Самостоятельная работа является одним из видов учебных занятий студентов. При изучении учебной дисциплины «Математика» автор предлагает следующие виды самостоятельной работы: создание мультимедийной презентации и создание реферата. По указанным видам самостоятельной работы предлагаются темы работ, инструктаж студентов, инструкция по созданию мультимедийной презентции и инструкция по оформлению реферата.
Пособие «Учебные материалы по математике», представленное автором, позволит повысить качество образования по математике, вызвать интерес к изучаемому предмету, развить творческие способности студентов и разумно организовать досуг.
Раздел 1. ЗАЧЕТЫ
Зачет № 1. Элементы теории множеств
1. Множество (описание, обозначение, пример).
2. Элемент множества (определение, обозначение, пример).
3. Конечные множества (определение, обозначение, пример).
4. Бесконечные множества (определение, обозначение, пример).
5. Пустое множество (определение, обозначение, пример).
6. Что значит, множество задано?
7. Способы задания множеств (перечислить).
8. Характеристическое свойство (определение, обозначение, пример).
9. Подмножество (определение, обозначение, пример).
10. Равные множества (определение, обозначение, пример).
11. Пересечение множеств (определение, обозначение).
12. Объединение множеств (определение, обозначение).
13. Законы пересечения и объединения множеств.
14. Разность множеств (определение, обозначение).
15. Дополнение (определение, обозначение).
16. Кортеж (определение, обозначение).
17. Компонента (определение, обозначение).
18. Длина кортежа (определение, обозначение).
19. Упорядоченная пара (определение, обозначение).
20. Декартово произведение (определение, обозначение).
Зачет № 2. Математические понятия и определения
1. Логика.
2. Математическая логика.
3. Объект (определение, виды).
4. Математическое понятие.
5. Термин (определение, виды).
6. Объем понятия (определение, обозначение).
7. Существенные свойства.
8. Несущественные свойства.
9. Содержание понятия.
10. Несовместимые понятия.
11. Совместимые понятия.
12. Понятия а и в тождественны.
13. Понятия а и в находятся в отношении рода и вида.
14. Определение.
15. Структура определения.
16. Правила определения понятий.
Зачет № 3. Математические предложения
1. Математический язык.
2. Математическое слово.
3. Математическое предложение.
4. Высказывание (определение, обозначение).
5. Значения истинности высказывания.
6. Элементарные высказывания.
7. Составные высказывания.
8. Высказывательная форма (определение, обозначение).
9. Конъюнкция высказываний (определение, обозначение).
10. Дизъюнкция высказываний (определение, обозначение).
11. Отрицание высказывания (определение, обозначение).
12. Правила построения отрицания высказывания.
13. Квантор (определение, обозначение).
14. Отношение логического следования (определение, обозначение).
15. Отношение равносильности между предложениями (определение, обозначение).
Зачет № 4. Математические доказательства. Текстовая задача
1. Теорема (определение, виды).
2. Что значит, доказать теорему: А=>В.
3. Рассуждения (умозаключения) и их виды.
4. Посылки.
5. Заключение.
6. Дедуктивное умозаключение.
7. Неполная индукция.
8. Аналогия.
9. Способы ведения доказательства.
10. Прямой способ доказательства.
11. Дедуктивный способ доказательства.
12. Полная индукция.
13. Метод доказательства от противного.
14. Метод доказательства на основе закона контрапозиции.
15. Текстовая задача.
16. Структура (высказывательная модель) текстовой задачи.
17. Что содержит условие задачи, требование задачи?
18. Способы представления высказывательной модели задачи.
19. Цель работы с задачей.
20. Решение задачи (2 определения).
21. Что значит, решить текстовую задачу арифметически (алгебраически)?
22. Математическая модель текстовой задачи:
· при решении арифметическим способом,
· при решении алгебраическим способом.
23. Этапы математического моделирования (назвать и указать, что выполняется на каждом из этих этапов).
24. Модели текстовых задач: схематизированные (вещественные и графические) и знаковые (выполненные на естественном и математическом языке).
