси ОХ и отрезком, соединяющим начало координат с точкой, изображающей его, то геометрическое место точек, изображающих числа z, удовлетворяющее соотношению ≤π, есть множество точек второго координатного угла. Точки оси ОХ входят, а точки оси ОY не входят в эту область.

В. Из геометрического смысла вычитания следует, что такие точки составляют внешнюю часть окружности радиуса 2 с центром в точке А, отвечающей числу 3i. Точки окружности в эту область не входят (рис.4).

Рис.4
Извлечение квадратного корня из комплексного числа a+bi удобно производить следующим образом. Пусть . Из равенства a+bi=(u+vi)2 следует . Из этой системы уравнений нам надо найти u, v. Возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим, получаем (u2–v2)2+4u2v2=a2+b2, откуда . Учитывая, что u2–v2=a, находим . Тогда . Полученные значения u, v нельзя комбинировать между собой произвольным образом, так как знак произведения uv должен совпадать со знаком числа b. Это дает две возможные комбинации u, v, т.е. два числа вида u+iv, которые являются значениями квадратного корня из числа a+bi. Эти числа отличаются друг от друга знаком.

Пример 6. Найти .

Решение. Обозначим . Для вычисления u и v применяем формулы

.

Знаки u и v должны быть различными, так как b= -20<0, поэтому .

 

Пример 7. Решить уравнение x2– (2+i)x+(–1+7i)=0.

 

Решение. По формуле корней квадратного уравнения , или . Извлечение квадратного корня производим как и в предыдущем примере: .

Таким образом, , поэтому,

Ответ: x1= -1+2i; x2=3-i.

 

ВАРИАНТЫЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

 

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–i|>1; 2) |z–i+3|≤3.

 

3. Решить уравнение x2– (2+i)x+(–1–5i)=0.

 


Вариант 2

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–2+3i|≤3; 2) |z+i|>4.

 

3. Решить уравнение x2+(2+2i)x+3–2i=0.

 

Вариант 3

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

 

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–2+i|≤2; 2) |z+i|=2.

 

3. Решить квадратное уравнение x2+(–1+3i)x–2i–2=0.

 

Вариант 4

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

 

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+2i|>3; 2) |z–1–2i|≤1.

 

3. Решить уравнение x2+(i–1)x+6+2i=0.

 

Вариант 5

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

 

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+2i–3|>2; 2) |z–3i|≤3.

 

3. Решить уравнение x2+(3+4i)x+5+15i=0.

 

Вариант 6

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

 

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–2i–3|>2; 2) |z+3i|≤1.

 

3. Решить уравнение x2– (2i+1)x+8+4i=0.

 

Вариант 7

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

 

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+1+2i|≥1; 2) |z–3i|<3.

 

3. Решить уравнение x2+(–2+3i)x–3i–1=0.

 

Вариант 8

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

 

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+2i|≤1; 2) |z+1+i|>3.

 

3. Решить уравнение x2–х(i–2)+12–8i=0.

 

 

Вариант 9

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+4+2i|>1; 2) |z–5i|≤3.

 

3. Решить уравнение x2+(–2+3i)x–3i–1=0.

 


Вариант 10

1. Вычислить: 1) ; 2) 3) .

 

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–1+3i|≤2; 2) |z+2i|>2.

 

3. Решить уравнение x2–х(2i–5)+3–15i=0.

 

Вариант 11

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

 

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–i+2|≤1; 2) |z–4i|>1.

 

3. Решить уравнение x2+5x+7–i=0.

 

Вариант 12

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

 

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+i+2|≤1; 2) |z+3i|>3.

 

3. Решить уравнение x2– (5+4i)x+3+11i=0.

Вариант 13

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

 

2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+i+2|≥3; 2) |z–i+1|<1.

 

3. Решить уравнение x2– (4+i)x–8i+6=0.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ

 

Пусть даны ненулевые многочлены f(x) и φ(x). Если остаток от деления f(x) на φ(х) равен нулю, то многочлен φ(х) называется делителем многочлена f(х). Имеет место следующее утверждение: многочлен φ(х) тогда и только тогда будет делителем многочлена f(х), когда существует многочлен ψ(х), удовлетворяющий равенству f(х)=φ(х)ψ(х). Многочлен φ(х) называется общим делителем произвольных многочленов f(x) и g(x), если он является делителем каждого из этих многочленов. Согласно свойствам делимости, к числу общих делителей многочленов f(x) и g(x) принадлежат все многочлены нулевой степени. Если эти многочлены не имеют других общих делителей, то их называют взаимно простыми и записывают (f(x), g(x))=1. В общем же случае многочлены f(x) и g(x) могут обладать общими делителями, зависящими от х.

Как и для целых чисел, для многочленов вводится понятие их наибольшего общего делителя. Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов f(x) и g(x) называется такой их общий делитель d(x), который делится на любой общий делитель этих многочленов. Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) обозначают символами НОД, d(x), (f(x), g(x)). Заметим, что такое определение НОД имеет место и для целых чисел, хотя чаще используется другое, известное всем студентам.

