Изучения явления центрального удара шаров

Цель работы: Изучения закона сохранения импульса при прямом центральном ударе шаров, определения коэффициента восстановления и времени соударения шаров.

Приборы и принадлежности: измерительная установка и набор шаров.

Теоретическое введение

Примеры применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальных физических задач является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Ударом называется кратковременное взаимодействие соприкасающихся тел, приводящее к значительному изменению их движения. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать систему тел в процессе их соударения как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения. Процесс удара в общем случае обычно разделяют на две фазы. Первая фаза-с момента соприкосновения тел до момента, когда относительная скорость центров масс тела становится равной нулю. Вторая фаза –от этого последнего момента, когда соприкосновение тел прекращается. С момента возникновения деформаций в месте соприкосновения тел начинают действовать силы, направленные противоположно относительным скоростям тел.

Возникшие в результате действия силы ускорения уменьшают скорость тел до тех пор, пока они не станут одинаковыми, или пока относительная скорость тел не станет равной нулю. При этом происходит переход энергии механического движения тел в энергию деформации. С момента, когда относительная скорость стала равной нулю, начинается частичное или полное восстановление деформации. Силы, продолжая действовать в прежнем направлении, сообщают теперь ускорение, совпадающее по направлению со скоростями. Скорости тел возрастают по абсолютной величине, направления изменяются на противоположные по сравнению к начальным. Наконец тела расходятся, и удар заканчивается. В этой фазе кинетическая энергия системы растет за счет положительной работы упругих сил. У реальных тел относительная скорость после удара не достигает того значения, которое имелось до удара, так как часть механического движения необратимо переходит в молекулярно-тепловую и другие формы энергии. Различают следующие виды ударов: центральный –прямой (рис.1 а) и косой (рис.1 б), нецентральный –прямой (рис.1 в) и косой (рис.1 г). Прямая совпадающая с нормалью к поверхности тел в точке их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если линия удара проходит через центры масс тел. Если векторы скоростей шаров до удара лежат на линии удара, то удар называется прямым, а если не лежат -косым. Для характеристики потери кинетической энергии и относительной скорости при ударе вводится коэффициент восстановления К, определяемый по формуле

, (1)

где и -скорости центров масс соответственно первого и второго шаров до удара; и -их скорости после удара. Если К =1, то потери кинетической энергии нет и такой удар называется абсолютно упругим, при К =0 удар называется абсолютно неупругим, в реальных случаях 0< K <1.

Абсолютно неупругий удар (К =0) характеризуется тем, что потенциальная энергия упругих деформаций не возникает. При абсолютном неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения полной энергии. В этом случае оба тела движутся после удара как одно целое, с одной и той же скоростью (), определяемой из закона сохранения импульса:

.

До удара общая кинетическая энергия системы Е₀ равна сумме кинетических энергий первого Е₁₀ и второго Е₂₀ шаров.

,

а после удара

,

где Е₁ и Е₂ кинетическая энергия соответственно первого и второго шаров после удара.

Следовательно, потеря кинетической энергии или работе при неупругой деформации тел.

.

Если второй шар до удара неподвижен (u ₂₀=0), получим

.

Абсолютно упругим ударом (К =1) называется такой удар, при котором суммарная механическая энергия тел к концу удара не переходит ни во внутреннюю, нив какие либо другие виды энергии.

При таком ударе кинетическая энергия на первой фазе удара переходит полностью или частично в потенциальную энергию деформации, которая затем опять переходит в кинетическую энергию.

При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии, поскольку перед ударом и после удара тела не деформированы (т.е. потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю), то закон сохранения энергии можно записать как закон сохранения кинетической энергии

или , (2)

где

По закону сохранения импульса

(3)

решая совместно (2) и (3), найдем импульсы шаров после удара.

. (4)

Проанализируем соотношения (4). Если m₁=m₂ (массы шаров одинаковы), то и , т.е. шары одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются импульсами, в частности, если второй шар до удара покоится, то первый шар после соударения остановится. Факт такой остановки может служить подтверждением абсолютно упругого удара. В случае m₂ >> m₁ и u₂₀=0 (то второй шар покоится) имеем , т.е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара в противоположную сторону с первоначальной по модулю скоростью.

Неупругий удар сопровождается остаточной деформацией (0< К <1), т.е. имеет место всеобщий закон сохранения и превращений энергии. О степени деформации можно судить по значению энергии, затраченной на эту деформацию. Энергию остаточной деформации Е_деф можно определить, зная коэффициент восстановления.

Если 2-й шар до удара покоится, то закон сохранения энергии при ударе двух одинаковых шаров (m₁=m₂= m) запишется так:

(5)

где Е_деф –энергия остаточной деформации одного шара (т.к. шары одинаковы). Преобразуя выражение (5), получим

. (6)

Рассмотрим упругую силу взаимодействия и время соударения. Изменение импульса каждого из шаров происходит благодаря упругой силе взаимодействия при ударе. В течения соударения сила меняется со временем по определенному закону. Согласно закону динамики, зная изменение импульса одного из шаров и время соударения, находим среднюю силу взаимодействие шаров.

, (7)

где Dt=t₂-t₁; t₁, t₂ –моменты начала и конца соударений соответственно.

Среди вопросов, связанных с ударом, в частности интересен вопрос о времени соударения (продолжительности удара). Для иллюстрации влияния масс и размеров шаров на время удара, интересно, сопоставить время удара двух стальных одинаковых шаров малой массы, например, 0,5 кг, и двух стальных шаров гигантской массы, например, равной массе Земли при начальной относительной скорости 10³ м/с. В первом случае удар длился бы десятитысячные доли секунды, во втором –несколько часов. Чтобы понять, от чего зависит время соударения тел, рассмотрим соударения шаров о стенку. При взаимодействии со стенкой шар деформируется, причем поверхность контакта в любой момент времени представляет круг диаметром D (рис. 2). Площадь этого круга с течением времени взаимодействия будет увеличиваться.

Энергию упругих деформаций Е_упр шара, как показывает приближенный расчет, можно выразить зависимостью

Е_упр=1,31Ех³, (8)

где х -смещение частиц материала шара вдоль линии удара. Закон сохранения энергии для данного случая запишется в виде

(9)

где u - скорость шара в момент соударения. Подставляя (8) в (9) и учитывая соотношение a²=N/r и , получим

, (10)

где a –скорость распространения продольной упругой волны; (для стали a =5300 м/с); N – модуль Юнга; r -плотность материала (сталь) шара. Проинтегрировав уравнение (10), определим время соударения шара со стенкой

. . (11)

как следует из полученной зависимости (11), время контакта шаров Dt_р линейно зависит от его радиуса R и скорости удара.