Образец выполнения домашней контрольной работы по математике № 2.

Варианты домашней контрольной работы по математике № 2.

Вариант 1.

1. Вычислите значение выражения, предварительно упростив его,

при sin = 0,5 и < α < .

 

2. Докажите тождество:

 

 

Решите уравнения:

 

а) 7sinx-3cos2x=0,

б) 4sin²x+2cos²x-3sin2x=0.

 

3. Найдите производные функций:

 

а) y = arctgx - arcctgx,

б) y = x lnx.

 

4. Найдите производные функций:

 

a) y = ,

 

б) у = .

 

5. Постройте график функции:

 

у= х³- х^2.

 

Вариант 2.

 

1. Вычислите значение выражения, предварительно упростив его,

при sin = - 0,5.

2. Докажите тождество:

 

 

3. Решите уравнения:

 

а) 2cos²x + 4sin²x = 3,

б) sin²x + sinx cosx - cos²x = 2.

 

4. Найдите производные функций:

 

а) y = x arcsinx,

б) y = e^x lnx.

 

5. Найдите производные функций:

a) y =

 

б) у = sinx (1 + tgx)

 

6. Постройте график функции:

 

y=2x³ – 9x² + 12x + 1.

 

 

Вариант 3.

 

1. Вычислите значение выражения, предварительно упростив его,

при tgα = 5/2.

 

 

2. Докажите тождество:

 

2sin²x + cos2x = 1.

 

3. Решите уравнения:

 

а) 4cos²x - cosx = 0,

б) cos2x + 6sinx - 5 = 0.

 

4. Найдите производные функций:

 

а) y = 3x² - x tgx,

б) y =

5. Найдите производные функций:

 

a) y = x² arctgx,

 

б) y = .

 

6. Постройте график функции:

 

у = х³ – 3x + 2.

 

Вариант 4.

 

1. Вычислите значение выражения, предварительно упростив его,

при cos =-3/5 и < α < .

tgα + ctgα

2. Докажите тождество:

 

 

3. Решите уравнения:

 

а) cos2x = cosx,

б) 4sin²x+2cos²x-3sin2x=0.

 

4. Найдите производные функций:

 

а) y = ,

б) у = .

 

5. Найдите производные функций:

 

a) y = (x – 5),

 

б) у = .

 

6. Постройте график функции:

 

у= x - х³- 1.

 

Вариант 5.

 

1. Вычислите значение выражения, предварительно упростив его,

при sin = - 5 /13.

.

2. Докажите тождество:

 

 

3. Решите уравнения:

a)

б) cos2x + 6sinx – 5 = 0.

 

4. Найдите производные функций:

 

а) y = ,

б) y = (x² – 6х).

 

5. Найдите производные функций:

а) у = х² arctgx,

 

б) у = .

6. Постройте график функции:

 

у= - х³+ 2х² – 3х.

 

Вариант 6.

 

1. Вычислите значение выражения, предварительно упростив его,

при cos = -12/13.

 

sin²α + tg²α + cos²α.

 

2. Докажите тождество:

 

 

3. Решите уравнения:

 

а) 1 + cos2x=2cosx,

б) 3sin²x + 5cosx - 4 = 0.

 

4. Найдите производные функций:

 

а) у = х² arctgx,

 

б) y = .

 

5. Найдите производные функций:

 

a) y == arctgx - arcctgx,

б) y = x lnx.

 

6. Постройте график функции:

 

у= х³+ 6х² + 9.

 

Вариант 7.

 

1. Вычислите значение выражения, предварительно упростив его,

при cos = - 4/5.

 

 

2. Докажите тождество:

 

 

3. Решите уравнения:

 

а) cos2x – 5sinx = 3,

б) sin²x+sinx cosx - cos²x=2.

 

4. Найдите производные функций:

 

а) y =

б) y = sinx (1 + tgx).

 

5. Найдите производные функций:

 

a) y = tgx + (1 + ctgx) cosx,

 

б) у =4 .

 

6. Постройте график функции:

 

у= х³+ х².

 

Вариант 8.

 

1. Вычислите значение выражения, предварительно упростив его,

при sin = 3/5 и < α < .

2. Докажите тождество:

 

 

3. Решите уравнения:

 

а) sinx - sin2x = 0,

б) 2sin²x+5cosx - 4 = 0.

 

4. Найдите производные функций:

 

а) y = x² arctgx,

б) y = .

5. Найдите производные функций:

 

a) y = 3x² – x tgx,

б) у =

 

6.Постройте график функции:

у= х³- х + 3.

^.

Вариант 9.

 

1. Вычислите значение выражения, предварительно упростив его,

при tg = 3.

 

2. Докажите тождество:

 

 

3. Решите уравнения:

 

а) sinx + cos²x = 1/4,

б)

4. Найдите производные функций:

 

а) y = (x – 5),

 

б) у = .

