Знать наизусть – обязательные требования.




Вопросы по матанализу 1-ый семестр

(материал коллоквиума вопросы с 1-32)

1. Понятие действительного числа. Числовые множества, окрестность точки, ограниченные и неограниченные множества. Точные грани и теорема о существовании точных граней. Сумма, разность, произведение, частное, корень m -ой степени для действительных чисел. Критерий для нахождения точных граней. Свойства действительных чисел.

2. Понятие числовой последовательности, суммы, разности, произведения, частного и её предела. Бесконечно малые последовательности. Теорема об ограниченности бесконечно малых последовательностей

3. Теорема о сумме бесконечно малых последовательностей.

4. Теорема о произведении бесконечно малой последовательности на число.

5. Теорема о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность.

6. Теорема о произведении бесконечно малых последовательностей.

7. Теорема о бесконечно малой последовательности равной постоянной.

8. Теорема о связи между бесконечно малой и сходящейся последовательности.

9. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности.

10. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

11. Бесконечно большие последовательности и бесконечный предел. Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

12. Теорема об арифметических свойствах сходящихся последовательностей.

13. Теорема о пределе положительной последовательности. Переход к пределу в неравенстве . Непрерывность модуля числовой последовательности.

14. Теорема о пределе в неравенстве при .

15. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности. Предел и число .

16. Понятие подпоследовательности. Теорема о пределах подпоследовательностей сходящейся последовательности.

17. Верхний и нижний пределы последовательности. Теорема о существовании предела последовательности через верхний и нижний пределы.

18. Теорема о вложенных промежутках.

19. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

20. Понятие фундаментальной последовательности. Критерий Коши существование предела числовой последовательности.

21. Понятие функции одной переменной. Области определения и значения функции. Арифметические действия над функциями. Сложная функция. Предел функции в точке, бесконечности по Коши и Гейне и их эквивалентность. Единственность предела. Критерий Коши существования предела функции в точке

(продолжение см. на обороте)

 

22. Теорема об арифметических свойствах предела функции и пределе сложной функции.

23. Понятие односторонних пределов функции в точке. Теорема о связи односторонних пределов функции в точке с её пределом.

24. Теорема о переходе к пределу функции в неравенствах и под знаком модуля.

25. Теорема о . Пределы для , , , (, ), при и для . Классификация бесконечно малых и бесконечно больших функций.

26. Монотонные функции. Теорема о пределе монотонной функции в и на отрезке .

27. Понятие непрерывной функции. Непрерывность элементарных функций. Теорема об арифметических свойствах непрерывных функций и сложной функции.

28. Понятия разрывной функции. Классификация разрывов. Теорема о разрывах монотонной функции на .

29. Теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции.

30. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Необходимое и достаточное условие непрерывности на отрезке монотонной функции.

31. Теорема Вейерштрасса об ограниченности и достижения максимума и минимума функции непрерывной на .

32. Обратная функция. Теорема о существовании обратной функции и её непрерывности. Параметрическое задание функции и условия перехода к .

 

 

Знать наизусть – обязательные требования.

1. Определения и понятия – знать и уметь работать с ними.

2. Решать примеры на определения предела последовательности и функции.

3. Уметь объяснить всё по экзаменационному билету (в том числе отвечать на

вопросы теории и практики, относящиеся к нему).

 

 

Вопросы к экзамену по матанализу 1-ый семестр

Вопросы к коллоквиуму с 1-32 и далее:

33. Понятие производной функции и дифференцируемости. Теорема о связи производной и дифференцируемости. Дифференциал.

34. Касательная и нормаль к кривой и их уравнения. Геометрический смысл производной и дифференциала.

35. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности в точке. Таблица производных и дифференциалов от элементарных функций.

36. Теорема о производной от арифметических действий дифференцируемых функции и сложной функции.

37. Теорема о производной от обратной функции. Производная при параметрическом задании функции и уравнения касательной и нормали.

38. Односторонние производные конечные и бесконечные и их геометрическая иллюстрация. Теорема о связи односторонних производных с производной функции.

39. Теорема об арифметических свойствах дифференциала и вычислении дифференциала от сложной функции.

40. Понятие производной высших порядков. Таблица n -ых производных от элементарных функций. Теорема об n -ой производной для суммы, разности, умножения на число функций. Формула Лейбница для n -ой производной произведения функций.

41. Понятие дифференциала n -го порядка. Таблица n -ых дифференциалов от элементарных функций. Теорема о дифференциале n -го порядка для суммы, разности, умножения на число функций. Формула Лейбница для n -го дифференциала произведения функций.

42. Инвариантность формы 1-го дифференциала при замене переменной. Отсутствие инвариантности для дифференциалов высших порядков

43. Теорема параметрического n -го дифференцирования. Пример для n =2.

44. Понятие локального экстремума функции одной переменной. Теорема Ферма о необходимом локальном экстремуме для дифференцируемой функции. Стационарные и критические точки.

45. Теорема Ролля. Геометрическая иллюстрация.

46. Теорема Коши о конечных приращениях.

47. Теорема Лагранжа о конечных приращениях. Формула Лагранжа.

48. Формула Тейлора для многочлена. Теорема о формуле Тейлора для n раз дифференцируемой функции с остатком в форме Пеано. Разложения для , , , , в .

49. Теорема о формуле Тейлора для n раз дифференцируемой функции с остатком в форме Лагранжа. Формула Маклорена.

50. Теорема об оценке остатка в формуле Тейлора. Применение разложения для приближённого вычисления функций.

(продолжение см. на обороте)

51. Теорема Лопиталя раскрытия неопределённости для предела при и n раз дифференцируемых функций.

52. Теорема Лопиталя раскрытия неопределённости для предела при и дифференцируемых функций.

53. Теорема Лопиталя раскрытия неопределённости для предела при и дифференцируемых функций.

54. Теорема Лопиталя раскрытия для предела при ()и дифференцируемых функций. Преобразование к видам или .

55. Теорема о необходимом и достаточном условии для дифференцируемой функции на отрезке.

56. Теорема о необходимом и достаточном условии монотонности дифференцируемой на отрезке. Условие строгой монотонности.

57. Теорема о достаточном условии локального экстремума дифференцируемой функции (стационарные и критические точки).

58. Теорема о достаточном условии локального экстремума n раз дифференцируемой функции. Нахождение глобального экстремума на .

59. Понятие выпуклости функции. Строгая выпуклость. Свойства выпуклых функций. Теорема о необходимом и достаточном условии выпуклости дифференцируемой функции.

60. Теорема о необходимом и достаточном условии выпуклости дважды дифференцируемой функции. Геометрическая иллюстрация выпуклости через касательную к кривой.

61. Понятие перегиба графика функции. Теорема о необходимом условии перегиба для дважды дифференцируемой функции.

62. Теорема о достаточном условии перегиба для дважды дифференцируемой функции.

63. Теорема о достаточном условии перегиба для n раз дифференцируемой функции.

64. Понятие асимптот графика функции. Теорема о нахождении наклонной асимптоты. Общая схема построения графика.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: