Цель работы: Изучение законов сохранения при неупругом соударении двух тел. Определение скорости полета пули при помощи крутильно-баллистического маятника.
Приборы и принадлежности: Крутильно –баллистический маятник, стреляющее устройство, универсальный миллисекундомер.
Теоретическое введение
Крутильно–баллистический маятник представляет собой массивное тело, подвешенное на тонкой упругой струне или кварцевой нити (рис.1). при попадании в него выпущенной стреляющим устройством «пули» маятник начинает совершать крутильные колебания, т.е. повороты по часовой и против часовой стрелки попеременно. Пуля соударяется с маятником не упруго (застревает в мишени) и, следовательно, совершает колебания вместе с маятником.
|
Если импульс непосредственно перед ударом будет равен mu, то возможный момент импульса пули относительно оси колебаний можно записать так:
Ln=mu l (1)
где l –расстояние от оси колебаний до точки, в которой происходит удар: m –масса пули; u -скорость пули.
Маятник до удара неподвижен, поэтому момент его импульса равен нулю.
LМ=0. (2)
Очевидно до соударения система “маятник-пуля” будет иметь момент импульса, равный:
L1= LМ +Ln. (3)
С учетом (1) и (2) перепишем (3) в виде:
L1= Ln = mu l. (4)
После удара момент импульса пули определится соотношением
L¢n=Inw, (5)
где In –момент инерции пули относительно оси колебаний маятника, w -его угловая скорость.
Момент импульса маятника после удара будет иметь вид
L¢М=Iw, (6)
где I –момент инерции маятника относительно оси его колебаний, w - угловая скорость маятника в момент окончания взаимодействия пули с мишенью.
Следовательно, после удара момент импульса в той же системе “маятник-пуля” будет иметь вид:
L2 =L¢n + L¢М. (7)
С учетом (5) и (6) перепишем (7) в виде
L2 =(In + I)w. (8)
Согласно закону сохранения момента импульса можно записать
L1 = L2. (9)
Из уравнений (4), (8), (9) находим, что
mu l=(In + I)w. (10)
поскольку масса пули значительно меньше массы маятника, то можно пренебречь моментом инерции пули по сравнению с моментом инерции маятника, т.е. принять In =0. С учетом этого (10) примет вид
mu l=Iw,
откуда получаем для скорости пули следующее соотношение:
, (11)
где m –масса пули. Величина m и l измеряются непосредственно, а величины w и I измеряются следующим образом.
Для определения угловой скорости w используем закон сохранения и превращения энергии, в крутильных колебаниях (аналогично линейным колебаниям) он сводится к тому, что кинетическая энергия Ек в положении равновесия, когда нить подвеса не закручена, равна потенциальной энергии Еп в наибольшем удалении от него, когда нить подвесам максимально закручена т.е. Ек=Еп. кинетическая энергия крутильных колебаний баллистического маятника определится по формуле:
(12)
Так как In << I, то с учетом этого формулу (12) можно переписать в виде:
(13)
с другой стороны Еп –потенциальная энергия упругой деформации кручения, которая измеряется работой, которую нужно совершить внешней закручивающей силой, т.е.
Еп=А. (14)
Используя закон Гука
М=-kj, (15)
где М –момент силы упругости (упругий момент), j -угол закручивания,
k –модуль кручения, а также, используя третий закон Ньютона, можно записать, что момент закручивающей силы равен:
М1= - М. (16)
Сравнивая равенства (15) и (16), находим, что
М1=kj. (17)
Отсюда видно, что момент закручивающей силы (как и момент упругой силы) является величиной переменной, зависящая от угла закручивания j. Поэтому для вычисления работы надо пользоваться теорией бесконечной малых величин. Взять угол закручивания столь малым (dj), чтобы в его пределах было M=const. Тогда можно записать
dА=М1dj.. (18)
Из (17), (18) следует
dА= kjdj.. (19)
Работа закручивания проволоки на конечный угол определится, если равенство (19) проинтегрировать.
. (20)
Сравнивая формулы (14) и (20), получим потенциальную энергию упругой деформации кручения
. (21)
учитывая, что Ек=Еп , левой части формул (13) и (21) можно приравнять
,
откуда
. (22)
Период колебаний крутильно-баллистического маятника определяется формулой
. (23)
Из (22), (23) имеем 
, откуда
(24)
Равенство (24) является рабочей формулой для определения угловой скорости.
Для определения момента инерции маятника исключим величину k из формулы (23). Для этого необходимо изменять момент инерции маятника, увеличивая или уменьшая расстояние между грузами. Тогда
(25)
I1 -I=DI, (26)
где Т1 –период колебаний при новом значении момента инерции I1; DI –разность моментов инерции.
Из двух уравнений (25) можно записать следующее соотношение
(27)
Из уравнения (26) и (27) следует
(28)
Величину DI определяют, учитывая теорему Штейнера. Очевидно,
I1 = I0+2(МR21+ I*0), (29)
I = I0+2(МR21+ I*0), (30)
где I0 –момент инерции системы без грузов относительно оси ее вращения, I*0 – момент инерции груза с массой относительно оси, проходящей через центр тяжести груза и параллельной оси вращения маятника, I –момент инерции всей системы, когда центр тяжести каждого груза находится на расстоянии R от оси вращения, МR2 –момент инерции груза относительно оси маятника, I1 –момент инерции системы, когда оба груза находятся на расстоянии R1, М –масса одного груза.
Пусть R1 > R, тогда из уравнений (29), (30) получаем
DI = I1 –I=2М (R21 - R2), (31)
Из (28), (31)
. (32)
По формуле (32) определяем момент инерции маятника
Из уравнений (11), (24), (32) окончательно получим
(33)