 

5. Найдите производные функций:

 

a) y = x arcsinx,

б) y = e^x lnx.

 

6. Постройте график функции:

 

у= х³+ 3 х² - 12x - 1.

 

 

Вариант 10.

 

1. Вычислите значение выражения, предварительно упростив его,

при ctg = ; π < α < 3π/2.

 

2. Докажите тождество:

 

 

3. Решите уравнения:

 

а) 1 – cos2x = 2sinx,

б) 7sin²x+3cos²x = 8sinx.

 

4. Найдите производные функций:

 

а) y = tgx +(1+ctgx) cosx,

б) y =4 - 3 + x⁴.

 

5. Найдите производные функций:

 

a) y = ,

 

б) у = (x² – 6x).

 

6. Постройте график функции:

 

у= х³ + 3х² – 1.

 

Рекомендации по выполнению домашней контрольной работы

По математике №2 для студентов заочного отделения I курса

НТЭК (на базе 9 кл.)

Задания распределены по шести пунктам:

1. Преобразование тригонометрических выражений и нахождение их значений.

2. Тригонометрические тождества.

3. Тригонометрические уравнения.

4, 5 Нахождение производных.

6. Исследование функций с помощью первой производной и построение графиков

функций.

Рекомендуемая литература:

1. А.Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 класса средней школы.- М.: Просвещение, 2009 г.

Для выполнения задания необходимо знать:

1. Определение и основные свойства тригонометрических функций. Основные тригонометрические тождества. Формулы двойных и половинных углов. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения.

2. Определение производной. Таблица правил и формул дифференцирования.

3. Определение функции. Область определения функции. Четность функций. Возрастание и убывание функций. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной. Наибольшее и наименьшее значения функции. Построение графиков функций.

Образец выполнения домашней контрольной работы по математике № 2.

 

1. Вычислите значение выражения, предварительно упростив его,

при sin = - 0,8 π < α < 3π/2.

= = =

= = sin - cos α,

cos α = ± = ± = ± = ± = ± 0,6.

Т. К. π < α < 3π/2, то cos α 0,

значит cos α = - 0,6.

sin - cos α = - 0,8 – (-0,6) = - 0,8 + 0,6 = - 0,2.

Ответ: - 0,2.

 

2. Докажите тождество:

 

= = = = cos2α,

cos2α = cos2α.

Ответ: тождество верно.

 

3. Решите уравнения:

 

а) 2 x – 3cosx = 0,

б) 2sin²x-3sin²x - 2= 0.

a) 2 x – 3cosx = 0,

cosx (2cosx – 3) = 0,

cosx = 0, x = π/2 + πn, n z.

2cosx - 3 = 0,

сosx = 3\2, нет решений, т.к. 3\2 >1.

Ответ: π/2 + πn, n z.

б) 2sin²x-3sin²x - 2= 0.

sinx= t, 2t² – 3t – 2 = 0,

D = (-3)² - 4∙2∙(-2) = 9 + 16 = 25,

t = , t₁= , t₂ = -посторонний

sinx= x = (-1)^k arcsin( +

x = (-1)^k+1 arcsin +

x = (-1) ^k+1 +

Ответ: x = (-1) ^k+1 +

 

4. Найдите производные функций:

 

а) y =х cosx,

б) y == arcсtgx – arctgx.

а) y =х cosx,

у^’ =1

Ответ:

б) y == arcсtgx – arctgx.

y’=(arcсtgx)^’- (arctgx)^’ = - - = -

Ответ: -

5. Найдите производные функций:

a) y = ,

б) у = (x² – 6x).

Решение аналогично п.4

6. Постройте график функции:

у= х³ - 12х+4.

1.Область определения функции: D(f)=R.

2.Четность: f(-x)= (-x)³ – 12(-x)+4 = -x³+12x+4

f(-x) ,

f(-x) , значит, функция общего вида.

3.Точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью О у: х = 0, -12

С осью О х: у = 0, х³ - 12х+4 = 0, в данном случае уравнение 3 степени,

не решаем

4.Монотонность функции. Экстремумы.

y^’ = (х³ - 12х+4)^’ = 3x² – 12,

3x² – 12 = 0, 3(x² – 4) = 0, x² = 4, x_1,2 = .

 

+ - +

х

- 2 2

max min

 

xmax = -2, ymax = f(-2)=(-2)³-12(-2)+4=20.

xmin=2, ymin=f(2)=2³-12 2+4=- -12.

5.Дополнительные точки:

f(3) = -5, f(-3) = 13.

6. Строим график функции и подписываем его.

y

 

 

4 y=x³ – 12x + 4

 

-2 0 2 x

 

 

-12