Для упрощения расчетов все параметры, кроме длины и ширины помещения, примем такими же, как в первом примере. Очевидно, что в прямоугольных плитах перекрытия моменты, действующие относительно оси х и относительно оси z, не равны между собой. И чем больше разница между длиной и шириной помещения, тем больше плита напоминает балку на шарнирных опорах и при достижении некоторого значения влияние поперечной арматуры становится практически неизменным. Опыт проектирования и экспериментальные данные показывают, что при соотношении λ = l2 / l1 > 3 поперечный момент будет в пять раз меньше продольного. А если λ ≤ 3, то определить соотношение моментов можно по следующему эмпирическому графику:
Рисунок 2. График зависимости моментов от соотношения λ: 1 - для плит с шарнирным опиранием по контуру 2 - с шарнирным опиранием по 3 сторонам.
На графике пунктиром показаны нижние допустимые пределы при подборе арматуры, а в скобках - значения λ для плит с опиранием по 3 сторонам (при λ < 0,5 m = λ, а для нижних пределов m = λ/2). Но в данном случае нас интересует только кривая №1, отображающая теоретические значения. На ней мы видим подтверждение нашего предположения, что соотношение моментов равно единице для квадратной плиты и по ней можем определить значения моментов для других соотношений длины и ширины.
Например, нужно рассчитать плиту для помещения длиной 8 м и шириной 5 метра (для наглядности один из размеров оставляем тем же), соответственно расчетные пролеты будут l2 = 8 м и l1 = 5 м. Тогда λ = 8/5 = 1.6, а соотношение моментов m2/m1 = 0.49 и тогда m2 = 0.49m1
Так как общий момент у нас равен M = m1 + m2, то M = m1 +0.49m1 или m1 = M/1.49.
В этом случае значение общего момента определяется по короткой стороне по той простой причине, что это разумное решение:
Ма = ql12/8 = 775 х 52 / 8 = 2421.875 кгс·м
Изгибающий момент для бетона с учетом не линейного, а плоского напряженного состояния
Мб = Ма(12 + 0.492)0.5 = 2421.875·1.113 = 2697 кгс·м
тогда расчетный момент
М = (2421.875 + 2697)/2 = 2559.43
При этом нижнюю (короткую, длиной 5.4 м) арматуру мы будем рассчитывать на момент:
m1 = 2559.43 / 1.49 = 1717.74 кгс·м
а верхнюю (длинную, длиной 8.4 м) арматуру мы будем рассчитывать на момент
m2 = 1717.74 х 0.49 = 841.7 кгс·м
Таким образом:
А01 = m1/bh201Rb = 1717.74/(1·0.132·1170000) = 0.0868
А02 = m2/bh201Rb = 841.7/(1·0.122·1170000) = 0.05
Теперь по вспомогательной таблице 1(170) мы можем найти η1 = 0.954 и ξ1 = 0.092. η2 = 0.974 и ξ2 = 0.051. Значение ξ1 находится практически в пределах, рекомендованных для плит, поэтому ни уменьшать, ни тем более увеличивать высоту сечения не будем (хотя немного уменьшить высоту сечения допустимо). Тогда требуемая площадь сечения арматуры:
Fa1 = m1/ηh01Rs = 1717.74/(0.952·0.13·36000000) = 0.0003845 м2 или 3.845 см2.
Fa2 = m2/ηh02Rs = 841.7/(0.972·0.12·36000000) = 0.0002 м2 или 2 см2.
Таким образом для армирования 1 погонного метра плиты можно использовать 5 стержней арматуры диаметром 10 мм длиной 5.2-5.4 м. Площадь сечения продольной арматуры для 1 погонного метра составит 3.93 см2. Для поперечного армирования можно использовать 4 стержня диаметром 8 мм длиной 8.2-8.4 м. Площадь сечения поперечной арматуры для 1 погонного метра составит 2.01 см2.
При расчете по "Рекомендациям..." общая площадь сечения нижней арматуры по длине 8 метров составит 24.44 см2 или приблизительно 3.055 см2 на 1 метр длины плиты. В данном случае разница составляет приблизительно 1.26 раз.
Но все это опять же - упрощенный вариант расчета. Если есть желание еще уменьшить сечение арматуры или класс бетона или высоту плиты и тем самым уменьшить нагрузку, то можно рассматривать различные варианты загружения плиты и вычислять, даст ли это какой-то эффект. Например, мы, как уже говорилось, для простоты расчетов не учитывали влияние опорных площадок, а между тем, если на эти участки плиты сверху будут опираться стены и таким образом приближать плиту к жесткому защемлению, то при большой массе стен эту нагрузку можно учесть, если ширина опорных участков больше половины ширины стены. Когда ширина опорных участков меньше или равна половине ширины стены, то потребуется дополнительный расчет материала стены на прочность и все равно вероятность, того что на опорные участки стены не будет передаваться нагрузка от веса стены, очень велика.
Рассмотрим вариант, когда ширина опорных участков плиты около 370 мм для кирпичных стен шириной 510 мм, в этом случае вероятность полной передачи нагрузки от стены на опорную часть плиты достаточно велика и тогда если на плиту будут выкладываться стены шириной 510 мм, высотой 2.8 м, а затем на эти стены будет также опираться плита перекрытия следующего этажа, то постоянная сосредоточенная нагрузка на погонный метр опорного участка плиты составит:
от стены из полнотелого кирпича 1800 х 2.8 х 1 х 0.51 = 2570.4 кг
от плиты перекрытия высотой 150 мм: 2500 х 5 х 1 х 0.15 / (2 х 1.49) = 629.2 кг
суммарная сосредоточенная нагрузка: Q1 = 3199.6 кг.
Более правильно было бы рассматривать в этом случае нашу плиту как шарнирно опертую балку с консолями, а сосредоточенную нагрузку как неравномерно распределенную нагрузку на консоли, причем чем ближе к краю плиты, тем значение нагрузки больше, однако для упрощения расчетов предположим, что эта нагрузка равномерно распределена на консолях и таким образом составляет 3199.6/0.37 = 8647, 56 кг/м. Момент на расчетных шарнирных опорах от такой нагрузки составит 591.926 кгс·м. А это означает, что:
1. Максимальный момент в пролете m1 уменьшится на эту величину и составит m1 = 1717.74 - 591.926 = 1126 кгс·м и таким образом сечение арматуры можно явно уменьшить или изменить другие параметры плиты.
2. Изгибающий момент на опорах вызывает растягивающие напряжения в верхней области плиты, а бетон на работу в области растяжения никак не рассчитан и значит нужно либо дополнительно армировать плиту в верхней части, либо уменьшать ширину опорного участка (консоли балки) для уменьшения нагрузки на опорные участки. Если дополнительного армирования в верхней части плиты не будет, то в плите появятся трещины и она все равно превратится в шарнирно опертую плиту без консолей.
3. Этот вариант загружения нужно рассматривать совместно с вариантом, когда плита перекрытия уже есть, а стен еще нет и таким образом нет временной нагрузки на плиту, но и нет нагрузки от стен и вышележащей плиты.
Если рассчитывается одно перекрытие на 2 помещения, то такая плита будет двухпролетной пластиной и определить различные данные для такой плиты можно по следующей таблице. Ну и для плит с жестким защемлением по контуру также расчетные таблицы имеются. Пример расчета плиты сразу на 4 помещения можно посмотреть здесь.
Возможный метод определения прогиба плиты приводится в отдельной статье. Определение пропорций цемента, песка, щебня и воды - также отдельный вопрос.