23.1. Легкая металлическая бочка, полностью заполненная водой, скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости. Как изменится ускорение бочки, если вода замерзнет?
23.2. Тонкий обруч раскрутили до угловой скорости w и вертикально поставили на горизонтальную поверхность. Какая угловая скорость будет у обруча в установившемся движении?
23.3. Чему равна кинетическая энергия тонкого обруча массой m, катящегося по горизонтальной поверхности со скоростью v?
23.4. Тонкий обруч скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости с углом наклона a. Найти ускорение центра обруча. Каким должен быть коэффициент трения, чтобы не было проскальзывания?
23.5. Тонкий обруч радиусом R раскрутили до угловой скорости w и плашмя положили на стол. Через время t обруч остановился. Определить коэффициент трения между обручем и столом.
23.6. Два маленьких шарика массами m 1 и m 2 находятся на расстоянии l друг от друга. Определить момент инерции системы относительно ее центра масс.
23.7. Определить момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через середину стержня и составляющей угол a со стержнем. Длина стержня равна l, его масса – m.
23.8. Прямоугольник со сторонами a и b сделан из однородной проволоки. Масса единицы длины проволоки равна m. Определить момент инерции прямоугольника относительно оси, совпадающей со стороной, длина которой равна а.
23.9. Система состоит из двух, скрепленных между собой, однородных, взаимно перпендикулярных стержней массами m 1 и т 2и длиной l 1 и l 2. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку O и перпендикулярной плоскости системы (рис. 23.1).
23.10. Система состоит из двух, скрепленных между собой, однородных, взаимно перпендикулярных стержней массами m 1 и m 2 и длиной l 1 и l 2. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку O и перпендикулярной плоскости системы (рис. 23.2).
23.11. Из однородного диска радиусом R вырезано круглое отверстие радиусом r. Расстояние между центрами диска и отверстия равно а,а масса фигуры – m. Определить момент инерции фигуры относительно оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его плоскости.
23.12. Из однородной проволоки сделан правильный треугольник. Масса стороны треугольника равна m, его длина равна l. Определить момент инерции треугольника относительно оси: а) проходящей через центр треугольника и перпендикулярной его плоскости; б) совпадающей с од ной из сторон треугольника; в) проходящей через вершину и параллельной противоположной стороне треугольника.
23.13. Однородный шар скатывается с наклонной плоскости с углом наклона а. Найти ускорение центра шара. Каким должен быть коэффициент трения, чтобы шар не скользил?
23.14. В вагоне, движущемся с постоянной скоростью v, к потолку шарнирно подвешен стержень длиной l. На какой максимальный угол от вертикали отклонится стержень, если вагон резко остановить?
23.15. Однородный тонкий стержень длиной l поставили вертикально на горизонтальную гладкую поверхность, слегка вывели из положения равновесия и отпустили. Какую скорость будет иметь верхний конец стержня в момент удара стержня о поверхность?
23.16. Тонкий стержень AB массой m = 1 кг движется поступательно с ускорением a = 1м/с2 под действием двух сил F 1 и F 2 (рис. 23.3). Расстояние между точками приложения сил АС = 20 см. Сила F 2 = 5 Н. Найти длину стержня.
23.17. Неподвижный блок представляет собой однородный цилиндр массой m, подвешенный на нити к потолку. На цилиндр намотана нить, к которой подвешен груз такой же массы m (рис. 12.4). Найти силу натяжения верхней нити при свободном движении системы. Трения нет.
23.18. На однородный диск массой m намотана нить. Свободный конец нити привязали к потолку и диск отпустили. Определить силу натяжения нити в процессе опускания диска. Считать, что нить все время вертикальна (рис. 23.5).
23.19. Однородный стержень массой m подвешен горизонтально за концы на двух вертикальных нитях. Одна из нитей обрывается. Какова сила натяжения второй нити в момент обрыва?
23.20. Неподвижный блок представляет собой однородный цилиндр массой m. Через блок перекинута невесомая нить, к концам которой привязаны грузы массами m 1 и m 2. Определить ускорение грузов и силу натяжения нити слева и справа от блока при свободном движении системы. Проскальзывания нити и трения в блоке нет.
23.21. На однородный цилиндр массой m и радиусом R, лежащий на горизонтальной поверхности, намотана тонкая нить. За нить тянут горизонтальной силой F (рис. 23.6). При каком значении коэффициента трения цилиндр не будет проскальзывать по поверхности?
23.22. Однородный цилиндр лежит на горизонтальной поверхности. Второй такой же цилиндр катится на первый со скоростью v. Оси цилиндров параллельны. Между цилиндрами происходит абсолютно упругий удар. Определить конечные установившиеся скорости движения цилиндров.
23.23. Тонкостенную трубу радиусом R раскрутили вокруг оси до угловой скорости w и положили в угол между полом и стеной параллельно ребру угла (рис. 23.7). Коэффициент трения между трубой и стеной равен m, а между трубой и полом – 2m. Сколько оборотов сделает труба до остановки?
23.24. Горизонтально расположенный деревянный стержень массой М и длиной l может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. В конец стержня попадает и застревает в нем пуля массой m, летящая со скоростью v перпендикулярно стержню и оси его вращения. С какой угловой скоростью начнет вращаться стержень?
23.25. По гладкой горизонтальной поверхности по окружности движется небольшое тело, привязанное к нити. Нить продета в маленькое отверстие в поверхности. Нить начинают медленно втягивать в отверстие, уменьшая радиус окружности движения тела. Как зависит сила натяжения нити от радиуса окружности? Масса тела равна m. Считать, что при радиусе равном R o угловая скорость движения тела была равна wо.
23.26. На массивный неподвижный блок в виде цилиндра радиусом R намотана нить, к свободному концу которой подвешен груз массой m (рис. 23.4). В момент t = 0 систему отпускают. Написать зависимость момента импульса системы относительно оси блока от времени. Трения нет.
23.27. Стержень, расположенный горизонтально, падает без начальной скорости с высоты h и ударяется одним концом о край стола (рис. 12.8). Определить скорость центра масс стержня сразу после удара. Удар абсолютно упругий.
23.28. Шарик массой m влетает в спиральный лабиринт, который может свободно двигаться в пространстве, и останавливается в его центре (рис. 23.9). Начальная скорость шарика равна v, радиус лабиринта R, масса лабиринта М, его момент инерции J. Определить угловую скорость вращения лабиринта после того как шарик остановится. Размерами шарика и внешними силами пренебречь.
23.29. Два диска, имеющие моменты инерции J 1 и J 2, вращаются на одной оси с угловыми скоростями w1 и w2 Диски прижимают друг к другу. Определить установившуюся угловую скорость вращения и количество теплоты, выделившееся при трении дисков.
23.30. Тонкий стержень длиной l и массой M стоит вертикально на гладкой горизонтальной поверхности. В его верхний конец попадает горизонтально летящая пуля массой m (m << М) и застревает в нем. При какой минимальной скорости пули стержень сразу оторвется от поверхности?
Ответы [ Механика твердого тела. Момент импульса ]:
23.1. Увеличится
23.2. 0,5w
23.3. 
23.4. 
23.5. 
23.6. 
23.7. 
23.8. 
23.9. 
23.10. 
23.11. 
. Указание: Если в отверстие вставить вырезанный из него диск, то получится сплошной диск, момент инерции которого складывается из момента инерции большого диска с отверстием и момента инерции маленького диска относительно центра большого диска.
23.12. а) 
; б) 
; в) 
23.13. 
23.14. 
23.15. 
23.16. 100 см
23.17. 
23.18. 
23.19. 
23.20. 
; 
; 
23.21. 
23.22. 
. Указание: после столкновения первый цилиндр остановится, продолжая вращаться с угловой скоростью 
, а второй – приобретет поступательную скорость v при отсутствии вращения. За счет проскальзывания первый цилиндр будет разгоняться, а второй замедляться. Скорости цилиндров установятся, когда прекратится проскальзывание.
23.23. 
23.24. 
23.25. 
23.26. 
23.27. 
. Указание: Так как удар упругий, то кинетическая энергия стержня перед ударом 
равна его кинетической энергии после удара, которая равна сумме энергии движения центра масс стержня 
и энергии его вращения вокруг центра масс 
. В результате удара о стол стержень приобретает момент импульса 
, 
– импульс силы удара; l – длина стержня. Кроме того, изменение импульса стержня 
равно импульсу силы удара.
23.28. 
. Указание: Центр масс системы будет все время двигаться равномерно со скоростью 
вдоль линии центра масс, которая проходит на расстоянии 
от центра лабиринта. После остановки шарика центр лабиринта переместится на линию центра масс. Закон сохранения момента импульса следует записать относительно этой линии.
23.29. 
.
23.30. 
. Указание: Движение стержня сразу после удара можно, представить как движение центра масс стержня (m << M) со скоростью и вращение вокруг центра масс. Стержень сразу оторвется от поверхности, если в системе центра масс центростремительное ускорение его нижнего конца будет больше, чем g. Закон сохранения момента импульса: 
.