Объединением множеств 
и 
называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств и :
.
Пересечением множеств и называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству и множеству :
.
Разностью множеств и называется множество, состоящее из всех тех элементов множества , которые не содержатся в множестве :
.
Прямым произведением 
множеств и называется множество всех пар 
, таких, что 
. В частности, если 
, то прямое произведение обозначается 
.
Для прямого произведения 
упорядоченный набор элементов 
еще называют вектором, 
– его 
-ой компонентой (координатой), а 
– длиной вектора.
Теорема. Пусть 
– конечные множества и 
. Тогда мощность множества равна произведению мощностей множеств :
.
Проекцией
вектора 
на -ю ось называется его -я компонента (координата).
Пусть – множество 
векторов одинаковой длины. Тогда проекцией множества на -ю ось называется множество проекций всех векторов из на -ю ось:
.
Соответствием между множествами и называется подмножество 
. Если 
, то говорят, что 
соответствует 
при соответствии 
.
Множество 
называется областью определения соответствия, множество 
называется областью значений соответствия. Если 
, то соответствие называют всюду определенным или полностью определенным.
Множество всех 
, соответствующих 
, называется образом в при соответствии .
Множество всех , которым соответствует , называется прообразом в при соответствии .
Соответствие называется функциональным, если образ любого элемента из является единственный элемент из .
Функцией называется функциональное соответствие.
Если функция 
устанавливает соответствие между множествами и , то говорят, что функция имеет тип 
. Каждому элементу из своей области определения функция ставит в соответствие единственный элемент из области значений, это обозначают 
.
Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.
§ Множество 
является подмножеством множества 
, если любой элемент, принадлежащий , также принадлежит . Пишут: 
или 
. Таким образом,
§ Множество в таком случае называется надмно́жеством множества , и этот факт часто записывают: 
или 
Множество называется подмножеством множества 
если все элементы являются также элементами 
Любое множество является своим подмножеством: 
Если при этом 
, то называется собственным подмножеством По определению полагают, что пустое множество является подмножеством любого множества: 
.
Множество всех подмножеств множества обозначается 
или 
, так как оно соответствует множеству отображений из в 
Иногда его называют множеством-степенью (англ. power set) для . Мощность множества-степени, потеореме Кантора, всегда больше, чем у исходного множества. В категории множеств 
— это контравариантный функтор, отображающий функцию 
в 
при этом отображение 
ставит в соответствие каждому подмножеству его полный прообраз в 
Примеры:
§ Множества 
являются подмножествами множества 
§ Множества 
являются подмножествами множества 
§ Пусть 
тогда 
2. Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
§ перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
§ обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются какмощности конечных множеств.
Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком 
. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
Множество целых чисел (от ср.-лат. cifra от араб. صفر (ṣifr) «пустой, нуль») — 
, определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) ивычитания (−). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел дает снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3...), чисел вида 
и числа нуль.
Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.
Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое несократимой обыкновенной дробью 
, 
— целое число, а знаменатель 
— натуральное число. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т.п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т.п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.
3. Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел.
Действительное число или как его еще называют вещественное число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные.
Вещественные (действительные) числа - это своего рода математическая абстракция, служащая для представления физических величин. Такие числа могут быть интуитивно представлены как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа состоят из более простых объектов таких, как целые и рациональные числа.
Множество действительных чисел обозначается – R
действительного числа - приближенное изображение действительного числа конечной десятичной дробью. Всякое действительное число аможет быть записано в виде бесконечной десятичной дроби:
где a0 - неотрицательное число, a n - одна из цифр 0, 1, 2..., 9, п=1, 2,.... Если исключить из рассмотрения бесконечные периодические десятичные дроби с периодами, состоящими только из одних девяток, то всякое действительное число будет записываться в виде бесконечной десятичной дроби однозначным образом. Пусть выбрана такая запись чисел и a>0, тогда конечная десятичная дробь
(соответственно a п= a 0, a 1 a 2... an+10-n) наз. нижним (соответственно верхним) десятичным: приближением порядка n числа а. Если а<0 и а' = - а, то нижнее 
и верхнее 
Д. п. порядка пчисла аопределяются равенствами
Для Д. п. действительного числа выполняются следующие соотношения:
Из них следует, что
а если 
топри этом вместо нижних Д. п. можно 
брать верхние.
Д. п. используются на практике для приближенных вычислений. В качестве приближенных значений сумм а+b, разностей а- b, произведений аb и частных a/b берутся, соответственно, 
и
В результате указанных действий над конечными 
десятичными дробями 
и 
имеющими не более пзначащих цифр после запятой, получаются снова десятичные дроби с не более чем и значащими цифрами после запятой. С помощью этих дробей искомый результат можно получить с любой степенью точности
4.
| Приближенные вычисления | Вычисления, производимые над числами, которые известны нам с определённой точностью, например, полученными в эксперименте. |
| Погрешности | Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | < D a, то величина D a называется абсолютной погрешностью приближенной величины a. Отношение D a / a = d a называется относительной погрешностью; последнюю часто выражают в процентах. |
5.
Ко́мпле́ксные[1] чи́сла (устар. Мнимые числа [2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается 
. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма 
, где 
и 
— вещественные числа, 
—мнимая единица[3].
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.