В связи с этим определением возникает ряд вопросов:

1. Существует ли НОД для произвольных ненулевых многочленов f(x) и g(x)?

2. Как найти НОД многочленов f(x) и g(x)?

3. Сколько наибольших общих делителей имеют многочлены f(x) и g(x)? И как найти их?

Существует способ нахождения НОД целых чисел, называемый алгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида. Он применим и к многочленам, состоит в следующем.

Алгоритм Евклида. Пусть даны многочлены f(x) и g(x), степень f(х)≥степени g(x). Делим f(x) на g(x), получаем остаток r1(x). Делим g(x) на r1(x), получаем остаток r2(x). Делим r1(x) на r2(x). Так продолжаем деление до тех пор, пока не совершится деление нацело. Тот остаток rk(x), на который нацело делится предыдущий остаток rk-1(x), и будет наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x).

Сделаем следующее замечание, полезное при решении примеров. Применяя алгоритм Евклида к многочленам для нахождения НОД, мы можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить делитель на любое не равное нулю число, причем, не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени, что, как мы знаем, допускается при разыскивании делителей.

 

Пример 1. Найти НОД многочленов f(x)=x3–x2–5x–3,
g(x)=x2+x–12. Делим f(x) на g(x):

.

Первый остаток r1(x) после сокращения на 9 будет х–3. Делим g(x) на r1(x):

.

Деление произошло нацело. Следовательно, r1(x)=х–3 есть НОД многочленов x3–x2–5x–3 и x2+x–12.

Пример 2. Найти НОД многочленов f(x)=3x3+2x2–4x–1,
g(x)=5x3–3x2+2x–4. Умножаем f(x) на 5 и делим 5f(x) на g(x):

Первый остаток r1(x) будет 19х2–26х+7. Делим g(x) на первый остаток, предварительно умножив g(x) на 19:

Умножаем на 19 и продолжаем деление:

Сокращаем на 1955 и получаем второй остаток r2(x)=х-1. Делим r1(x) на r2(x):

.

Деление совершилось нацело, следовательно, r2(x)=х-1 есть НОД многочленов f(x) и g(x).

 

Пример 3. Найти НОД многочленов f(x)=3x3–x2+2x–4,
g(x)=x3–2x2+1.

. .

.

Ответ: (f(x), g(x))=х–1.

 

Этот способ нахождения НОД показывает, что если многочлены f(x) и g(x) имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и коэффициенты их наибольшего общего делителя также будут рациональными или, соответственно, действительными.

Многочлены f(x), g(x) и d(x) связаны следующим соотношением, которое часто используется в различных вопросах и описывается теоремой.

Если d(x) есть наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x), то можно найти такие многочлены u(x) и v(x), что f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x). Можно считать при этом, если степени многочленов f(x) и g(x) больше нуля, то степень u(x) меньше степени g(x), а степень v(x) меньше степени f(x).

Покажем на примере, как найти многочлены u(x) и v(x) для заданных многочленов f(x) и g(x).

 

Пример 4. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), если

A) f(x)=х4-3х3+1, g(x)=х3-3х2+1;

B) f(x)=х43+3х2-5х+2, g(x)=х3+х-2.

 

А. Находим НОД многочленов f(x) и g(x), пользуясь алгоритмом Евклида, только теперь в процессе деления нельзя производить сокращение и домножение на подходящие числа, как мы делали в примерах 1, 2, 3.

(1) (2)

(3)

Таким образом, общим делителем многочленов f(x) и g(x) является –1.

Согласно произведенному делению записываем равенства:

f(x)=g(x)х+(–х+1) (1*)

g(x)=(–х+1)(–х2+2х+2)–1. (2*)

Из равенства (2*) выразим d(x)= –1=g(x)–(–x+1)(–x2+2x+2). Из равенства (1*) находим –х+1=f(x)–g(x)х и подставляем его значение в равенство (2*): d(x)= –1=g(x)–(f(x)–g(x)х)(–x2+2x+2).

Теперь группируем слагаемые в правой части относительно f(x) и g(x):

d(x)= –1=g(x)–f(x)(–x2+2x+2)+g(x)x(–x2+2x+2)=f(x)(x2–2x–2)+g(x)(1–x3 +2x2+2x)=f(x)(x2–2x–2)+g(x)(–x3+2x2+2x+1).

Следовательно, u(x)=x2–2x–2, v(x)= –x3+2x2+2x+1.

Наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x) является многочлен 2х-2. Выражаем его, используя равенства (1) и (2):

 

Ответ:

 


ВАРИАНТЫЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Найти НОД многочленов:

а) х4–2х3–х2–4х–6, 2х4–5х3+8х2–10х+8.

б) (х–1)3(х+2)2(2х+3), (х–1)4(х+2)х.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=х6-4х5+11х4-27х3+37х2-35х+35,

g(x)=х5-3х4+7х3-20х2+10х-25.

 

Вариант 2

1. Найти НОД многочленов:

а) х4-3х3-3х2+11х-6, х4–5х3+6х2+х-3.

