ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТАНАЛИЗУ
1 семестр
Введение в анализ.
Множества. Счетные и несчетные множества. Промежутки. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Определения верхней и нижней граней. Определяющие свойства граней. Аксиома о существовании верхней грани. Неравенства для модулей чисел (неравенство треугольника и следствие из него). Бином Ньютона (без доказательства).
Элементарные функции.
Основные элементарные функции, их графики. Выражение loga x через натуральный логарифм. Соотношения между функциями: arcsin x и arccos x; arctg x и arcctg x. Определение элементарной функции.
Числовые последовательности
Числовая последовательность. Определяющие свойства верхней и нижней граней для числовой последовательности. Определение предела числовой последовательности и его свойства. Бесконечно малые последовательности, их арифметические свойства. Арифметические свойства предела. Сравнение бесконечно малых. Бесконечно большие. Соотношения между бесконечно малыми и бесконечно большими. Теорема о сходимости монотонной последовательности.
Замечательные пределы 
. Доказательство существования 
Принцип вложенных промежутков.
Подпоследовательность, ее свойства. Теорема Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательности. Определение конечных верхнего и нижнего пределов числовой последовательности, их свойства (без док-ва).
Определение и свойства сходящейся в себе (фундаментальной) последовательности. Критерий (необходимый и достаточный признак) Коши сходимости числовой последовательности.
Функции.
Понятие функции. Ограниченные и неограниченные, монотонные, четные и нечетные, периодические функции. Обратная функция: определение, теорема о существовании. Задание плоской кривой в полярных координатах и в параметрической форме. Простая кривая. Контур.
Предел функции
Определения конечных и бесконечных пределов функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции: определение, примеры
Неопределенности, их раскрытие (практ.). Теорема об эквивалентности определений Коши и Гейне конечного предела функции в точке
Бесконечно малые функции, их сравнение.
Локальная ограниченность функции. Свойства конечного предела функции в точке (без док-ва).
Замечательные пределы 
.
Существование односторонних пределов монотонной функции.
Асимптоты графика функции.
Определения функции, непрерывной в точке, и ее свойства. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Теорема о непрерывности обратной функции.
Непрерывность основных элементарных функций (док-во для xn только при 
. Непрерывность элементарных функций.
Вывод пределов 
, 
, 
.
Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции. Понятия глобальных экстремумов. Теорема Вейерштрасса о существовании глобальных экстремумов непрерывной функции.
Условия непрерывности функции, заданной параметрически.
Точки разрыва 1 и 2 рода.
Производная функции.
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Связь между условиями непрерывности и дифференцируемости. Арифметические свойства производной. Производная композиции. Дифференцирование обратной функции.
Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Дифференцируемость элементарных функций. Дифференцирование степенно-показательной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически
Уравнения касательной и нормали к графику функции. Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной параметрически.
Дифференциал функции.
Первый дифференциал: определение, геометрический смысл, арифметические свойства, инвариантность формы. Приложение первого дифференциала к приближенному вычислению функции.
Старшие производные, старшие дифференциалы.
Определение старшей производной. Старшие производные степенной, логарифмической функций, экспоненты, синуса, косинуса. Старшие производные функций, заданных параметрически (практ.). Старшие дифференциалы
Теоремы Ферма и Ролля. Теорема Лагранжа о среднем. Формула конечных приращений, условия постоянства и монотонности функций. Теорема Коши о среднем.
Правило Лопиталя (доказательство случая для 
)
Примеры раскрытия неопределенностей вида 
Формула Тейлора.
Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа и Пеано. Формула Тейлора для функций ex, sin x, cos x. Формула Тейлора для бинома (без вывода остатка) Таблица формул Тейлора (практ.). Приближенное вычисление функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора к раскрытию неопределенности (практ.).