Зачет № 5. Элементы теории чисел
1. Этапы развития понятий натурального числа и нуля.
2. Арифметика.
3. Правила аксиоматического построения математической теории.
4. Аксиомы Пеано.
5. Множество натуральных чисел.
6. Свойства множества натуральных чисел.
7. Цифры.
8. Нумерация.
9. Система счисления.
10. Непозиционные системы счисления (определение, примеры).
11. Позиционные системы счисления (определение, примеры).
12. Десятичная система счисления.
13. Краткая запись числа.
14. Десятичная запись числа.
15. Разряд и разрядные единицы.
16. Основание позиционной системы счисления.
17. Что значит сравнить два числа.
Зачет № 6. Элементы теории величин
1. Величина.
2. Величины однородные и разнородные.
3. Величина постоянная и переменная.
4. Величина скалярная и векторная.
5. Скалярно-аддитивные величины.
6. Что значит, измерить величину?
7. Периоды развития единиц величин.
8. Международная система единиц.
9. Эталоны основных величин.
10. Основные единицы измерения величин.
11. Дополнительные единицы измерения величин.
12. Кратные единицы.
13. Дольные единицы.
14. Производные единицы.
Зачет № 7. Элементы теории геометрии
1. Геометрия.
2. Евклидова геометрия.
3. Периоды развития геометрии.
4. Аксиоматика Гильберта.
5. Неевклидовы геометрии.
6. Геометрия Римана.
7. Геометрия Лобачевского.
8. Геометрическая фигура.
9. Основные геометрические фигуры.
10. Пространство.
11. Плоская фигура.
12. Пространственная фигура.
Раздел 2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Понятие множества
1. М – множество музыкальных инструментов эстрадного оркестра. Принадлежат ли этому множеству: а) барабан; б) гитара; в) струна гитары; г) балалайка; д) чехол инструмента?
2. Как называется:
а) множество артистов, работающих в одном театре;
б) множество музыкантов, выступающих вместе;
в) множество цветов, стоящих в вазе;
г) множество точек плоскости, удаленных от данной точки О на расстояние R;
д) множество точек плоскости, одинаково удаленных от сторон угла?
3. Множество состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата?
4. Установите, в каких из следующих предложений идет речь о принадлежности (или непринадлежности) элемента множеству. В каждом таком случае укажите это множество:
а) слово «дом» - имя существительное;
б) Маша - художник;
в) число 15 – натуральное;
г) угол А – геометрическая фигура;
д) трапеция не является параллелограммом;
е) какой солнечный день.
5. Х – множество групп в колледже. Является ли элементом этого множества
а) какой-либо студент колледжа; б) группа 109 А?
6. Запишите с помощью символов следующие множества:
а) А – множество натуральных чисел от 2 до 7;
б) В – множество действительных чисел, больших 2,7;
в) С – множество морей в пустыне.
7. Задайте каждое из множеств описанием характеристического свойства элементов:
а) D = {а, е, и, о, у, э, ы, ю, я};
б) Е = {2, 4, 6, 8,…};
в) F = {3, 4, 5, 6, 7}.
8. Запишите символами предложения:
а) число 12 - натуральное;
б) число 0 не является натуральным;
в) число 2,(2) – действительное;
г) число х не больше 70, но не меньше -15.
9. Даны числа 325; 0; - 17; - 3,8; 7,2; 9.
Установите, какие из них принадлежат множеству:
а) натуральных чисел; б) целых чисел; в) рациональных чисел; г) действительных чисел.
10. Какие из ниже приведенных высказываний верны, если М – множество чисел, кратных 3: а) 9 
М; б) 15 М; в) 112 М; г) 321 
М; д) 3 М; е) 513 М?
11. Элементами множества А являются числа 1, 3, 5, 7, 9.
Задайте это множество:
а) указав характеристическое свойство его элементов,
б) перечислив его элементы.
12. Прочитайте множества и назовите по три элемента, принадлежащих им:
а) А = {х | х N и х 
3}; б) В = { х | х Z и х = 2n };
в) С = {х | х R и х = 2n}; г) D = { х | х N и х 7 };
д) Е = { х | х R и 0 ≤ х ≤ 2}; е) F = { х | х Z и 0 ≤ х ≤ 2};
ж) К = { х | х R и х2 < 0};
з) Z = { х - рыбы | х дышит легкими}.
13. Какое число лишнее в ряду: 210, 300, 740, 950? Какое характеристическое свойствоиспользовали?
14. Записать, что множество А состоит из всех чисел, удовлетворяющих неравенству: - 2 < х < 3.
15. Выписать элементы множеств, заданных характеристическим свойством:
а) А = {х | х2 – 4 = 0}; б) А = {х | х N и - 2 < х < 7};
в) А = {х | х Z и - 4 ≤ х ≤ 1,3};
г) А = {х | 0 < х < 2 π и х = ± π / 3 + 2 π n, n Z }.
16. Найдите множество действительных корней уравнения:
а) 3 х = х + 8; б) 3 (5х + 10) = 30 + 15 х;
в) 3 х + 5 = 3 (х + 1); г) х (х + 16) = 0.
Отношения между множествами
17. В следующих примерах выписать буквы, обозначающие множества в таком порядке, чтобы каждая предыдущая обозначала подмножество следующего:
а) А – множество всех четырехугольников, В – множество всех ромбов;
б) А – множество всех кубов, В – множество всех параллелепипедов, С –множество всех призм;
в) А – множество всех чисел, делящихся на 3, В – множество всех чисел, делящихся на 9, С – множество всех чисел, делящихся на 18;
г) N - множество натуральных чисел; Z - множество целых чисел; R - множество действительных чисел.
18. Найти подмножества следующих множеств:
а) D = {0,1}; б) M = {0,1,2}; в) С = {1,2,5}.
19. Дано множество А = {5, 10, 15, 25}. Запишите два множества, равные множеству А.
20. Известно, что каждый элемент множества А содержится в множестве В. Верно ли, что тогда: а) А 
В; б) А = В?
21. Приведите примеры множеств А, В и С, если их изображение таково, как на рисунках:
 |  | ||||
 | |||||
А) б) в)
Г) д)
22. Установите, в каком отношении находятся множества А и В и изобразите их при помощи кругов Эйлера, если:
а) А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 7;
б) А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 4;
в) А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 2;
г) А – множество четных чисел, В – множество нечетных чисел.
Пересечение и объединение множеств
23. Из каких элементов состоит пересечение множества букв в слове «предмет» и множества букв в слове «преподаватель»?
24. Сколько точек может оказаться в пересечении:
а) прямой и окружности;
б) отрезка и окружности;
в) двух окружностей?
25. Известно, что у D. Следует ли отсюда, что
а) у D ∩ С; б) у D 
С?
26. Известно, что у D ∩ С. Следует ли отсюда, что у D?
27. Известно, что у D С. Следует ли отсюда, что у D?
28. Найдите пересечение и объединение множеств А и В, если:
а) А = {15, 14, 12, 31,78} и В = {2, 7, 12, 78};
б) А = {а, о, у, и, ю} и В = {а, б, и, к, о};
в) А = {3, 6, 9, 12, 15} и В = {6, 1, 2, 5, 9, 13};
г) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {12, 34, 56};
д) А = {к, л, м, н} и В = {и, к, л, м, н, о, п}.
29. М – множество однозначных натуральных чисел, Р – множество нечетных натуральных чисел. Какие числа войдут в объединение множеств М и Р? Окажутся ли в нем числа 4, 17, 14? Ответ запишите, используя знаки «принадлежит» и «не принадлежит».
30. Что представляет собой пересечение треугольника АВС и его стороны АВ? А их объединение?
31. Дано: А = {a, b, c, d, e}, В = {c, d, e, f, k}, C = {f, k, l, m}. Найти:
а) А В С; б) (А В) С; в) А (В С); г) А ∩В ∩С;
д) (А ∩В) ∩С; е) А ∩(В ∩С); ж) А ∩(В С); з) А В ∩С.
32. А – множество светловолосых девушек группы, В – множество студентов группы, сидящих за первыми столами. Сформулируйте условия, при которых:
а) А∩В = Ø; б) А∩В ≠ Ø; в) А∩В = В; г) А∩В = А;
д) А В = Ø; е) А В ≠ Ø; ж) А В = А; з)А В = А.
Разность множеств
33. А – множество натуральных чисел, кратных 3. В – множество чисел, кратных 7. Задайте описанием характеристического свойства множество А \ В и назовите три числа, принадлежащие этому множеству.
34. Найти разность множества А = {a,b,c,d,e} и множества В, если
а) В = {c, d, e, f, k, l}; б) В = {a, c, e}; в) В = {c, a, d, e, b}; г) В = {k, l, m}; д) В = {a, b, c, d, e, f, k}; е) В = Ø.
35. Дано множество Х = {a, b, c, d, e, f}. Запишите любые два подмножества множества Х и дополнения этих подмножеств до множества Х.
36. Сформулируйте характеристическое свойство элементов подмножества Р до множества К, где К – множество треугольников, если:
а) Р – множество остроугольных треугольников,
б) Р – множество равносторонних треугольников,
в) Р – множество прямоугольных треугольников,
г) Р –множество трапеций.
37. Сформулируйте условия, при которых истинно утверждение:
а) 6 А \ В, б) 5 А \ В.
38. Известно, что Х А. Следует ли отсюда, что Х А \ В; Х В \ А?
39. Найдите А \ В и В \ А, если:
а) А = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, В = {4, 7, 8, 9, 10};
б) А = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, В = {4, 6, 8};
в) А = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, В = {34, 56, 78};
г) А = {a, b, c, d, e}, В = {d, e, f, k};
д) А = {a, b, c,d}, В = {e, f, n}.
40. Приведите примеры таких множеств Х и У, что
а) Х \ У = Ο; б) Х \ У ≠ Ø; в) Х \ У = Х; г) Х \ У = У.
41. Какое множество является дополнением:
а) множества активистов колледжа до множества всех студентов;
б) множества хвойных деревьев до множества всех деревьев;
в) множества четных чисел до множества натуральных чисел;
г) множества четырехугольников до множества геометрических фигур;
д) множества нечетных чисел до множества четных чисел.
Декартово произведение множеств
42. Запишите множество Х ×У, если:
а) Х = {m, n, p}, У = {5, 6};
б) Х = {2, 5, 7}, У = {9};
в) Х = {р, л, м}, У = {р, л, м};
г) Х = Ø, У = {а, б, с, л};
д) Х = {a, b, c, d, e}, У = {d, e, f, k, l}.
43. Запишите множество всех дробей, числитель и знаменатель которых есть число из множества Р = {4, 5, 6}.
44. А – множество глухих согласных. В – множество гласных.
а) Перечислите элементы этих множеств.
б) При помощи таблицы запишите элементы множества А ×В.
в) Выделите из полученного множества подмножество пар, в которых первая компонента – буква «т».
45. Перечислите элементы множеств А и В, если:
а) А ×В = {(3, 3), (3, 4), (3, 7), (3, 12)};
б) А ×В = {(а, а), (b, f), (c, a), (d, a), (e, a)}.
46. Запишите множества и кортежи из букв следующих слов:
а) акваланг; б) дерево; в) строение; г) колос; д) барабан;
е) молоко; ж) симметрия; з) программа; и) собака.
47. Дано Х = {3, 4, 5, 6, 7}, У = {0, 1, 2, 3}. Выяснить, являются ли ниже перечисленные множества подмножествами декартова произведения Х × У:
а) А = {(3, 0), (5, 1), (6, 3), (4, 0)};
б) А = {(3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 7)};
с) С = {(7, 3), (6, 2), (5,1), (4,0)}.
48. Изобразить в прямоугольной системе координат множество А × В, если: а) А = {3, 4, 5}, В = {1, 2, 3}; б) А ={- 1, 1}, В = {1,1}.
49. Записать перечислением множество натуральных чисел, кратных 3 и меньших 15 и множество натуральных чисел, кратных 5 и меньших 30. Найти их пересечение, объединение, разность, декартово произведение.
Математические понятия
50. Назовите несколько объектов, принадлежащих объему понятия:
а) « целое число»; б) «многоугольник»; в) «часть речи»;
г) «»хвойное дерево»; д) «геометрическая фигура»;
е) «литературное произведение».
51. Какие из приведенных ниже свойств трапеции являются существенными, а какие несущественными:
а) две стороны трапеции параллельны;
б) основания трапеции горизонтальны;
в) оба угла при большом основании острые;
г) оба угла при меньшем основании тупые;
д) сумма внутренних углов трапеции равна 360º.
52. Для каждого из следующих понятий укажите несколько существенных свойств:
а) «животное»; б) «растение»; в) «многоугольник»;
г) «дерево»; д) «часть речи»; е) «предложение».
53. Назовите понятие, являющееся более широким по отношению к данной группе понятий:
а) квадрат, трапеция, ромб;
б) имя существительное, глагол, наречие;
в) деревья, кустарники, травы;
г) круг, окружность, многоугольник, отрезок.
54. Для каждого из следующих понятий укажите по два родовых понятия:
а) роза; б) баран; в) ромб; г) глагол; д) ребенок; е) повесть; ж) луч; з) круг; и) уравнение.
55. Для каждого из следующих понятий укажите несколько видовых
понятий:
а) студент; б) водоем; в) геометрическая фигура; г) часть света;
д) союз; е) угол; ж) стихотворение; з) линия;
и) параллелограмм; к) множество.
56. Назовите понятие, являющееся родовым по отношению к данной
группе понятий:
а) равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник,
прямоугольный треугольник;
б) алгебра, геометрия, тригонометрия;
в) газон, поле, клумба;
г) прямая, круг, пятиугольник, угол;
д) объединение, пересечение, декартово произведение.
57. В каждом из определений выделите родовое понятие и видовое
отличие:
а) квадрат – ромб с прямыми углами;
б) подлежащее – главный член предложения, отвечающий на
вопросы: «Кто?», «Что?»;
в) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника
называется его средней линией;
г) треугольник называется равнобедренным, если хотя бы две его
стороны равны.
58. Дайте определение следующим понятиям и постройте их логическую структуру:
а) прямоугольник; б) трапеция; в) сказуемое;
г) пересечение множеств; д) декартово произведение множеств;
е) объем понятия; ж) содержание понятия; з) подмножество;
и) простое число; к) четное число; л) параллелограмм;
м) правильный многоугольник.
59. Укажите по пять существенных свойств понятий:
а) трапеция; б) ромб; в) параллелограмм.
60. Корректны ли ниже приведенные определения прямоугольника:
а) прямоугольник имеет две пары параллельных сторон;
б) прямоугольник – четырехугольник, у которого три угла прямые;
в) прямоугольник – четырехугольник, у которого стороны равны?
61. Укажите ошибки в следующих определениях:
а) прямоугольник – это, когда все углы прямые;
б) отрезок – это прямая, ограниченная с двух сторон;
в) подлежащее – главный член предложения, являющийся
существительным;
г) существительное – это, когда отвечает на вопросы: «Кто?», «Что?»;
д) ромбом называется параллелограмм с равными сторонами и
взаимно перпендикулярными диагоналями;
е) сектор – это часть окружности, ограниченная прямыми;
ж) диаметром окружности называется наибольшая хорда, проходящая
через центр;
з) квадратом называется параллелограмм с прямыми углами.
Математические предложения
62º. Среди данных предложений укажите высказывания и определите их
значения истинности:
а) 63: (17 – 8) = 42: 6; б) (45 – 15): 6 > 17;
в) существуют четные числа;
г) любое натуральное число делится на 5;
д) жизнь прекрасна и удивительна;
е) среди четных чисел есть простые;
ж) множество студентов группы конечно.
63º. Найдите значения истинности следующих высказываний:
а) пересечением множеств А ={a, b, c, d, e} и В = d, e, f, k} является
множество С = {d, e, k};
б) А \ Ø = А;
в) 1,4 N;
г) хотя бы один студент группы является активистом;
д) любой студент группы – отличник;
е) яблоня – хвойное дерево.
64º. Можно ли считать высказывательными формами следующие записи:
а) 5х + 12 = 7х; б) х2-2х; в) 7*4 +2 = 30;
г) х – кратно 2; д) х > 2;
ж) произведение двух чисел равно 32;
з) сумма х и у равна 60; и) функция у = х2.
65. Найдите множество истинности высказывательной формы
12у – 18 ≤ 3у, если
1) у 
N; 2) у R; 3) у {-4, -2, 0, 2, 4}.
66. На множестве N задана высказывательная форма
А(х): «Число х кратно 3».
а) Составьте высказывания А(15), А(14), А(1122), А(557).
б) Найдите их значение истинности.
67º. Какие из слов: а) лампа, б) стол, в) пить, г) лаять, д) утюг, е) книга,
ж) шить, з) сумка, и) зеркало –
принадлежат множеству истинности высказывательной формы
К(х): «В слове х – четыре буквы», рассматриваемой
1) на множестве существительных;
2) на множестве глаголов;
3) на множестве прилагательных;
4) на множестве слов в словаре С.И.Ожегова.
68º. Даны высказывания:
А: «сегодня идет снег», В: «15 3»,
С: «П.И.Чайковский написал 10 опер», D: «17: 2 = 9».
Образуйте составные высказывания и определите их значения
истинности:
а) ͞А; б) А ˅ В; в) В ˅D; г) А => D; д) А ˅ 
;
е) А ˅ В; ж) ͞А ˄ В; з) А ˄ С.
69. Записать высказывания на языке логики и определить их значение
истинности:
а) Идет дождь или кто-то не выключил душ;
б) Вечером будет туман и Сергей останется дома или должен будет
надеть плащ;
в) Число 111 делится на три, но оно не делится на 10;
г) Неверно, что квадрат – параллелограмм;
д) 5 ≥ - 3;
е) 2 ≤ 3 < 5;
ж) 7*4 равно 27 или 28.
70º. Даны высказывания:
Р: «Треугольник АВС – равнобедренный», Q: «В треугольнике АВС
высоты равны». Образуйте высказывания, имеющие форму:
а) Р ˅ Q; б) Q ˄ Р; в) Р; г) Q.
Какие из этих высказываний истинны, а какие ложны?
71. Сформулируйте предложения, которые являются отрицанием данных
высказываний, и определите их значение истинности:
а) А: «23 
7»; б) В: «5 + 3 = 8»;
в) F: «257 – четное число»;
г) К: «2 = 2»; д) Е: «5*3 ≠ 35»; е) D: «2 < 3».
72º. Найдите в предложениях кванторы, определите вид и назовите
синонимы:
а) существуют равносторонние треугольники;
б) хотя бы в одной из групп первого курса есть медалисты;
в) все кустарники являются растениями;
г) каждое натуральное число является целым.
73º. Найдите в предложениях высказывательные формы и укажите
множества,
на которых заданы перечисленные высказывательные формы:
а) найдите такое натуральное число х, что х < 3;
б) в любом треугольнике стороны равны;
в) некоторые натуральные числа являются однозначными;
г) каждое растение травянистое;
д) всякое число имеет делитель 1;
е) существуют треугольники, в которых одна из высот совпадает с
медианой и биссектрисой.