б) (2х+3)3(х-2)2(х+1) и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x),g(x)), если

f(x)=3х7+6х6-3х5+4х4+14х3-6х2-4х+4, g(x)=3х6-3х4+7х3-6х+2.

 

Вариант 3

1. Найти НОД многочленов:

а) 2х43+4х2-4х-3, 4х4-6х3-4х2+2х+1.

б) (х+1)2(2х+4)3(х+5)5, (х-2)2(х+2)4(х-1).

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=3х3-2х2+2х+2, g(x)=х2-х+1.

 

Вариант 4

1. Найти НОД многочленов:

а) 3х4-83+7х2-5х+2, 3х4-2х3-3х2+17х-10.

б) (х+7)2(х-3)3(2х+1) и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=х43-4х2+4х+1, g(x)=х2-х-1.

 

Вариант 5

1. Найти НОД многочленов:

а) 2х4-3х32+3х-1, х43-х-1.

б) х4(х-1)2(х+1)3, х3(х-1)3(х+3).

 

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=3х5+5х4-16х3-6х2-5х-6, g(x)=3х4-4х32-х-2.

 

Вариант 6

1. Найти НОД многочленов:

а) х4-2х3+4х2-2х+3, х4+5х3+8х2+5х+7.

б) х3(х+1)2(х-1) и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=х5-5х4-2х3+12х2-2х+12, g(x)=х3-5х2-3х+17.

 

Вариант 7

1. Найти НОД многочленов:

а) х4+3х3-3х2+3х-4, х4+5х3+5х2+5х+4.

б) (2х+1)(х-8)(х+1), (х3+1)(х-1)2х3.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=4х4-2х3-16х2+5х+9, g(x)=2х32-5х+4.

 

Вариант 8

1. Найти НОД многочленов:

а) х4-3х3-2х2+4х+6, 2х4-6х3+2х2-7х+3.

б) (х3-1)(х2-1)(х2+1), (х3+1)(х-1)(х2+2).

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=2х4+3х3-3х2–5х+2, g(x)=2х32-х-1.

 

Вариант 9

1. Найти НОД многочленов:

а) 2х43-5х2+3х+2, 3х4+8х3+3х2-3х-2.

б) (х3+1)(х+1)2(2х+3) и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=3х4-5х3+4х2–2х+1, g(x)=3х3-2х2+х-1.

Вариант 10

1. Найти НОД многочленов:

а) х4-5х3+7х2-3х+2, 2х43-7х2+3х-2.

б) (х+1)(х2-1)(х3+1), (х3-1)(х2+х)х.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=х5+5х4+9х3+7х2+5х+3, g(x)=х4+2х3+2х2+х+1.

 

Вариант 11

1. Найти НОД многочленов:

а) 2х4-3х3+10х2-9х+12, 3х43+10х2+3х+3.

б) (х3-8)(х3+1)(х+1), (х-2)2(х+3).

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если f(x)=х4+1, g(x)=х3+х.

 

Вариант 12

1. Найти НОД многочленов:

а) 2х43-2х2-2х-1, 2х43-5х2-4х-2.

б) (х+1)32-1)х2 и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если f(x)=х42+х-1, g(x)=х3-1.

 

Вариант 13

1. Найти НОД многочленов:

а) х4-2х3+2х2-1, 3х4-5х3+3х2+х-2.

б) (х3-1)(х-1)33 и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если f(x)=х432-1, g(x)=х3+1.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ, КРАТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Определение 1. Если многочлен f(x) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена f(x) (или уравнения f(x)=0).

Пример 1. f (x)=x5+2x3-3x.

Число 1 является корнем f(x), а число 2 не является корнем f(x), так как f(1)=15+2∙13-3∙1=0, а f(2)=25+2∙23-3∙2=42≠0.

Оказывается, корни многочлена связаны с его делителями.

Число с тогда и только тогда является корнем многочлена f(x), когда f(х) делится на х-с.

Определение 2. Если с - корень многочлена f(х), то f(х) делится на х-с. Тогда найдется натуральное число k, что f(х) делится на (х-с)k, но не делится на (х-с)k+1. Такое число k называется кратностью корня с многочлена f(х), а сам корень с - k-кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то корень с называют простым.

Для нахождения кратности k корня с многочлена f(х) применяют теорему:

Если число с является k-кратным корнем многочлена f(х), то при k>1 оно будет (k-1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k=1, то с не будет служить корнем для f '(х).

Следствие. k-кратный корень многочлена f(х) впервые не будет служить корнем для k-й производной.

Пример 2. Убедиться, что число 2 является корнем многочлена f(х)=х4-4х3+16х-16. Определить его кратность.

Решение. Число 2 является корнем f(х), так как 24-4∙23+16∙2-16=0.

f '(x)=4x3-12x2+16, f '(2)=4∙23-12∙22+16=0;

f ''(x)=12x2-24x, f ''(2)=12∙22-24∙2=0;

f '''(x)=24x-24, f '''(2)=24∙2-24≠0.

Число 2 впервые не является корнем f'''(х), поэтому число 2 является трехкратным корнем многочлена f(х).

Пусть



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-03-24 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: