Вопросы к экзамену по высшей математике (БНТУ, АТФ, 1 курс)
1. Матрицы и действия над ними (Основные определения, линейные операции над матрицами, умножение матриц, многочлены от матриц, транспонирование матрицы).
2. Определитель матрицы и их свойства.
3. Разложение определителя по элементам ряда.
4. Матрица обратная к данной.
5. Миноры и алгебраические дополнения.
6. Ранг матрицы.
7. Метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы.
8. Системы линейных уравнений (матричная запись системы линейных уравнений, эквивалентные системы уравнений).
9. Решение невырожденных линейных систем. Формула Крамера.
10. Теорема Кронекера-Капелли.
11. Решение произвольных линейных систем.
12. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
13. Метод Гаусса.
14. Линейное пространство.
15. Понятие линейного пространства.
16. Линейная зависимость и независимость векторов.
17. Размерность и базис пространства.
18. Координаты вектора.
19. Матрица системы векторов.
20. Матрица перехода от одного базиса к другому.
21. Евклидово пространство.
22. Ортонормированный базис.
23. Скалярное произведение векторов.
24. Векторное произведение векторов.
25. Смешанное произведение векторов.
Прямая и плоскость в пространстве
26. Общее уравнение плоскости в пространстве.
27. Уравнение плоскости проходящей через заданную точку.
28. Уравнение плоскости проходящей через три заданных точки.
29. Угол между плоскостями
30. Взаимное расположение двух плоскостей.
31. Расстояние от точки до плоскости.
32. Прямая как пересечение двух плоскостей.
33. Параметрическое, каноническое уравнение прямой.
34. Пересечение прямой и плоскости.
35. Угол между прямой и плоскостью.
36. Угол между прямыми.
37. Взаимное расположение двух прямых.
38. Расстояние от точки до прямой.
Поверхности второго порядка
39. Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола, круг).
40. Эллипсоид.
41. Гиперболоид (однополостный, двуполостный).
42. Параболоиды (эллиптический, гиперболический).
43. Некоторые уравнения поверхности (цилиндрическая поверхность).
Множество вещественных чисел. Комплексные числа. Числовые поверхности
44. Действительные числа.
45. Комплексные числа.
46. Точная верхняя и нижняя граница.
47. Предел последовательности.
48. Монотонные последовательности (теорема).
49. Число e.
Предел функции
50. Понятие функции и ее предела по Коши и Гейне.
51. Определение правого и левого предела функции.
52. Свойства функции имеющее предел при x→a(теорема об ограниченности функций имеющей предел).
53. Определение бесконечно малых,бесконечно больших функций и их свойства.
54. Основные теоремы о пределах.
55. Сравнение бесконечно малых функций. Эквиваленты бесконечно малых.
56. Первый замечательный предел и его следствия.
57. Второйзамечательный предел (доказательство и его интерпретация).
Непрерывные функции. Производные.
58. Определение непрерывной функции в точке и на сегменте(a;b).
59. Теорема об ограниченности функций на отрезке.
60. Теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль.
61. Теорема о существовании функции обратной данной.
62. Точки разрыва функции и их классификация.
Дифференциальные исчисления функции обратные одной переменной
63. Понятие производной.
64. Производная слева и справа.
65. Геометрический смысл производной.
66. Механический смысл производной.
67. Понятие дифференцируемости функции.
Дифференцируемость и непрерывность (теорема о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости функции, доказательства).
68. Теорема о взаимосвязи дифференцируемости и непрерывности функции в точке.
69. Произведение суммы, произведения, частного функции (доказательство).
70. Производная сложной функции (теорема, доказательство).
71. Вычисление производнойxαsin(x),cos(x),logax, ax.
72. Производная неявной функции.
73. Производная функции заданной параметрически.
74. Гиперболические функции.
75. Дифференциал функции (связь дифференциала функции с производной).
76. Правило вычисления дифференциала.
77. Производные высших порядков.
78. Дифференциал высших порядков.
Основные теоремы дифференциального исчисления
79. Определение монотонно возрастающей и монотонно убывающей функции. Max, min функции.
80. Теорема об необходимых условиях возрастания или убывания функции.
81. Теорема об необходимых условиях существования экстремума функции.
82. Теорема о достаточном существовании экстремума.
83. Теорема Ролляо корнях производной.
84. Теорема Лагранжа о конечных приращений.
85. Теорема Коши об отношении приращения двух функций.
86. Правило Лопиталя.
87. Формула Тейлора.
88. Теорема о возможном представлении формулы в ряд Тейлора.
89. Оценка остаточного члена ряда Тейлора в формуле Маклорена.
90. Разложение по формуле Маклорена некоторых функций ex, sin(x), cos(x), ln(1+x).
Исследование функции
91. Признаки монотонности функции:
· Теорема об необходимом условии неубывания, невозрастания функции.
· Теорема о достаточном условии возрастания функции.
92. Схема исследования дифференцируемой функции на maxи minс помощью первой производной.
93. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной (теорема, доказательства).
94. Схема исследования функции не наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.
95. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба (теорема о достаточном условии существования точки перегиба функции).
96. Асимптоты функции. Вертикаль и наклонная.
97. Уравнение касательной и нормали.