74. Среди следующих предложений выделите высказывания и составьте
их логическую структуру:
а) 7 < х < 9, х N;
б) существует такое натуральное число х, что 7 < х < 9;
в) любое натуральное число х больше 7 и меньше 9;
г) в треугольнике АВС все стороны равны;
д) существуют треугольники с равными сторонами;
е) в любом треугольнике все стороны равны;
ж) х – однозначное число;
з) некоторые натуральные числа являются однозначными.
75º. Прочитайте следующие предложения и определите их вид:
а) (
n N) n 2; б) (
n N) n 5; в) ( n, m N) n m;
г) ( n N, m N) n m; д) ( х, n N) х = 2 n;
е) ( х, n N) х = 2 n; ж) ( х, n N) х = 2 n + 1;
з) ( х, n N) х = 2 n + 1.
76. Запишите следующие предложения с помощью символов:
а) А(х) следует из В(х); б) В(х) следует из А(х);
в) из С(х) следует Е(х); г) из Е(х) следует С(х);
д) С(х) следует из Е(х); е) Е(х) следует из С(х).
77. Докажите, что каждое из приведенных утверждений ложно:
а) если треугольник равнобедренный, то он равносторонний;
б) если треугольник прямоугольный, то он равнобедренный;
в) если треугольник равнобедренный, то он остроугольный;
г) если треугольник остроугольный, то он равносторонний.
78. Определите, какое утверждение справедливо. Для каждого из них
составьте логическую структуру:
а) если треугольники равны, то их соответственные элементы равны;
б) число х положительно, следовательно, оно натуральное;
в) из того, что х < 5, следует, что х < 2;
г) х кратно 6 следует из того, что х кратно 12;
д) х > у вследствие того, что разность х и у положительна;
е) для равенства двух углов достаточно того, что они вертикальны;
ж) для того, чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо,
чтобы в нем был хотя бы один прямой угол.
79. Определите, какие из предложений находятся в отношении равносильности:
а) произведение чисел х и у положительно тогда и только тогда, когда
х и у - положительные числа;
б) треугольник Х – остроугольный, тогда и только тогда, когда в
треугольнике Х хотя бы один угол острый;
в) число х кратно 10 тогда и только тогда, когда его десятичная
запись оканчивается цифрой «0»;
г) число х кратно 15 тогда и только тогда, когда оно кратно 3 и 5;
д) квадратное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда
дискриминант отрицателен.
80. На множестве Х = {1,2, 3,..., 9} заданы высказывательные формы:
А(х): «х > 2», В(х): «х > 2», С(х): «х – однозначное число».
Выясните истинность или ложность предложений:
а) А(х) следует из В(х); б) из А(х) следует С(х);
в) из А(х) следует С(х); г) если С(х), то А(х).
81. В группе имеются два отличника Попова и Смирнов, пять
спортсменов: Попова, Карпова, Смирнов, Голубев, Тетерина. Следует
ли предложение: «Студент группы является спортсменом» из
предложения: «Студент группы – отличник»?
82. Выясните, какие из следующих предложений являются отношением
логического следования, а какие - нет:
а) х + 3 = 0 => х2 – 9 = 0; б) х2 = 4 => х = 2;
в) (х – 1)(х – 2) = 0 => (х – 1)(х – 2)(х – 3) = 0;
г) х < 3 => х < 7; д) х > 4 => х > 2.
83. Выделите условие и заключение в каждой из теорем:
а) сумма двух четных чисел – четное число;
б) если число кратно 8, то оно кратно 4;
в) в ромбе диагонали перпендикулярны.
84. Покажите, что теорема: «Четырехугольник является
прямоугольником тогда и только тогда, когда его диагонали равны»,
состоит из двух теорем. Запишите ее логическую структуру.
85º. Д аны высказывательные формы:
А(х): «Четырехугольник х – прямоугольник».
В(х): «В четырехугольнике х диагонали равны».
С(х): «В четырехугольнике х диагонали в точке пересечения делятся
пополам».
D(х): «В четырехугольнике х диагонали взаимно перпендикулярны».
Е(х): «В четырехугольнике х диагональ делит его на два равных
треугольника».
Составьте истинные теоремы.
86. Дана теорема: «Противоположные углы параллелограмма равны».
а) Составьте все возможные виды данной теоремы.
б) Определите их значения истинности.
Математические доказательства
87. Дано рассуждение:
а) «Если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2. Число 12
кратно 4, следовательно, 12 кратно 2»;
б) «Если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2. Число 126
кратно 2, следовательно, 126 кратно 4»;
в) «Если натуральное число кратно 8, то оно кратно 4. Если
натуральное число кратно 4, то оно кратно 2, Следовательно, если
число кратно 8, то оно кратно 2»;
г) «Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5.Число
не оканчивается нулем, следовательно, оно не делится на 5».
Задания:
а) выделить посылки и заключение рассуждения;
б) построить схему рассуждения (умозаключения);
в) определить его значение истинности.
88º. Закончите рассуждение так, чтобы оно было правильным:
а) если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3; сумма
цифр числа 327 делится на 3, следовательно,...;
б) если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3; число
m не делится на 3, следовательно, …;
в) если число делится на 18, то оно делится на 6; если число делится
на 6, то оно делится на 3, следовательно,….
89º. По аналогии с признаками делимости на 3 и на 9 учащийся
сформулировал такой признак делимости на 27: «Для того чтобы
число делилось на 27, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр
в записи этого числа делилась на 27». Верен ли вывод, сделанный
учащимся?
90. Выполняя деление 96 на 16, учащийся получил частное 10 и
обосновал свои действия так: 96: 16 = 90: 10 + 6: 6 = 9 + 1 = 10.
Какие теоретические факты ошибочно использовал учащийся?
91. Докажите способом от противного:
а) если две различные прямые пересекаются, то их пересечение
содержит одну и только одну точку;
б) в разностороннем треугольнике биссектриса угла не
перпендикулярна противоположной стороне;
в) в разностороннем треугольнике никакие два угла не равны;
г) ни один треугольник не может иметь два прямых угла.
92. Докажите, построив умозаключения, что:
а) число 116 не делится на 3;
б) слово Ярославль пишется с большой буквы;
в) дробь 7/9 – правильная;
г) 37 + 3 < 37 + 9.
93. Каким числом может быть сумма двух четных чисел? Рассмотрите
несколько частных случаев и выскажите предположение. Каким
образом можно доказать его истинность?
94. Каким числом может быть сумма двух нечетных чисел? Рассмотрите
несколько частных случаев и выскажите предположение. Каким
образом можно доказать его истинность?
95. Разделите каждое из чисел 32, 52, 72 на 4.
Чему в каждом из этих случаев равен остаток?
Какое предположение можно высказать на основе полученных
результатов?
Сколько нечетных чисел нужно было возвести в квадрат и разделить
на 4,чтобы гарантировать истинность высказанного предположения?
Текстовая задача
96º. В следующих задачах выделите условие и требование:
а) Произведение двух последовательных натуральных чисел
равно156. Найти эти числа.
б) Расстояние между двумя городами равно 150 км. Из города А в
город отправляются одновременно два автомобиля. Скорость
первого на 10 км больше второго, он прибывает в В на 30 мин
раньше второго. Определить скорость каждого автомобиля.
в) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 82 см, а его
площадь 72 см2. Найти катеты треугольника.
г) Из множества геометрических фигур К выделили подмножество Р
фигур, обладающих свойством: «быть прямоугольником».
1) изобразите множества К и Р при помощи кругов Эйлера;
2) сформулируйте характеристическое свойство фигур,
принадлежащих дополнению Р до К;
д) выявите логическую структуру следующих высказываний,
определите их значение истинности:
1) все птицы являются животными;
2) некоторые треугольники имеют равные стороны;
3) любой квадрат является прямоугольником;
4) существуют плодовые деревья.
97. Запишите решение задачи в виде выражения:
а) Поезд проехал за 3 часа а км. Сколько километров он проедет за
7часов?
б) Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно выехали два
поезда. Скорость поезда, выше